1、教学设计示例教学设计示例 1 1反比例函数及其图象教学目标教学目标：1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；3 3、渗透数形结合的、渗透数形结合的数学数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；4 4、体会、体会数学数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；5 5、培养学生的观察能力，及、培养学生的观察能力，及数学数学地发现问题，解决问题的能力地发现问题，解决问题的能力. .教学重点教学重点：结合图象分析总结出反比例函数的性质；教学难
2、点教学难点：描点画出反比例函数的图象：描点画出反比例函数的图象教学用具：直尺教学方法：小组合作、探究式教学过程教学过程：1、从实际引出反比例函数的概念我们在我们在小学小学学过反比例关系学过反比例关系. .例如：当路程例如：当路程 S S 一定时，时间一定时，时间 t t 与与速度速度 v v 成反比例成反比例即 vt=S（S 是常数）；当矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比例，即 ab=S（S 是常数）从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：（S 是常数）（S 是常数）一般地，函数 （k 是常数， ）叫做反比例函数如上例，当路程 S 是常数时，时
3、间 t 就是 v 的反比例函数当矩形面积是常数时，长 a 是宽 b 的反比例函数在现实生活中，也有许多反比例关系的例子可以组织学生进行讨论下面的例子仅供2、列表、描点画出反比例函数的图象例 1、画出反比例函数 与 的图象解：列表说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图一般地反比例函数 （k 是常数， ）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质前面前面学习学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引
4、导下完成知识的学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习学习. .显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考）（1 1） 的图象在第一、三象限的图象在第一、三象限. .可以扩展到可以扩展到 k k 00 时的情形，即时的情形，即 k0k0 时，双曲线时，双曲线两支各在第一和第三象限两支各在第一和第三象限. .从解析式中，也可以得出这个结论：从解析式中，也可以得出这个结论：xy=kxy=k，即，即 x x 与与 y y 同同号，因此，图象在第一、三象限号，因此，图象在第一、三象限. .的讨论与此类似
5、的讨论与此类似. .抓住机会，说明抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数与形的统一，也渗透了数形结合的数学数学思想方法思想方法. .体现了由特殊体现了由特殊到一般的研究过程到一般的研究过程. .（2 2）函数）函数 的图象，在每一个象限内，的图象，在每一个象限内，y y 随随 x x 的增大而的增大而减小；减小；从图象中可以看出，当从图象中可以看出，当 x x 从左向右变化时，图象呈下坡趋势从左向右变化时，图象呈下坡趋势. .从列表从列表中也可以看出这样的变化趋势中也可以看出这样的变化趋势. .有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除
6、数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小. .由此由此可归纳出，当可归纳出，当 k0k0 时，函数时，函数 的图象，在每一个象限内，的图象，在每一个象限内，y y 随随 x x 的增大而减小的增大而减小. .同样可以推出同样可以推出 的图象的性质的图象的性质. .（3 3）函数）函数 的图象不经过原点，且不与的图象不经过原点，且不与 x x轴、轴、y y 轴交轴交. .从解析式中也可以看出，从解析式中也可以看出， . .如果如果 x x 取值越来越大时，取值越来越大时，y y 的值越来越的值越来越小，趋近
7、于零；如果小，趋近于零；如果 x x 取负值且越来越小时，取负值且越来越小时，y y 的值也越来越趋近于零的值也越来越趋近于零. .因此，呈因此，呈现的是双曲线的样子现的是双曲线的样子. .同理，抽象出同理，抽象出 图象的性质图象的性质. .函数函数 的图象性质的讨论的图象性质的讨论与次类似与次类似. .4 4、小结：、小结：本节课我们本节课我们学习学习了反比例函数的概念及其图象的性质了反比例函数的概念及其图象的性质. .大家展开大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识. .数数学学学习学习要求我们要深刻要
8、求我们要深刻地理地理解，找出事物间的普解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能遍联系和发展规律，能数学数学地发现问题，并能运用已有的地发现问题，并能运用已有的数学数学知识，给以一定的解释知识，给以一定的解释. .即即数学数学是世界的一个部分，同是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中时又隐藏在世界中. .5 5、布置作业、布置作业习题习题 13.813.81-41-4教学设计示例教学设计示例 2 2反比例函数及其图像一、素质一、素质教育教育目标目标（一）知识教学点1使学生了解反比例函数的概念；2使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；3使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据
9、图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；4会用待定系数法确定反比例函数的解析式.（二）能力训练点1培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；2向学生渗透数形结合的教学思想方法.（三）德育渗透点1 1向学生渗透向学生渗透数学数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；来源于实践又反过来作用于实践的观点；2使学生体会事物是有规律地变化着的观点.（四）美育渗透点通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.二、学法引导教师采用类比法、观察法、练习法学生学生学习学习反比例函数要与反比例函数要与学习学习其他函数一样，要其他函数一样，要善于数形
10、结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数数k k的符号的符号. .三、重点难点疑点及解决办法1 1教学重点教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式定反比例函数的解析式. .因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题. .2 2教学难点教学难点：画反比例函数的图像：画反比例函数的图像. .因为反比例函数的图像有因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同
11、，学生初次接触，一定会感到困难两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难. .3教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.4解决办法：（1） 中隐含条件是 或 ；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.四、教学步骤（一）（一）教学过程教学过程提问：提问：小学小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？是否学过反比例关系？是如何叙述的？由学生先考虑及讨论一下.答：答：小学小学学过：两种相关
12、联的量，一种量变化，另一种量也随学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系量，它们的关系叫做反比例关系. .看下面的实例：（出示幻灯）1 当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；2当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例；它们分别可以写成 （s是常数）， （S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数.即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：
13、速度v是时间t的反比例函数呢？通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足 （k是常数， ）就可以因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为 （s是常量）对第 2 个实例也一样练习一：教材 P129 中 1 口答P130 1根据前面根据前面学习学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？究的是什么？答：图像和性质通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究下面，我们就来看桓隼猓海鍪净玫疲?/P例 1 画出反比例函数 与 的图像提问：1画函数图像的关键问
14、题是什么？答：合理、正确地选值列表2在选值时，你认为要注意什么问题？答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；（2）不能选 ，因为 时函数无意义；（3）选整数较好计算和描点这个问题中最核心的一点是关于 的问题，提醒学生注意3你能不能自己完成这道题呢？学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：注意：（1）一般地，反比例函数 的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）这两条曲线不相交；（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交关于注意（3）可问学生：为什么图像
15、与x和y轴不相交？通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性再让学生观察黑板上的图，提问：1当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？2当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：对于双曲线（1）当 ：（1）当 时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当 时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大3反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用练习二：教材
16、 P129 中 2 由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130 中 2、3填在书上上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）例 2 已知y与 成反比例，并且当 时， ，求 时，y的值.用提问的方式对此题加以分析：（1）y与 成反比例是什么含义？由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了： .（2）根据这个式子，能否求出当 时，y的值？（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？答：用待定系数法，把 时 代入 ，求出k的值.（5）你能否自己完成这道例题：由一名同学板演，其他同学在练习本上
17、完成.例 3已知： ， 与x成正比例， 与x成反比例，当 时， 时， ，求y与x的解析式.分析：一定要先写出y与x的函数表达式 ，要用x分别把 ， 表示出来得 ，要注意 不能写成k，解：设 ，.由题意得 .（二）总结、扩展教师提问，学生思考回答：1什么是反比例函数？2反比例函数的图像是什么样的？3反比例函数 的性质是什么？4命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.五、布置作业1教材 P1
18、30 中 4，5，62选做：P130 中 B1，2六、六、板书设计板书设计已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。 。（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A的横坐标为m， 的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当 的面积等于 时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于 3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。解：（1）过点B作 轴于点H。在 Rt 中，由勾股定理，得又 ， 点B（3，1）。设反比例函数的解析式为。 点B在反比例函数的图像上，。 反比例函数的解
19、析式为 。（2）设直线AB的解析式为 。由点A在第一象限，得 。又由点A在函数 的图像上，可求得点A的纵坐标为 。 点B（3，1），点 ，解关于 、 的方程组，得 直线AB的解析式为 。令。求得点D的横坐标为 。过点A作 轴于点G由已知，直线经过第一、二、三象限，即 。由此得。即。（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于 3。证明如下：。由 ，得解得 。经检验， 都是这个方程的根。，不合题意，舍去。 点A（1，3）。设过A（1，3）、B（3，1）两点的抛物线的解析式为 。由此得即。设抛物线与x轴两交点的横坐标为 。则令则。即。整理，得。， 方程 无实数根。因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于 3。
