1、北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-12-1精品精品课件课件立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法距离问题距离问题(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则222121212()()()ABxxyyzz距离问题：距离问题：asin, ,dAPAP a (2) 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则距离问题：距离问题：21 cos, .APAP a ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离. 建立坐标系111
2、11 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, ,10AEAB 113sin, ,10AEAB 点点E到直线到直线A1B的距离为的距离为1113sin, 2.4dAEAEAB ABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离.解解2 立立体体几几何何法法面积面积法法P距离问题：距离问题：(3) 点点P与平面与平面的距离为的距离为d , 则则 u A P O dd|
3、.|AP uu |AP uAPAPu |.|AP udu 距离问题：距离问题：(4) 平面平面与与的的距离距离为为d , 则则 umDCPAlab同上！距离为公垂线的方向向量，dmlu,为异面直线，则ml, 例例1 如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解：解：如图如图1，1111 60ABAAAD
4、BADBAADAA 设，11AAADABAC 2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC答答: 这个晶体的对角线这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的长是棱长的的 倍。倍。6ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.u=(x,y,1) 建立坐标系11111 11 1 解解:. A E =(-1, ,0),A B =(0, 1,-1):. A
5、E =(-1, ,0),A B =(0, 1,-1)2 2设设为为面面A BEA BE的的法法向向量量, ,uu 1 11 1A E = 0,A E = 0,由由A B = 0,A B = 0, .1 u=(,1,1)2得 1111A B = 0,1,0 ,A B = 0,1,0 , 11111111 B B 到到面面A BEA BE的距的距离离为为A BnA Bn2 2 d= d=3 3n nABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法111
6、1,BA BEE A BBVV解解22.3d ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离. 解解1:D1C面面A1BE D1到面到面A1BE的距离的距离即为即为D1C到面到面A1BE的距离的距离. 仿上例求得仿上例求得D1C到到 面面A1BE的距离为的距离为1113D A udu ABCD1A1B1C1DE 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离
7、的距离.等体积法等体积法1111DA BEB A D EVV解解21.3d ABCD1A1B1C1Dxyz 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 解解1:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距离的距离即即 为面为面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离1111( 1,1,1),(1,0,0) 平面的一个法向量为且A BDACD A 11113.3D AACdAC ABCD1A1B1C1D 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1D
8、B与面与面D1CB1的距离的距离.等体积法等体积法1111,DA BDB A DDVV解解23.3d ABCD1A1B1C1D 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离.解解3 立立体体几几何何法法113.33dAPACP 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.ABCD1A1B1C1DExyz111(0,0,1), (1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE解: :111,0 ,2AE 11,1, 1D B 11( , ,1),设与都垂直nx yA E D B 110,0,由n A En D B 1 2( ,1)3 3得n 111,0,0 ,又D A 11与的距离为A EBD1114.14D A ndn
