1、北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-12-1精品精品课件课件2.4.用向量法求平行和垂直A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一
2、个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m n l问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(mlab（一）（一）. 平行关系：平行关系：au aAC axAByAD v u umlab（一）（一）. 平行关系：平行关系：au aAC axAByAD v u
3、 u(1) lm0aba b （二）、垂直关系：（二）、垂直关系：lmab(2) l /auau lauABC3 （）0uvu v u v 线线面面平平行行 面面面面平平行行 1、平行关系：、平行关系：111222(,),(,),lea b cna b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/00;lena abbc c2、垂直关系：、垂直关系：111222222,0, /abca b cenabc当时111222(,),(,),ea b cna b c若则121212/,.lenenaa bb cc巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根
4、据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行或重合平行或重合垂直垂直平行或重合平行或重合巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行或重合平行或重
5、合相交相交1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m= .巩固性训练3/llll4-5-84例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的中点，的中点，DF:FB
6、=CG:GP=1:2 . 求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)32 AE =FGAE =FGAE/FG证证 ：如图所示：如图所示, , 建立空间直建立空间直角坐标系角坐标系. ./ AEFGAEFGAEAE与与FGFG不共线不共线几何法呢？几何法呢？ 例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， (1)求
7、证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立体立体几何法几何法ABCDP PE EXYZG如图所示建立空间直角坐标系，点如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依题题意意得得G1 11 1( , ，( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/解法解法2ABCDP PE EXYZ解解3：如图所示建
8、立空间直角坐标系，：如图所示建立空间直角坐标系，点点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn ABCDP PE EXYZ解解4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐
9、标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)PAxDEyDB 设解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例例4 4 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长
10、为1， 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD 以以， 1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 则则， 所以所以1D FADE 平平面面 DADE 则则， ,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例5 5 正方体正方体平面平面C1 1BD. 证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2,
11、 1)ED 设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBDA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 练习练习. .在正方体在正方体中，中，E、F分别是分别是BB1,1,，平面平面ADE 1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 又又因因为为00n DAn DE 则则由由，得得 所以所以1D FADE 平平面面ADEnxyz 设设平平面面的的一一个个法法向向量量为为 =(=
12、( ， ， ) )000102xxyz 12xyz 则则 =0=0，不不妨妨取取，得得01 -2n 所所以以 =(=( ， ， ) )/1D F n 所所以以练习练习：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1/3=a/3=a，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CCCC1 1上的点，上的点，且且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a 。求证。求证: :面面AEFAEF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzy(1) lm0aba b （二）、垂直关系：（二）、垂直关系：lmab(2) l /auau l
13、auABC线线面面平平行行 面面面面平平行行 1、平行关系：、平行关系：111222(,),(,),lea b cna b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/00;lena abbc c2、垂直关系：、垂直关系：111222222,0, /abca b cenabc当时111222(,),(,),ea b cna b c若则121212/,.lenenaa bb cc巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 ,
14、 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行或重合平行或重合垂直垂直平行或重合平行或重合巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行或重合平行或重合相交相交1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m= .巩固性训练3/llll4-5-84
