1、12021 年秋期高中二年级期终质量评估数学试题(文)参考答案一、选择 1-5 CDBCA6-10 CBBDA11-12 DA二、填空题213.,230 xR xx 114.64x 315.23816.（ ，）三、解答题17.解：(1)由 c 3asin Cccos A 及正弦定理得3sin Asin Ccos Asin Csin C0.2 分由于 sin C0，所以 sin6A12又 0A，故 A3.5 分(2)ABC 的面积 S12bcsin A 3，故 bc4.7 分而 a2b2c22bccos A，故 b2c28.9 分由解得 bc2（负值舍去） .10 分18.解： 32f xxax
2、xa，f (x)3x221ax.2 分(1)由题意得 f (3)276a110，解得 a6. 3266f xxxx.4 分(2)( 1)0f,则3210a ,解得1a , 321f xxxx，.6 分2( )321(31)(1), 2,3fxxxxxx ,当( )0fx,解得113x ,即函数 f x在11,3单调递减，当( )0fx,解得133x或21x ,即函数 f x分别在1( 2, 1),33递增.10 分又132( 1)0,( 2)3,(3)32327ffff maxmin( )(3)32,( )( 2)3f xff xf .12 分19.(1)证明：由 an133nnaa ，以及
3、a13，显然0na ，所以1313nnnaaa，即11113nnaa，2所以数列1na是首项为13，公差为13的等差数列，.4 分所以1111333nnna，所以3nan（nN*） ；.6 分(2)由(1)可得，133nnnna，所以数列3nna的前 n 项和 Tn211 12 33 3.3nn 所以 3Tn231 32 33 3.3nn .8 分则由-可得：2Tn21133.33nnn 211 33.33nnn 11 321 3131 32nnnnn ，所以数列3nna的前 n 项和 Tn21 314nn.12 分20.解：(1)抛物线焦点在 x 轴上，且过点 M(4，m)，设抛物线方程为
4、y22px(p0)，.2 分由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，即点 M 到准线的距离等于 5，则 4p25，p2，抛物线方程为 y24x.4 分又点 M(4，m)在抛物线上，m216，m4，所求抛物线方程为 y24x，m4.5 分(2)方法一：由于直线过点（2，0） ，可设直线方程为：2xty由242yxxty得2480yty,设1122( ,), (,)A x yB xy,则12124 ,8yyt y y ,.8 分所以 1212121222OA OBx xy ytytyy y 21212124ty yt yy2182444ttt ，即OA OB 为定值；.12 分3方法二：由于
5、直线过点（2，0） ，当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为2x ，则由242yxx可得，2, 2 2 ,2,2 2AB,所以2 22 22 24OA OB ；.6 分当直线的斜率存在时可设直线方程为：2yk x，由242yxyk x得22224440k xkxk,设1122( ,), (,)A x yB xy,则21212244,4xkxx xk,.8 分所以21212121222OA OBx xy yx xkxx 2221212124kx xkxxk222224414244kkkkk ，即OA OB 为定值.综上，OA OB 为定值4.12 分21.解：(1)因为 lnf xaxxx,所以
6、 ln1fxax，因为函数 lnf xaxxx的图像在点xe处取得极值,所以 20,2feaa ，经检验，符合题意，所以2a ；. 4 分(2)由(1)知, 2lnf xxxx ,所以 1f xkx在, e 恒成立,即2ln1xxxkx对任意xe恒成立. .6 分令 2ln1xxxg xx,则 2ln11xxgxx.8 分设 ln1()h xxxxe，易得 h x是增函数，所以 min0h xh ee，所以 2ln101xxgxx,所以函数 g x在, e 上为增函数,.10 分4则min( )( )1eg xg ee ，所以1eke .12 分22.解：(1)由题意的：22 6c ，48 2
7、a ，6c，2 2a ，222bac ，椭圆 C 的方程为22182xy.4 分(2)直线 l 的斜率为12，可设直线 l 的方程为12yxm与椭圆 C 的方程联立消去y可得：222240 xmxm，则22244241640mmm ，204m，.6 分设 A,B 两点的坐标为11,x y，22,xy，由韦达定理得：122xxm ，21224x xm2221212|145 4ABkxxx xm.8 分点 P 到直线 l 的距离|1 1|2|1514mmd ，222112|544225PABmSAB dmmm，.10 分方法一：令2tm，则04t，24244mmtt令2( )4f ttt，则( )f t在(0,4)上的最大值为(2)4f，PABs的最大值为 2，即PAB面积的最大值 2.12 分方法二：因为222224422PABmmSmm，当且仅当224mm，即22m 时，取“=”，所以PAB面积的最大值 2.12 分
