1、理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2实际上的问题是：实际上的问题是：1、联立求解微分方程联立求解微分方程(尤其是积分问尤其是积分问 题题)非常困难。非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一大量的问题中，不需要了解每一 个质点的运个质点的运 动动,仅需要研究质点仅需要研究质点 系整体的运动情况。系整体的运动情况。对对质点质点动力学问题：动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。建立质点运动微分方程求解。对对质点系质点系动力学问题：动力学问题： 理论上讲，理论上讲，n个质点列出个质点列出3n个微个微 分方程，分方程，
2、 联立求解它们即可。联立求解它们即可。 从本章起从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先而首先要讨论的是要讨论的是动力学普遍定理动力学普遍定理(包括动量定理包括动量定理、动量矩定理动量矩定理、动动能定理及由此推导出来的其它一些定理能定理及由此推导出来的其它一些定理)。动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院3 它们以简明的数学形式，它们以简明的数学形式， 表明两种量表明两种量 一种是同一种是同运动特征相关的量运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等动量、动量矩、动能等)，一种是同力，一种是同力相关的
3、量相关的量(冲量、力冲量、力 矩、功等矩、功等) 之间的关系，从不同之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。 本章中研究本章中研究质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理，建立了，建立了动量的动量的改变与力的冲量之间的关系改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另，并研究质点系动量定理的另一重要形式一重要形式质心运动定理质心运动定理。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4 一、质点系的质心一、质点系的质心
4、质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量 分布情况的一个重要概念。分布情况的一个重要概念。 ()imm,CCCCrx iy jz k设则, , iiiiiiCCCm xm ym zxyzmmm质心质心 C 点的位置点的位置： 11-1 质点系的质心质点系的质心 内力与外力内力与外力iiiiCim rm rrmm理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院5 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心用确定重心的各种方法来确定质心
5、的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。 内力：质点系内各质点之间相互作用的力。内力：质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零， 内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：( )( )( )0; () 0 () 0iiiiOixiFM FM F或二、质点系的内力与外力二、质点系的内力与外力外力：质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。外力：质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。理论力学
6、理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院6 一、动量一、动量 1 1、质点的动量：质点的质量与速度的乘积、质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。动量是瞬时矢量称为质点的动量。动量是瞬时矢量(状态量状态量) ，方向，方向与与v 相同。单位是相同。单位是kg m/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例：枪弹：速度大，质量小；例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。船：速度小，质量大。11-2 11-2 动量与冲量动量与冲量理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院7 2 2、质点系的动量：质
7、点系中所有各质点动量的矢量和。、质点系的动量：质点系中所有各质点动量的矢量和。iiCpmvmv( )i iCm rmr求导质点系的动量等于质点系的质量与其质心速度的乘积。则：质点系的动量等于质点系的质量与其质心速度的乘积。则：, , xCxCyCyCzCzCpmvmxpmvmypmvmz3 3、刚体系统的动量：设第刚体系统的动量：设第i个刚体为个刚体为 ，则整个系统：，则整个系统：,iCim v特别特别 无论是质点系还是刚体系统，动量的无论是质点系还是刚体系统，动量的注意注意 主矢不能理解为作用在系统的质心上。主矢不能理解为作用在系统的质心上。质点系动质点系动量的主矢量的主矢iCipmv刚体系
8、统动刚体系统动量的主矢量的主矢xi CixiCiyi CiyiCizi CiziCipmvm xpmvm ypmvm z理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院8例例曲柄连杆机构的曲柄曲柄连杆机构的曲柄OA以匀以匀 转动，设转动，设OA=AB=l ,曲柄曲柄OA及连杆及连杆AB都是匀质杆都是匀质杆, 质量各为质量各为m , 滑块滑块B的质量的质量也为也为m。求当。求当 = 45时系统的动量。时系统的动量。123123 (sincos)CCCCCCpmvmvmvmvvvi12(cossin ) CCvvj)101252221()2103252221()sin2545cos21()
9、2cos2545sin21(jimljllilllm2122jiml解解: 曲柄曲柄OA：滑块滑块B：连杆连杆AB： （ D为速度瞬心，为速度瞬心， ） 25;2ABDCl11 , 2Cmvl255, 22CABm vll3, 2Cmvl理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院9OA3012BCRevavrvA30BCO1 例例2 2 OA杆绕杆绕O轴逆时针转动，均质轴逆时针转动，均质圆盘沿圆盘沿OA杆纯滚动。已知圆盘的质杆纯滚动。已知圆盘的质量量m为为20kg，半径半径R100mm。在图在图示位置时示位置时，OA杆的倾角为杆的倾角为30o，其角其角速度速度 1 11rad/s
10、，圆盘相对圆盘相对OA杆转动杆转动的角速度的角速度 2 24rad/s， , 求圆盘的动量求圆盘的动量。100 3 mmOB 120.2 10.2m/s0.1 40.4m/servOCvR 3sin600.40.3464m/s2Carvvv于是于是所以所以20 0.34646.93N sCpmv方向水平向右。方向水平向右。解解: :取取C为动点，动系与为动点，动系与OA固连固连理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院10例例3两均质杆两均质杆OA和和AB质量为质量为m，长为长为l，铰接于铰接于A。图示位图示位置时，置时，OA杆的角速度为杆的角速度为 ，AB杆相对杆相对OA杆的角
11、速度亦为杆的角速度亦为 。求此瞬时系统的动量求此瞬时系统的动量。解：由刚体系统的动量公式解：由刚体系统的动量公式1212CCpmvm v其中：其中：12Clv2222Clvll5222lpmm lml方向水平向右。方向水平向右。vC1vC2C222CAC AvvvAB作平面运动作平面运动OABC1r=理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1121()IF tt 2、力是变矢量力是变矢量：（包括大小和方向的变化）（包括大小和方向的变化）元冲量元冲量FddIFt1、力是常矢量力是常矢量：F二、冲量二、冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示
12、力在冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量其作用时间内对物体作用的累积效应的度量(过程量过程量)。例如，。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。长的时间，可得到同样的总效应。21dttIFt冲冲 量量理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院12 3、合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和。、合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和。222111dddtttRitttIFtFtFtI冲量的单位：冲量的单位：m/skg sm/skg sN2与动量单位相同。与动量单位相同。2221
13、11d ,d ,d ,tttxxyyzztttIFt IFt IFt理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院13一、质点的动量定理一、质点的动量定理dd ()ddvmamFmvFtt质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力质点的动量定理质点的动量定理d()ddmvFtI微分形式微分形式：（动量的微分等于力的元冲量）（动量的微分等于力的元冲量）（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）2121dttmvmvFtI积分形式积分形式：11-3 11-3 动量定理动量定理理论力学理
14、论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院14投影形式：投影形式：d()dxxm vFtd()dyym vFtd()dzzm vFt2121dtxxxxtmvmvIFt2121dtyyyytmvmvIFt2121dtzzzztmvmvIFt质点的动量守恒质点的动量守恒若，则常矢量，质点作惯性运动若，则常矢量，质点作惯性运动若，则常量，质点沿若，则常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动轴的运动是惯性运动0F 0 xFvmxmv二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理( )( )d()dieiiiim vFFt( )( )( )d() (0)dieiiiiiimvFFFt而( )ddeipFt=
15、 =质点系的动量定理质点系的动量定理对整个质点系：对整个质点系：对质点系内任一质点对质点系内任一质点 i，改变求和与求改变求和与求导次序，则得导次序，则得理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15质点系动量对时间的导数等于作质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。用在质点系上所有外力的矢量和。质点系动量的微分等于作用在质质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。点系上所有外力元冲量的矢量和。在某一时间间隔内，质点系动量的改在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内冲量的矢量
16、和。在同一时间间隔内冲量的矢量和。积分形式积分形式( )21eippI 微分形式微分形式( )( )ddeeiipFI 质点系动量定理的两种形式质点系动量定理的两种形式( )ddeipFt= =理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院16投影形式：投影形式：三、质点系的动量守恒三、质点系的动量守恒若则常矢量。若则常矢量。若则常量。若则常量。( )0,eiF( )0,eixFiipmvxiixpmv只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传
17、递。p2x-p1x=21( )( )dteeixixtIFtp2y-p1y=21( )( )dteeiyiytIFtp2z-p1z=21( )( )dteeiziztIFt( )ddezizpFt ()ddyeiypFt ()ddexixpFt 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院17例例4 锤的质量锤的质量m3000 kg，从高度从高度h1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变形历时形历时t t 0.01 s ；求锤对工件的平均压力求锤对工件的平均压力。hyG*N解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。工件压力解：以锤为研
18、究对象，和工件接触后受力如图。工件压力是 变 力 ， 在 短 暂 时 间 迅 速 变 化 ， 用 平 均 压 力是 变 力 ， 在 短 暂 时 间 迅 速 变 化 ， 用 平 均 压 力 N*表示。表示。锤自由下落时间锤自由下落时间ght2yyyImvmv12ttNtG)(00) 121() 1(ghGtGNtt12 1.53000 9.8(1)1656kN0.019.8N 锤对工件的平均压力与反力锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量大小相等，方向相反，与锤的重量G29.4 kN比较，是它的比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。倍，可见这个力是相当大的。理论力学理论力
19、学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院18例例5 滑块滑块C的质量为的质量为m19.6 kg ，在力在力F866 N的作用下沿的作用下沿倾角为倾角为30o的导杆的导杆AB运动。已知力运动。已知力F与导杆与导杆AB之间的夹角为之间的夹角为45o，滑块与导杆的动摩擦系数滑块与导杆的动摩擦系数f0.2 ，初瞬时滑块静止，求初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到滑块的速度增大到v2 m/s 所需的时间所需的时间。 ABFgmCNFdF3045xy解：以滑块解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。为研究对象，建立坐标系。由动量定理得由动量定理得d0(cos45sin30)(1)mvFmgF t N00(si
20、n45cos30 )(2)FFmgt 由由(2)(2)式得式得Nsin45cos30FFmgdN(sin45cos30 )Ff Ff Fmg代入代入(1)(1)式，求得所需时间为式，求得所需时间为0.0941scos45sin30(sin45cos30 )mvtFmgf Fmg从而摩擦力为从而摩擦力为理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院19例例6如图所示，已知小车重为如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重沙箱重1 kN，二者以速度二者以速度v03.5 m/s 运动。此时有一重为运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车
21、上滑动动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。1N2N0vx解：研究系统，建立坐标系。解：研究系统，建立坐标系。(e)0constxxFpvgWWWvgWW321021代入已知数据，解得代入已知数据，解得 v3 m/s设沙箱滑动结束后车速为设沙箱滑动结束后车速为v，则有，则有1N2N1WNFvx再以小车为研究对象，由动量定理有再以小车为研究对象，由动量定理有0 xxppFt FtvgWvgW011代入已知数据，解得代入已知数据，解得 F0.5 kN1W3W2W理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院20Bvrv例例7如图所示，
22、质量为如图所示，质量为 mA 的均质三棱柱的均质三棱柱A在重力作用下沿着质量为在重力作用下沿着质量为mB的大的大均质三棱柱均质三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱倾角为的斜面下滑，大三棱柱倾角为 。设各处摩擦不计，初始时系设各处摩擦不计，初始时系统静止。求：统静止。求：(1)(1) B的加速度；的加速度；(2) 地面的约束力。地面的约束力。解：先对系统进行运动分析，建立如图坐标，解：先对系统进行运动分析，建立如图坐标，设设B的速度为的速度为vB，A相对相对B的速度为的速度为vr，则则rBAvvv于是于是cossinAxrBAyrvvvvv ABxyByAgmAgmBRFx系统受力如图。因系统受力如图。
23、因 Fx(e)0，且初始系统静止，有且初始系统静止，有 0)cos()(BrABBvvmvmcos()(1)ArABBm amma两边对两边对t求导求导再以再以A为研究对象，受力如图，由为研究对象，受力如图，由(e)(e)ddddyxxyppFFtt NFAgmAxy理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21NNd(cos)sindd(sin )cosdArBArAmvvFtmvFm gt有有NN(cos)sin(2)(sin )cos(3)ArBArAm aaFmaFm g即即 联立求解联立求解(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)式得式得gmmmaBAAB)sin(22
24、sin2ByAgmAgmBRFxcos()(1)ArABBm amma注意注意NFAgmAxy理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院22gmmmaBAAB)sin(22sin2ByAgmAgmBRFxd(sin )dArRABm vFm gm gt()sin()(tg )RABArABBFmmgm ammgasinArRABm aFm gm g即即将（将（1 1）式）式cos()(1)ArABBm amma代入上式则得代入上式则得以整体为研究对象，由方程以整体为研究对象，由方程 得得(e)ddyypFt 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23运动分析：设
25、经过运动分析：设经过 t 时间后，流体时间后，流体AB 运动到位置运动到位置ab， 例例8 流体流过弯管时，在截面流体流过弯管时，在截面A和和B处的平均流速分别为处的平均流速分别为 v1 , v2 (m/s)。求流体对弯管产生的动压力。求流体对弯管产生的动压力(附加动压力附加动压力)。设。设流体不可压缩，流量流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，密度为为常量，密度为 (kg/m3）。）。21() () abABaBBbAaaBppppppp 2121()() aBaBBbAapppppQ t vQ t v 解解:取截面取截面A与与B之间的流体作为研究的质点系。受力如图示。之间的流体作为研究的
26、质点系。受力如图示。由质点系动量定理；得由质点系动量定理；得21120dlim ()dRtppQ vvWFFFtt 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院24静约束力静约束力 ，动约束力，动约束力12()RFWFF 21()RFQ vv计算计算 时，常采用投影形式时，常采用投影形式RF21 ()RxxxFQ vv 21 ()RyyyFQ vv 与与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力。相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力。RF1221()()RFWFFQ vv 即即21120dlim ()dRtppQ vvWFFFtt 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土
27、木建筑学院25 例例9 图示系统，重物图示系统，重物A和和B的质量分别为的质量分别为m1、m2。若。若A下降下降的加速度为的加速度为a，滑轮质量不计。求支座滑轮质量不计。求支座O的约束力。的约束力。ABOaAvBvABOxyOxFOyFgm1gm2解：以整个系统为研究对象，受力如图，解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。建立如图坐标。设设A下降的速度为下降的速度为vA，B上升的速度为上升的速度为vB，则由运动学关系得，则由运动学关系得ABvv21系统的动量在坐标轴上的投影为系统的动量在坐标轴上的投影为121210,()2xyABAppm vm vmm v由质点系的动量定理由质点系的
28、动量定理1212d10,()d2OxAOyFmm vm gm gFt注意到注意到ddAvat可得可得121201()2OxOyFFm gm gmm a理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26将将 代入到质点系动量定理，得代入到质点系动量定理，得Cpmv( )d()deCimvFt 若质点系质量不变，则若质点系质量不变，则( )eiCmaF( )eCimrF质心运动定理质心运动定理(质心运动微分方程质心运动微分方程) 质点系的质量与加速度的乘积，质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。力的矢量和（外力系的主矢）。
29、1、投影形式：、投影形式：( )( )( ), , eeeCxCixCyCiyCzCizmamxFmamyFmamzF2( )( )( )d , , 0 deeeCCiCninibvvmamFmamFFttt。11-4 11-4 质心运动定理质心运动定理理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27 3、质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运、质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，对于任意一个质点系， 无论它作什无论它作什么形式的运动，么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的质点系质心的运
30、动可以看成为一个质点的运动，运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。所有外力也集中作用在质心这个点上。( )eiC iim aF( )ei C iim rF2、刚体系统：设第、刚体系统：设第 i 个刚体个刚体 mi，vCi，由，由 则有则有 Ci imrm r 或或Ciimam aCi imrm r所以所以)(eixiCiixCiFxmam ( )eiC iyiC iiym am yF( )eiCiziC iizm am zF刚体刚体系统系统上式在刚体系中特别有用，用此式不需要确定刚体系的质心。上式在
31、刚体系中特别有用，用此式不需要确定刚体系的质心。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院28 4、质心运动守恒定律、质心运动守恒定律若，则若，则 常矢量，质心作匀速直线运动；常矢量，质心作匀速直线运动； 若开始时系统静止，即若开始时系统静止，即 则常矢量，质心位置守恒。则常矢量，质心位置守恒。若，则若，则 常量，质心沿常量，质心沿x方向速度不变；方向速度不变；若存在若存在 则则 常量，质心在常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。轴的位置坐标保持不变。 0)(eiF0 , CCav00CvCr( )0eixF=CxCxva , 000CxvCx 5、质心运动定理可求解两类动力学问
32、题：、质心运动定理可求解两类动力学问题： 已知质点系质心的运动已知质点系质心的运动, 求作用求作用于于质点系的外力质点系的外力(包括约束力包括约束力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。 只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。的运动，但可以改变系统内各质点的运动。 0iixm质心在质心在x 轴的位置坐轴的位置坐标保持不变标保持不变必满足必满足理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29解：选两物体组成的系统为研究对象解：选两物体组
33、成的系统为研究对象。( )0exF)(bamMmSmMmSrx 所以质心在水平方向运动守恒。并所以质心在水平方向运动守恒。并且初始静止，必有且初始静止，必有 。0 iim x设大三角形向左的位移为设大三角形向左的位移为S，则，则M S+m(SrxS)=0例例10 质量为质量为M的大三角形柱体的大三角形柱体, 放于光滑水平面上放于光滑水平面上, 斜面斜面上另放一质量为上另放一质量为m的小三角形柱体的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底求小三角形柱体滑到底时时,大三角形柱体的位移。大三角形柱体的位移。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院30解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为
34、研究对象。解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。受力分析如图示，且初始受力分析如图示，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标时系统静止，所以系统质心的位置坐标xC保持不变。保持不变。 0)(exF 0iixm0 iixP例例11 浮动起重船浮动起重船, 船的重量为船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为起重杆的重量为P2=10kN, 长长l=8m，起吊物体的重量为，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为与铅直位置的夹角为 1=60, 水的阻力不计水的阻力不计, 求起重杆求起重杆OA与铅
35、直位置成角与铅直位置成角 2 =30时船的位移。时船的位移。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院31船的位移设向右为船的位移设向右为 x，杆的位移，杆的位移, 2/)sin(sin2112lxx重物的位移重物的位移lxx)sin(sin21130/ )sin(sin2/)sin(sin2113211211lxPlxPxP)sin(sin)(2221321321lPPPPPx)30sin60(sin8)2010200(220210m 318. 0计算结果为负值，表明船的实际位移水平向左。计算结果为负值，表明船的实际位移水平向左。0 iixP 0iixm理论力学理论力学中南大学
36、土木建筑学院中南大学土木建筑学院32例例12如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为分别为m1、m2。设定子质心位于转轴中心。设定子质心位于转轴中心O1，由于制造误差，转子质由于制造误差，转子质心心O2 到到O1的距离的距离为为e，已知转子以匀角速度已知转子以匀角速度 转动。转动。求：求：(1) (1) 质心运质心运动方程；动方程；(2)(2)基础对电机总的水平和铅垂反力；基础对电机总的水平和铅垂反力；(3) (3) 若电机没有螺栓若电机没有螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电机静止，求转子以匀角速度固定，各处摩擦不计，初始
37、时电机静止，求转子以匀角速度 转动时转动时电动机外壳的运动。电动机外壳的运动。解：解：(1) (1) 建立如图坐标，任一瞬时，建立如图坐标，任一瞬时， t，即有即有11220,0cos,sinxyxetyet故质心运动方程为故质心运动方程为212212cossinCCm etxmmm etymm理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院33 (2) (2) 以系统为研究对象以系统为研究对象(e)(e),CxxCyymaFmaF 121212()()CxCymmxNmmyNm gm g22122212cossinCCm extmmm eytmm 222212cossin()xyNm
38、etNmetmm g 由质心运动定理由质心运动定理因因故故得得理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院34teateayx sin , cos2222根据质心运动定理，有根据质心运动定理，有xxeixCixiNtemamFamcos ,2222)(gmgmNtemamFamyyeiyCiyi212222)( sin ,222122cos, sinxyNm etNm gm gm et 可见，由于偏心引起的动约束力是随时间变化的周期函数。可见，由于偏心引起的动约束力是随时间变化的周期函数。或或 a1=0， a2=e 2理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院35（3 3）以系统为研究对象，受力如图。）以系统为研究对象，受力如图。解得解得tmmemmmemscoscos212212由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时xygm2gm1asNF1O2Oe由于由于 Fx(e)0 ，所以所以2min122()NFmm gme若若 ，则，则 。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。emgmm221)(min0NF 0iixm当转子转过当转子转过 ，定子向右移动距离定子向右移动距离s，则则理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院36
