1、习题课一一、 内容小结内容小结 二、二、实实例分析例分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量代数与空间解析几何 第八八章 向量代数向量代数设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动 目录 上页 下页 返回 结束 一一、内容小结内容小结 混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzy
2、xcccbbbaaa0)(cba机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ba空间平面空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),( :000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间解析几何空间解析几何为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx
3、),(pnms 为直线上一点; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:2. .线面之间的相互关系线面之间的相互关系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),(111
4、1pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm面与线间的关系面与线间的关系直线:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 相关的几个问题相关的几个问题(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)点的距离为DzCyBxA000 222C
5、BA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3) 点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二、实实例分析例分析例例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线提示提示: 所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 过点 (3 ,
6、 2 , 5) 的直线方程. 21nnskji机动 目录 上页 下页 返回 结束 241312zyx例例2. 求直线与平面062zyx的交点 . 提示提示: : 化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.提示提示: 先求二直线交点 P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点),(7371372P最后利用两点式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为),(312)
7、,(011),(123过已知点且垂直于已知直线, ) 1,2,3(P机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求直线0101zyxzyx在平面上的投影直线方程.提示提示：过已知直线的平面束方程从中选择01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程, 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513c
8、os504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s机动 目录 上页 下页 返回 结束 417211kji)4,5,3(2所求为例例6. 求过直线L:0405zxzyxzyx84 且与平面4夹成角的平面方程.提示提示: 过直线 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量为已知平面的法向量为选择使43. 012720zyx从而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路: 先求交点例例7. 求过点) 1 , 1 , 1 (0M,12:1xzxyL且与两直线1243:2xzxyL都相交的
9、直线 L.提示提示:21,LL将的方程化为参数方程1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M设 L 与它们的交点分别为. ) 12,43,(2222tttM 再写直线方程.;,21MM),1,2,(1111tttM机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,021tt)3,2,2(, ) 1,0,0(21MM211111:zyxL210,MMM1) 12(1) 1(1)43(1211212121tttttt三点共线2010/MMMML1L2L0M1M2M机动 目录 上页 下页 返回 结束 r例例8.8.直线1101:zyxL绕 z 轴旋转一周, 求此旋转曲面的方程.
10、提示提示: 在 L 上任取一点), 1 (000zyM轴绕为设zMzyxM0),(旋转轨迹上任一点,LxOzy0MM则有0zz 0y22yx 201y得旋转曲面方程1222zyxr，代入第二方程将zy 01机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,2) 1 (2xy 抛物柱面0z平面; 1224zyx及画出下列各曲面所围图形:,1)2(2zx抛物柱面; 10, 0yxzy及平面,)4(222xyzyx柱面旋转抛物面0z平面. 1x及(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答解答:xyzoxy 220z1224zyx)0, 1 ,2()0,2,8(4xyzo2xyz1111xyz(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 1111ozx121 yx0y0z机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 1 , 1 () 1, 1 ( zxyozyx22xy 20z1x(3)
