1、高中数学基基础础公公式式与与基基础础方方法法1 1目录一、集合与常用逻辑用语. 2二、复数、框图.5三、不等式常见解法. 7四、平面向量.9五、空间向量（理科使用）. 12六、解三角形.15七、三角函数.16八、函数.21九、指对数运算法则. 27十、数列.29十一、统计.33十二、概率.37十三、立体几何中的计算. 40十四、立体几何中的平行垂直的证明.44十五、直线与圆.46十六、圆锥曲线.49十七、导数.55十八、参数方程.58十九、极坐标.59二十、不等式选讲.611一、集合与常用逻辑用语1、常用集合符号：符号NZN*或 N+QR集合自然数集整数集正整数集有理数集实数集举例0，1，2，
2、1，0，1，1，2，3，2、子集个数问题：若集合 A 含有 n 个元素，则集合 A 有 2n个子集， 2n-1 个真子集，2n-1 个非空子集，2n-2个非空真子集.例 已知集合Na,b,c，则集合N的非空真子集个数为（）A5B6C7D8【答案】B【详解】根据有n个元素的集合的非空真子集的个数为 22n，由于集合Na,b,c有三个元素，故集合N的非空真子集个数为：2326.3、包含关系的转化：ABAB ，ABABA.A4、注意，元素的互异性，元素的范围.例 已知Ax| x3x20，Bx |ax20，若 ABB ，则实数a的值为（）2A0 或 1 或 2B1 或 2C0D0 或 1【答案】AAx
3、 xx，Bx |ax20，因为 ABB ，所以 BA，|3201,2【详解】已知2当B时， a0成立，当B时，a20或2a20，解得a2或a1，综上：实数a的值为 0 或 1 或 2.2例 已知3a2,a2 ，则实数 a 的值为（）2A1 或1B1C1D1 或 0【答案】C【详解】当a23时，得a1，此时a223，不满集合中元素的互异性，不合题意；当a223 时，得a1，若a1，则a23，不满集合中元素的互异性，不合题意；若a1，则a21，满足 3a2,a2.2例 已知集合 AxN x4，Bx xx40，则AB（）A1,2,3Bx 0 x4Cx 0 x4Dx x4【答案】A【详解】因为 AxN
4、 x40,1,2,3，Bx xx40 x 0 x4，所以A1,2,3B5、四种命题之间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；6、“pq”“pq”“p ”的真假判断pqpqpqp真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真3总结：pq（且）：一假则假，全真则真；pq（或）：一真则真，全假则假；p （非）：原假非真，原真非假。7、含有一个量词的命题的否定全称命题 p ：xM ， p(x)p：xM ，p(x )00特称命题 p ：xM ，0p(x )p：xM ，p(x)0例 命题“xR ，exx2的否定是（）AxR ，exx2BxR ，exx2Cx0R ，exDx0R ，x920exx920【
5、答案】D【详解】命题“xR ，exx2”为全称命题，所以命题“xR ，exx2”的否定是：x0R ，ex 。x020例已知命题 p:xR，x24x60，则p 为（）AxR，x24x60BxR，x24x60CxR，x24x60DxR，x24x60【答案】A【详解】命题 p:xR，x24x60，则p :xR，x24x60.4二、复数、框图1、复数基本概念复数 zabi（a，bR）的实部为 a，虚部为 b；在复平面内对应的点为(a,b)，模长 za2b2；共轭复数 zabi .纯虚数：实部为 0 且虚部不为 0.2、常见的几个值i1= i，i2=1，i3=i，i4= 1，i5= i，i2019=i，
6、.3、复数的加、减、乘除运算法则：设 z1abi，z2cdi，则加法：z1z2(ac)(bd)i；减法：z1z2(ac)(bd)i；乘法：(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i；zabi(abi)(cdi)acbdbcad除法：i1(cdi0)zcdi(cdi)(cdi)cdcd222224、复数相等须满足实部相等且虚部相等。例 若 z(1i)2i；（1）z =1+i；（2）z =1- i；（3）z 的实部1，虚部1；（4）z 在复平面上对应的坐标（1，1）；（5）z 在复平面上对应的坐标位于第一象限；（6）z 的模长 z =2；5、归纳：复数运算统一标准形式z
7、abi（a，bR） .56、表格法解框图题：把所涉及的字母按照箭头先后顺序横向列出，根据循环依次计算.例 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）A-10B-3C4D5分析sk111203-34-105【答案】A6三、不等式常见解法1、一元二次方程：2bxc0(a0)ax求根公式：x1,2bb4ac2；2a韦达定理：两根之和bx1x，两根之积2acx1x.2a2、一元二次不等式： x2x20(x2)(x1)0 x(,12,) （开口向上，大于等于 0，两根之外） ； x2x20(x2)(x1)0 x(1,2)（开口向上，小于 0，两根之间） ；1(12x)(x1)0 x(1)( ,)（开口
8、向下，小于 0，两根之外） ；,2 x216x2160(x4)(x4)0 x(4,4).3、含绝对值的不等式 （a 0） ： xaaxa； xaxa 或 xa .4、分式不等式 ：2x110(2x1)(x1)0 x(,1)；x122x1(2x1)011)(x0 x,1)x1x10；22x12x1x21100(x2)(x1)0 x(,2)(1,)x1x1x1.75、常见的几个不等式（a 0，b 0） ：ab （和）、a2b2（平方和）、ab（积）的关系.a2b22a2bab（当且仅当 a= b时“=”成立）平方和与积：a2b22ab；和与积：ab2 ab ；平方和与和：2(a2b2)(ab)2；
9、注：以上三个不等式取等号的条件都是:当且仅当 a = b.“1”的妙用：若ab1，ab0则1a4b1a4b(ab)ba4ab52ba4ab59a,当且仅当b1323时取等号.例已知正实数m，n满足18mn4，则8mn的最小值为（）A5B6C7D8【答案】D【详解】1181181n64m1n 64m18mn8mn1616284 mn4 mn4mn4mn184mn当且仅当n64mmnm2，即n16时取等号.8四、平面向量1、运算 ABBCAC ABACABCACB.若点 A(1, y )，B(x2, y )，则(,)xAB（终点起点） ；x2x yy12121若a(1, y ),b(x , y )
10、，则(,)xbx1ya1xyy（对应相加减） ，(,)ax；12221212、数量积定义：ab|a|b|cos（在与夹角有关的题使用） ；坐标运算：1xy yabx（在与坐标有关的问题使用） ；21222多项式运算：(ababaabb.) (2 )23、重要结论A，B，C 三点共线，O 为 A，B，C 所在直线外任一点，则OA=OB+OC且+=1.4、夹角公式cos设 a=(x1, y1) ，b =(x , y )，则22aba b2x1x x122y1y y122x22y2例 已知向量a(1, 3),b(2,2 3)，则a与b的夹角是（）A6B4C3D2【答案】C【详解】设a与b的夹角为，则
11、cosab1232 31，ab134122又0 ,180 ，即a与b的夹角是33.5、向量的平行与垂直a/x1y2x2y10.abab0b12120.x xy y9注：向量共线即为向量平行，A、B、C 三点共线即 ABAC.例 已知向量 a =（m，4） ， b =（3，2），且 ab，则 m =_.【答案】6【详解】因为 ab，所以2m430，解得m6例 已知向量a(1,2)，b(x,1)若ab，则实数x=（）A-2B2C-1D1【答案】B，所以x20，即x2.【详解】因为ab，所以ab06、向量模长计算坐标：设 a=(x1, y1) ，则2aaxy；向量的平方等于模的平方；2211遇见 x
12、ayb 时，先算平方得再开根。单位向量模长为 1；例 已知a(1,t)，b(2,2)且ab ，则|ab |_.【答案】 10【详解】ab，即t1，22，ab22t0|ab |1,31310.例 若 a3， b2，且a与 b 的夹角为 60 ，则 ab_；0【答案】 7【详解】因为 a3， b2，且a与 b 的夹角为600，所以 ab22a2 ab cos60b.92 3 2 cos60477、投影计算abx xy ya cos1212a在 b 方向的投影：2b2xy2210abx xy yb cos1212b 在 a方向的投影：2a2xy11例 平面向量a(1,0)，b(1, 3) ，则向量
13、b 在向量 a方向上的投影为（）A1B1C12D12【答案】A【详解】向量 b 在向量 a方向上的投影为ab11.1a8、建系解决问题例在矩形 ABCD 中，AB2，AD1， 点 M 在边 CD 上运动，则MAMB 的最小值为（）A1B0C1D3【答案】B【详解】如图，以 A 原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系， AB2， AD1 则 A0,0，B2,0，又 M 点在 CD 上，设M(x,1)，x0,2，则MA(x,1)，MB(2x,1)，MAMBx22x1(x1)2，当x1时，有最小值 011五、空间向量（理科使用）1、运算公式： a = (x1
14、，y1，z1)，b = (x2，y2，z2)ab= x；1xy yz z21212|a |=1yz2x22；11abcosa，b=|a|b|x21x x12y21y y12z21x22z22；abx1xy yz z0.212122、平面法向量的求法：平面内两条相交直线的方向向量分别为 a = (x1，y1，z1)，b = (x2，y2，z2)，则平面的法向量可取 n = (y1z2y2z1， z1x2z2x1，x1y2x2y1).x1y1z1x1y1z1x2y2z2x2y2z2（口诀：同一向量写两遍（横向），去掉两边留中间，交叉相乘再相减，化简坐标往里填）3、异面直线夹角（(0,）2若异面直线
15、 AB 与 CD 的方向向量分别为 a = (x1，y1，z1)，b = (x2，y2，z2)，则异面直线abAB 与 CD 的夹角满足：cos=|cosa，b| .|a|b|4、直线与平面的夹角（0,）2若直线 PA 的方向向量 a = (x1，y1，z1)，平面的法向量 b = (x2，y2，z2)，则直线 PA 与平ab面所成角满足：sin=|cosa，b| .|a|b|125、二面角（0,）若平面的法向量 a= (x1，y1，z1)，平面 的法向量 b= (x2，y2，z2)，则二面角l的平ab面角满足：|cos|=|cosa，b|（cos的值：锐二面角取正，钝二面角取负，大多|a|b
16、|数题都取正）例 在长方体 ABCDABC D 中，点E,F分别在棱1111DD1,BB1上， 且2DEED1，BF2FB1， AB2，AD， AA13。1（1）求直线 AF 与直线 A1E形成角的余弦值；（2）求直线 AF 与平面 A1EF 所成角的正弦值；（3）求二面角 AEFA1的余弦值【解析】线线角：求出两条直线的方向向量a和 b ，利用公式：cosaba b（1）【建系，找两两垂直的三条线】建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz .1【写坐标，写出题中涉及点的坐标】A2,1,3、A12,1,0、E2,0,2、F0,1,1【直线求出方向向量，平面求出法向量】AF，10, 1,22,0,
17、 2AE【应用公式】cosAFAFA E1A E1210线面角：求出直线的方向向量m ，平面的法向量 n，利用公式：sinmnm n（2）直线 AF 的方向向量 AF2,0,2设平面 A1EF 的法向量为nx2,y2,z2，13n AE0y2z0122由，得，取2xz0nAF0122z22，得x21，y24，则n1,4,2，(注：法向量书写得按照以上固定模板书写，计算可以悄悄用口诀)AFn42所以直线 AF 与平面 A1EF 所成角的正弦值为：.sin14AF ncos二面角：求出两平面的法向量m 和 n，利用公式：mnm n（3）设平面 A1EF 的法向量为2,2,2nxyz，n AE0y2
18、z0122由，得，取2xz0nAF0122z22，得x21，y24，则n1,4,2，设平面 AEF 的法向量为mx1, y1,z1，m AE0由，得mAF0yz0112x2z011取 z，得11x1y11，则m1,1,1，mn37cosm,nmn3217由图知此二面角为钝二面角，所以二面角7AEFA 的余弦值为.1714六、解三角形abc1、正弦定理2R（R 为ABC 外接圆的半径）sin Asin BsinC公式变形：（1）a2Rsin A，b2Rsin B，c2RsinC （边化角）.abc（2）sin A，sin B，sinC（角化边）.2R2R2R（3）a：b：csin A:sin B
19、:sinC2、余弦定理 a2b2c22bccos A；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC .公式变形：cos Ab2c2a2；cos2bcBa2cb22；2accosCa2bc22（求角）2ab3、射影定理abcosCccosB；bacosCccos A；cacosBbcos A；4、三角形面积公式111SabsinCbcsin Acasin B（根据已知角或者所求角选用公式）2221Sabcr2，r为三角形内切圆半径（已知三边长求内切圆半径通用公式）5、三角形内角和定理（ ABCC(AB)）sinCsin(AB)sin AcosBcos Asin B；cosCcos(AB
20、)(cos AcosBsin Asin B)6、三角恒等变换（均可由倍角公式推导）sin2A2sin Acos A，cos2Acos2Asin2A2cos2A112sin2A，sinAAA2sincos.227、角平分线定理在ABC 中，AD 为A的角平分线，则SABBDABD.SACDCACD8、求面积、周长的范围常用不等式：a2b22ab，ab(ab)2.415七、三角函数1、特殊三角函数值 （度数） 030456090120135150180 （弧度）06432233456sin012223213222120cos1322212012223-12tan 03313无3-13032、扇形的
21、弧长与面积公式11扇形弧长公式：lr扇形面积公式：Slrr2223、三角函数的定义：若角终边上任意一点的坐标为x0, y，则0ysin，022xy00 xycos，tan(0)00 x22xy00 x004、同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2cos21；商的关系：tan=sincos；sintan22弦化切：sin2，cos2sincostan1222cos12；sincostan1222(sincos)212sincos12sin2.例已知 sin cos 54，则 sincos等于（）A749B16C932D93216【答案】C2516【详解】由题意得(sincos)2， 即 si
22、n2cos22sincos2516，又 sin2cos21，12sincos 2516，sincos932.例 已知tan2，则sincos2sinacos（）A1B3C32D52【答案】A【解法一】sincostan131.2sinacos2tana13【解法二】tan2sin2cos，带入sincos2sinacos化简得 1例 已知tan2，则 sin2sincos2cos2=（）4AB3543CD445【答案】Dsinsincos2cos22【解法一】sinsincos2cos22sincos22tantan242242tan14152.【解法二】tan2sin2cos，带入sinsi
23、ncos2cos化简得4cos222sin2cos2cos22sincos115，故 sin2sincos2cos2=45.5、正弦、余弦的诱导公式sinsin,k 为偶数,k 为奇数sin(k)，cos(k)（奇变偶不变）2cos，k 为奇数2cos，k 为偶数由将看成锐角时，sin(k)，cos(k)的符号决定（符号看象限）22173例 化简（1）cos()（2）cos()2（1）22“2”为偶数，所以函数名称不变；将看成锐角，则为第三象限，余弦为负，所以 cos()cos；3（2）3223“3”为奇数，所以函数名称改变；将看成锐角，则2为第三象限，余3弦为负，所以 cos()sin；26
24、、和角与差角公式sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tan(tantan.)1tantan7、二倍角公式sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan22tan1tan2.例 已知 cos3x，则cos2x（）41AB4141CD818【答案】D2312【详解】cos2x2cos x121.48189、 三角函数的图象与性质(表中的 k 均满足kZ )ysin xycosxytan x图象定义域RR,x xkk2值域1,11,1R周期性22奇偶性sin(x)sin x,奇函数cos(x)cosx,偶函数tan(x)tan x
25、,奇函数单调性增区间 2k,2k22增区间2k,2k增区间 k,k22减区间32k,2k22减区间2k,2k对称轴xkxk无2对称中心k,0,0k2k,02当 x2k时，ymax1；2当x2k时，最值当 x2k时，2y；max1当x2k时，无最大值，也无最小值ymin1ymin110、周期的求法yAsin(x)yAcos(x)yAtan(x)T2T2T例函数f (x)sin(2x)的最小正周期为（）3A4B2CD219【答案】C【详解】由题意T2。211、辅助角公式：abbasin22其中xbcosxabsin xxab sin(xtan.2cos)2aabab2222(注意：使用公式时，把
26、a,b 看成正数，取锐角)例（1）sin x3cosx(sin xcosx)1( 3)2sin(x)2sin(x)33（2）已知，则sinsin=1sin=36（）A12B33C23D22【答案】B【详解】由题意可得：sin1sin3 cos1，则：2233sincos1，2231333sincos，从而有：sincoscossin，即 sin22366363.20八、函数1、常见函数定义域BBA0：（分母不为 0） ； A : A0 （根号下大于等于 0）；: A0AA；logaA: A0（真数大于 0） ； tan A: Ak，kZ ； A0: A0（0 的 0 次方无意义）.22、函数的
27、单调性定义：设f1f xf x 在 a b上是增函数；x、，有()()0( ) , 1xa,b,xxx2122设f x1f xf x 在 a b上是减函数.、，有()()0( ) , x1xa,b,xx2122变式：设x那么1xa,b ,xx212f (x )f (x )(xx ) f (x )f (x )0f xa b12在0( ),上是增函数；121212xxf (x )f (x )(xx ) f (x )f (x )0f xa b12在 ,0( )上是减函数.121212xx 常见的单调性判断增函数+增函数=增函数增函数减函数=增函数减函数+减函数=减函数减函数增函数=减函数（用法：函数
28、的单调性可以分解成几个函数单调性） 复合函数单调性：同增异减，（注意：定义域优先！）例 函数f (x)ln x2x8的单调递增区间是_.2【答案】(2,)【详解】令 tx22x80，可得x4，或x2，故函数的定义域为，42，又 tx22x8在区间2，上单调递增，函数 yln x在区间2，上单调递增，所以函数f (x)ln x2x8的单调递增区间是2，.2213、函数的奇偶性奇函数偶函数定义域关于 O 对称关于 O 对称解析式f (x)f (x)f (x)f (x)图像关于原点对称关于 y 轴对称常见的奇函数：kf (x)； f (x)kx ；xbf (x)ax； f (x)sin x； f (
29、x)tan x； f (x)axax；xa1xf (x)； f (x)log ( x21x)；aa1xf1x(x)log；a1x常见的偶函数： f (x)C ； f (x)ax2； f (x)| x|； f (x)cosx； f (x)a|x|； f (x)axax； f (x)log | x|.a常见的奇偶性判断：奇函数（）奇函数=偶函数奇函数（）偶函数=奇函数偶函数（）偶函数=偶函数奇（偶）函数奇（偶）函数=奇（偶）函数（用法：函数的奇偶性可以分解成几个函数奇偶性）4、奇函数在 x0处有意义， f (0)0；例 若 f (x)aea2xex1为奇函数，则a=_.【答案】1【详解】易见f (
30、x)定义域为 R 的奇函数，所以 f (0)0，即 faea22a20(0)0e120，此时e1e11exxxf (x), f (x)f (x)e1e11exxx，f (x)为奇函数，a= 1.5、对称性（括号里边相加为定值）f (bx)f (ax)，则 yf (x)的图像关于xab对称；222abf (bx)f (ax)0，则 yf (x) 的图像关于(,0)2对称；ab cf (bx)f (ax)c，则 yf (x)的图像关于(, )22对称；7、周期性（括号里边相减为定值）f，则 yf (x)的周期 T = a；(x)f (xa)f (x)f (xa)或者f (x)1则 yf (x)的周
31、期T=2a.f (xa)8、由对称性推周期周期还可以由函数的对称性（轴对称、中心对称）求出：对称轴+对称轴型：如果一个函数 f (x)关于xa对称，又关于xb 对称，则 T2ab对称中心+对称中心型：如果一个函数 f (x)关于(c,0)对称，又关于(d,0)对称，则T2cd对称中心+对称轴型：如果一个函数 f (x)关于(c,0)对称，又关于xa对称，则 T4ac9、图象平移：若将函数 yf (x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数 yf (xa)b 的图象，规律：左加右减（自变量），上加下减（因变量）；例 （1） ysin2xysin(2x)1；3【分析】ysin2x 向左平移6个单位得
32、到 ysin2(x)，向上平移1个单位 ysin(2x)1.63（2）11yy.2x2x1【分析】y1向右平移2x12个单位得到y2(x112).（请关注以上两个问题中 x 发生的改变）2310、图象翻折：f ( x)，绝对值打在 x 上：去左翻右去掉 y 轴左边的图象，将 y 轴右边的图象翻过来.f (x) ，绝对值打在 f (x)上：留上翻下保留 x 轴上边的图象，将 x 轴下边的图象翻上去.11、函数的零点：定义：对于 yf (x) ，把使 f (x)0的 x 叫 yf (x)的零点。即 yf (x) 的图象与 x 轴相交时交点的横坐标，零点是一个数.变式：函数 yf (x)g(x)有
33、n 个零点方程 f (x)g(x)有 n 个实数根函数 yf (x)的图象与 yg(x)的图象有 n 个交点.函数零点存在性定理：如果函数 yf (x) 在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并有 f (a)f (b)0，那么 yf (x)在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得 f (c)0，这个c 就是零点.例 已知函数 f (x)log xx5，则f (x)的零点所在的区间为（）3A(0,1)B(1,2)C(3,4)D(4,5)【答案】C【详解】因为f，f，3log 3 3 5104log 44 5log 4 1log 3 103333所以 fx的零点所在区间为3,4。2412、几
34、种常见的函数模型：名称一次函数二次函数反比例函数解析式ykxb(k0)yax2bxc(a0)yax2bxcky(k0)(a0)xky(k0)x图像定义域RRR(， 0)(0，)(， 0)(0，)单调性k0，单调递增b(，减)2ab(，)增2a(，0),(0，)(，0),(0，)k1，增a1，增bb(， 0)， (0， )减aa0a1，减0a1，减值域(， 2 ab2 ab，)R(0，)R奇偶性奇函数奇函数非奇非偶非奇非偶定点无无（0,1）（1,0）指对三结论：在第一象限，指数函数底大图“逆”、对数函数底大图“顺”；指数函数底数互为倒数图像关于 y 轴对称、对数函数底数互为倒数图像关于 x 轴对
35、称；指数函数与对数函数同底数时图像关于 y=x 对称.26九、指对数运算法则1、指数运算法则：am an= am+n；amanamn；( am)n= amn；( ab )n= an bn；naa；anbbnn1n0= 1 ( a0)；a；aaan；mmnman1mna常用：2x122x，4xxx，2n12n(21)2n2n，2n2n1(21)2n12n1.(22)(2 )22、根式的性质：当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nna,a0aa|a,a0.3、指数式与对数式的互化：abNblog N (a0,a1,N0).a4、对数中常用运算：（1）常用对数：lg N = log10N；自然对数
36、：ln N = logeN （其中 e2.718，e27.389） ；（3）loga1 = 0；（4）logaa = 1；（5）alogaN= N；（6）loga(MN) = logaM + logaN （内积外和） ；（7）loga(MN) = logaM - logaN（内商外差） ；（8）logaMn= nlogaM（内方外乘） ；n（9）logamblog b；nam（10）换底公式：logab =logclogcbalgb；lga（11）推论：logab =1logba；（12）yax恒过定点(0,1)， ylog x恒过定点(1,0)；a（13）logn(n1)logn1(n2)，
37、logn1nlogn2(n1)；n1n2证明：lognn11(1log,()log,logn2)nn11nnn1n1n1n2logloglog,nn1nn 1nn1logn.(n1)1nlog(2)n2711;logn,log(n1)又nn21nlog (n1)log(2)nn1log1nlognnn.(1)2例 函数fxlogx32a0,a1的图象恒过定点_.a【答案】4,2【详解】因为fxlogx32a0,a1令x31即x4时，af4log4322，故函数fxlogx32a0,a1恒过4,2.aa28十、数列1、等差、等比数列基本公式递推公式通项公式前 n 项和公式等差数列aan1dn或a
38、n1adnandna1(1)推广：ana(nm)dmn(a1a )n(n1)Snnan212d等比数列anan1qanaqn11S1(1)nna q或a或qn1ananaqn m推广：mSna (1q )n1(q1)1q2、等差中项与等比中项：若 a，b，c 成等差数列，则称 b 是 a 和 c 的等差中项，有：a + c = 2b；若 a，b，c 成等比数列，则称 b 是 a 和 c 的等比中项，有：a c = b2.3、数列的通项公式与前 n 项的和的关系anSnS (n1)1S(2)nn 14、等差、等比数列的对称性（角标和性质）等差数列中，若mnpq， 则amaaa ；特别地，若mn2
39、p， 则npqama2a .np等比数列中，若mnpq，则aaaa ；特别地，若mn2p，则amaa2；mnpqnp5、片段和性质等差数列的依次 k 项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k，为等差数列；等比数列的依次 k 项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k，为等比数列例 等差数列a的前 n 项和为nS ，己知nS430，S，则8100S)12(A110B200C210D260【答案】C【详解】由题意，等差数列a的前 n 项和为nS ，nS430，S，8100由等差数列的性质得S4，S8S4，S12S8成等差数列，29即30，1003070，S12100成等差数列，所以30S100270，解
40、得12S122106、等差数列an, b的前 n 项和分别为Sn,Tn，则nanbnS2n1T2n1例 若等差数列a 和b 的前n项的和分别是nnS和T，且nnSnn，则T3n1na5b5（）A23B928C2031D79【答案】B【详解】a 与 b是两个等差数列，它们的前n项和分别为nnS和T，nn又等差数列的前n项和公式 Sna ，且2n 1(21)nSnn，T3n1na9aS99559b9bT3 9128.5597、求数列的通项公式（1）累加法：若递推公式满足anan1f (n)，则ana1(aaaaaaaaafff nf n)()()()(2)(3)(1)( )2132n 1n 2nn
41、 11a（2）累乘法：若递推公式满足( )nf nan1，则aaaaana1afff nf n2n 1n3(2)(3)(1)( )1aaaa12n2n1（3）构造法：n1， 则 设an1k(an)，解除，即可得出等比数列若递推公式满足akaba；nn11若递推公式满足anan1kanan1，则变形为kaan1n，即可得出等差数列1an；aa若递推公式满足a，则变形为1nkaknn1n1，即可得出等差数列1nn1nkkannk.（4）前 n 项和法：若已知Snf (n) ，则可采用四步法求an：step1：当 n = 1 时，1Sa；130step2：当 n 2 时，根据 Sn写出 Sn1，an
42、SnSn1；step3：验证a1S 是否满足1a；nSSnn1a，n11step4：anSnSn1（SnS） ，SnS）a 满足a（a 不满足1n1n，1n1SSn2nn 1若已知Snf (a )，则可采用三步法求na ：nstep1：当 n = 1 时，a 满足 a1f (a )即可解得a ；111step2：当 n 2 时，由anSnSn1可得an的递推公式满足：anf (an)f (an1)；step3：根据递推公式及首项求出an.7、求数列的前 n 项和（1）公式法：a 为等差数列或等比数列；nnnn（2）分组求和法：(akb )ab ；kkkk1k1k1（3）裂项相消法：a 的通项公
43、式为分式型；n常见的裂项公式：1111n(nk)knnk，特别地，当 k =1 时，111n(n1)nn1；111nkn，特别地当 k =1 时nn1nnkknn1；11111；4n22nnn2n111 212 211n1nnlogalog1log1log；aaann211n2121 2n112n1nn1；（4）乘以公比错位相减法：等差等比；step1. 列出Sn，乘以公比得 qSn；step2. 错位相减得(1q)Sn；step3. 化简求出Sn.注意：第三步中错位相减法的结果，很容易出错，实际上可以记住SAnBqnBn()A,B通31过待定系数法求解.例 求数列 bn423nn的前 n 项
44、和。【解析】bn423 ，令其前n项和为nT，nn则 T23631034n63n4n23n，1231n3T23631034n63n4n23n，2341n得：2T64 333n4n23n，231n9 13n12T644n2344n312n1n1n13，所以223n6Tn1n【点评】错位相减法很多同学都懂方法，最大的问题是常常算错，下面我们这样处理：第一步我们依然这样写：T23631034n63n4n23n，1231n3T23631034n63n4n23n，2341n得：2T64 333n4n23n，231n第二步我们直接写出结果：223n6Tn1，过程在草稿纸上悄悄计算，如下：nTn()3nAn
45、BBT2T1(2A(AB)9B)3BB18A3A8B2Bb1b1b26654603A2B即18A7B660B6解得，所以A6T(663n.nn)632十一、统计1、平均数：xnxi1inn，加权平均数：xi1xifi.2、方差：s2nni2(xx)1i1inx2in2nxn；加权方差：2(x).2sixpii13、线性关系若 x1，x2，x3，xn的平均数为 x ，方差为 s2，标准差为 s，则数据的平均数、方差和标准差有以下规律：数据平均数方差标准差x1，x2，x3，xnxs2sx1b，x2b，xnb(b 为常数)xbs2sax1，ax2，axn(a 为常数)axa2s2asax1b，ax2
46、b，axnb(a，b 为常数)axba2s2as例 若样本数据x1,x2,x10的标准差为 8，则数据2x1，2x1 的标准差为（）2x1，1210A8B15C16D32【答案】C【解析】样本数据 x ，x ，x的标准差为 8，所以方差为 64，由D2X14Dx可得1210数据2x11，2x21，2x1 的方差为464，所以标准差为46416 。104、频率分布直方图频率：每一组小矩形的面积，即 fiSi，所有小矩形面积之和为 1；众数：最高的矩形底边的中点的横坐标；中位数：设中位数为 m，则 m 满足在直线 x = m 的左侧的矩形面积等于在直线 x = m 右侧的矩形面积，且都等于 0.5
47、；平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边的中点横坐标之和. 即：33nxxiSx Sx Sx Si1122nni1（其中 xi表示第 i个小矩形底边的中点的横坐标，Si表示第 i个小矩形的面积） ；例在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩防护服消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下六组：40,50，50,60，60,70，90,100，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中m的值；（2）利
48、用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到 0.01).【答案】（1）m0.030； （ 2）平均数为 71，中位数为 73.33.【详解】（1）由100.0100.0150.015m0.0250.051，得m0.030.（2）平均数为x450.1550.15650.15750.3850.25950.0571，220设中位数为n，则0.10.150.15n700.030.5，得n.73.33 3故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为 71，中位数为 73.33.nsxix2Sxx2Sxx2Sxx2S2(
49、)()()() 方差：nn；i1123i1标准差：ns(x)2.2()2()2()ixSxxSxxSxxSi1123nnixSxxSxxSxxSi1345、简单随机抽样分层抽样：按比例抽样；例 2020 年新冠肺炎疫情期间，为停课不停学，某高中实施网上教学该高中为了解网课学习效果，组织了一次网上测试并利用分层抽样的方法从高中 3 个年级的学生中随机抽取了 150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了 40 人，50 人，若高三年级有学生 1200 人，则该高中共有学生_人【答案】3000【详解】由已知可知，高三年级抽取的学生数为150405060，60150设该高中的学生总数为 n，则，解得
50、n3000，即该高中的学生共有 3000 人1200n系统抽样：等距抽样；随机数法：法则一 每个单数占一列；法则二 没有在样本范围内舍去；法则三 重复的舍去；例：个体由编号为 01，02，03，49，50 的 50 个个体组成，利用随机数表(以下选取了随机数表中的第 1 行和第 2 行)选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10列数字开始由左向右读取，则选出来的第 5 个个体的编号为.66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 9057 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75
