1、1柳州市 2022 届高三第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）135；14328；15e , 0；16333三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17解： （1）完成列联表（单位：人） ：成绩合格成绩不合格合计男性401050女性302050合计70301002 分由列联表，2K的观测值841. 3762. 42110030705050)30102040(1002k， 5 分有 95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关 6
2、分（2）从参与的市民中随机抽取 100 人，有 70 人竞答成绩合格，所以成绩合格的频率为7 . 0，将频率视为概率，从该市所有参与活动的市民中随机抽取一人，恰好抽到成绩合格的市民的概率为 0.7 ， 8 分由题意知)7 . 0,10( BX，10 分随机变量X的数学期望77 . 010)(XE，11 分方差1 . 23 . 07 . 010)(XD12 分18 （1）点1,nnSS在直线)( 11*Nnnxnny上，) 1(11nSnnSnn，1 分同除以1n，则有111nSnSnn， 2 分111nSnSnn， 3 分数列nSn是以2111 aS为首项，1为公差的等差数列 4 分题号123
3、456789101112答案CDDBBCACADCA2（2）由（1）可知3) 1() 1(2nnnSn，5 分nnSn32，6 分当1n 时，23111 Sa； 7 分当2n时，42) 1(3) 1(3221nnnnnSSannn，8 分经检验，当1n 时也成立)(42*Nnnan9 分121nnnTbbbbnnnT224242220224321 10 分15432224242220222nnnT 11 分143212242222222222nnnnT12232nnnT 12 分19 （1）证明：设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得2PAPBPC，1PO ，1AOBOCO.在PAC中，
4、PAPC，O为AC的中点，POAC，1 分在POB中，1PO ，1OB ，2PB ，222POOBPB，POOB.2 分又ACOBO， 3 分,AC OB 平面ABC，PO 平面ABC， 4 分PO 平面PAC，平面PAC 平面ABC.5 分（2）解：由（1）知，BOPO，BOAC，BO 平面PAC，BMO是直线BM与平面PAC所成的角，6 分且1tanBOBMOOMOM，当OM最短时，BMO最大，即当M是PA的中点时，直线BM与平面PAC所成的角最大，7 分由PO 平面ABC，OBAC，所以POOB，POOC，于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，则0
5、,0,0O，1,0,0C，0,1,0B，1,0,0A ，0,0,1P，11,0,22M，1, 1,0BC，1,0, 1PC，31,0,22MC. 8 分设平面MBC的法向量为111,mxyz，则由00m BCm MC 得：1111030 xyxz.令11x ，得11y ，13z ，即1,1,3m . 9 分设平面PBC的法向量为222,nxy z，由00 n BCn PC得：222200 xyxz，令1x ，得1y ，1z ，即1,1,1n .10 分55 33cos,3333m nm nm n .11 分3由图可知，二面角PBCM的余弦值为5 333312 分20.（1）由题意知23ac.
6、1 分141322ba2 分1, 2ba 3 分椭圆14:22 yxC4 分（2）由已知得2,0A 、2,0B，设椭圆 C 上动点,P x y，则利用两点连线的斜率公式可知02PAykx，02PBykx，22222100142222444PAPBxyyyykkxxxxxx ， 5 分设直线PA方程为：2yk x，则直线PB方程为：124yxk ，6 分根据对称性不妨设0k ，令3x ，得5Myk，14Nyk ，7 分即3,5Mk，13,4kN，则154MNkk8 分设PMN与PAB的外接圆的半径分别为1r，2r，由正弦定理得：12sinMNrMPN，22sinABrAPB，9 分又180MPN
7、APB，sinsinMPNAPB，10 分4544152441521kkkkABMNrr 11 分当且仅当154kk，即510k时，等号成立，即21rr的最小值为5412 分21解： （1）函数 xf的定义域为, 0，1 分 fx2222222613412444xaxaaaxaxaxxxx， 2 分当0a时，由 0fx得ax2，即 xf的单调递增区间是,2a；3 分由 0fx得ax20，即单调递减区间是a2 , 04 分当0a时，由 0fx得ax6，即 xf的单调递增区间是,6a；5 分由 0fx得ax60，即单调递减区间是a6, 0 6 分（2）当ea61时，由（1）知，函数 xf在e, 1
8、上递减，4所以 4112,62eexf 7 分对任意4 , 11x，存在ex, 12，使 21xfxg即等价为 411221exg恒成立即可，8 分即022xmexxexm22， 9 分设 xexxh22， xexxxh22/10 分 xh在2 , 1上单调递增，在4 , 2上单调递减， 2max82ehxh11 分88em 12 分22解： （1）由题知直线l的普通方程为4 yx，1 分曲线1C的普通方程为yyx22又cosx，siny， 2 分直线l的极坐标方程为4sincos， 3 分化简得曲线1C的极坐标方程为sin 5 分（2）直线l的极坐标方程为4sincos，令，则|sincos4OM，6 分1C的极坐标方程为sin，令，则|sinON，7 分故),sin(5cossin2sin)cos(sin4 ONOM其中21tan ，9 分因为02，3|ONOM的最大值为510 分23解： （1）, 1, 5, 12, 33, 2, 5)(xxxxxxxf 3 分 f x在2,递增，在 , 2递减，4 分 f x的最大值为3)2(f， f x的值域为3 ,5 分（2）证明：由（1）知3m， 3zyx， 6 分由柯西不等式得：222yzxxyz2xyzyzx， 9 分即3222zxyzxy，当且仅当1zyx时，取等号 10 分
