1、9.1 9.1 二次型和对称矩阵二次型和对称矩阵9.2 9.2 复数域和实数域上的二次型复数域和实数域上的二次型9.3 9.3 正定二次型正定二次型9.4 9.4 主轴问题主轴问题9.5 9.5 双线性函数双线性函数 -笛卡儿笛卡儿(Rene Descartes(Rene Descartes， 1596-1650)1596-1650) - - 牛顿（牛顿（Newton,1642Newton,164217271727） 9.1 9.1 二次型和对称矩阵二次型和对称矩阵一一. .内容分布内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形二二
2、. .教学目的教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形三三. .重点难点重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形 9.1.1 二次型及矩阵二次型及矩阵 定义定义1 设设F是一个数域，是一个数域，F上上n元二次齐次多项式元二次齐次多项式（1）nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxq1, 13113211222222211121222),( 叫做叫做F上的一个上的一个n 元二次型。元二次型。F 上上n 元多项式总可以看成元多项式总可以看成 F 上的上的n 个变量的函数，个变量的函数，二次型（二次型（1）定义了一个函
3、数）定义了一个函数 所以所以n 元二次元二次型也叫型也叫n 个变量的二次型个变量的二次型. .:FFqn在（在（1）中令）中令 因为因为 所以所以（1）式可以写成以下形式：）式可以写成以下形式： . ),1(njiaajiij ,ijjixxxx （2） ninjjiijjiijnaaxxaxxxq1121,),( 是（是（2）式右端的系数所构成的矩阵）式右端的系数所构成的矩阵,称称为二次型为二次型 的矩阵。因为的矩阵。因为 ,所以所以A是是F上的一个上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，（法，（2）式可以写成）式可以写成)(ijaA 令令),(21nxxxqjiij
4、aa （3） nnnxxxAxxxxxxq212121),(),(二次型（二次型（3）的秩指的就是矩阵）的秩指的就是矩阵A的秩。的秩。 9.1.2 线性变换线性变换如果对二次型（如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：）的变量施行如下的一个变换： （4）),1(, 2 , 1,1njiFpniypixijnijji 那么就得到一个关于那么就得到一个关于 的二次型的二次型nyyy,21),(21nyyyq （4）式称为变量的线性变换，令）式称为变量的线性变换，令 是（是（4）的系数据构成的矩阵，则（的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成）可以写成 )(ijpP （5） nnyyyPxxx212
5、1将（将（5）代入（）代入（3）就得到）就得到 （6） nnnyyyAPPyyyyyyq212121),(),(矩阵矩阵P称为线性变换（称为线性变换（4）的矩阵。如果）的矩阵。如果P是非奇异是非奇异的，就称（的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为）是一个非奇异线性变换。因为A是是对称矩阵，所以对称矩阵，所以 也是对称矩阵。也是对称矩阵。 APPAPPPAPAPP .)(推论推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。换之下保持不变。注意注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立不
6、成立 定理定理9.1.1 设设 是数域是数域F上的一个以上的一个以A为为矩阵的矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以元二次型。对它的变量施行一次以P为矩为矩 ninjjiijxxa11APP 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 。BAPP ABPPBPP 1111)()( 对称性：如果对称性：如果B与与A合同，那么合同，那么A也与也与B合同，因合同，因为由为由 可以得出可以得出9.1.3 矩阵的合同矩阵的合同定义定义2 设设A，B是数域是数域F上的两个上的两个n 阶矩阵。如果存阶矩阵。如果存在在F上的一个非异矩阵上的一个非异矩阵P，使得，使得 那么称那么称
7、B与与A合同。合同。 BAPP 矩阵的合同关系的性质：矩阵的合同关系的性质： 传递性：如果传递性：如果 B 与与 A 合同，合同，C 与与 B 合同，那么合同，那么C 与与 A 合同。合同。 自反性：任意矩阵自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为都与自身合同，因为IAI=A事实上，由事实上，由 可得可得合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的称矩阵合同的矩阵仍是对称的.CBQQBAPP 和和CBQQAPQPQPQAPQ )()( 是数域是数域F上两个上两个n 元二次型，它们的元二次型，它们的矩阵分别为矩阵分别为A 和和 B. 如果可以
8、通过变量的非奇异线如果可以通过变量的非奇异线性变换将性变换将 ，则，则B与与A 合同合同. 反之，设反之，设B与与A 合同合同. 于是存在于是存在F上非奇异矩阵上非奇异矩阵P 使得使得 . 通过以通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将为矩阵的非奇异线性变换就将 .qq 和和设设qq 变为变为APPB qq 变为变为F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个非奇异线性变换将其中一个变成另一个. 定理定理9.1.3 数域数域F上两个二次型等价的必要且充分条上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同。件是它们的矩阵合同。等价的二
9、次型具有相同的秩。等价的二次型具有相同的秩。 定理定理9.1.4 是数域是数域F上的一个上的一个n阶对称矩阵。阶对称矩阵。总存在总存在F上一个上一个n阶非奇异矩阵阶非奇异矩阵P，使得，使得)(ijaA 令令 ncccAPP0021即即F上的一个上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同。同。证证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆一下理。回忆一下5.25.2里所定义的三种初等矩阵里所定义的三种初等矩阵 容易看出，容易看出，)()(,kTkDPijiji和和)()();()(;kTkTkDkDPPijijiijiji
10、 )(ijaA 设设OA )(ijaA 设设OA 现在对矩阵现在对矩阵A A的阶的阶n n作数学归纳法，作数学归纳法，n = n = 1 1时定时定理显然成立。设理显然成立。设n 1n 1，并且假设对于，并且假设对于n n 1 1阶对阶对称矩阵来说，定理成立。称矩阵来说，定理成立。 是一个是一个n n阶阶矩阵矩阵. .如果如果A = OA = O，这时，这时A A本身就是对角形式。本身就是对角形式。设设 , ,我们分两种情形来考虑我们分两种情形来考虑. .(a) 设设A的主对角线上元素不全为零，例的主对角线上元素不全为零，例如，如， .如果如果i 1，那么交换，那么交换A的第的第1列与第列与第
11、I 列，列，再交换第再交换第1行与第行与第i行，就可以把行，就可以把 换到左上角。这换到左上角。这样就相当于初等矩阵样就相当于初等矩阵 , 再用再用 . 于是于是 的左上角的元素的左上角的元素0 iiaiiaAPi右乘右乘1APPii左左乘乘11 iiAPP11 011 a111aaj 不等于零不等于零. 因此，我们不妨设因此，我们不妨设 ，用，用 乘乘 j 行，就可以把第一行第行，就可以把第一行第 j 列和第列和第 j 行第行第1列位置的列位置的元素变成零。元素变成零。 A的第的第1列加到第列加到第 j 列，再用列，再用 乘第乘第1行加到第行加到第111aaj 这相当于用这相当于用 右乘右乘
12、A，用，用 )(1111aaTjj )()(11111111aaTaaTjjjj 左乘左乘A。这样，总可以选取初等矩阵。这样，总可以选取初等矩阵 ,使得使得 sEEE,21 00001112112AaEEAEEEEss这里这里 是一个是一个n 1阶的对称矩阵。阶的对称矩阵。 1A由归纳法假设，存在由归纳法假设，存在n 1阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 1Q ncccQAQ0032111 000011QQQEEEPs21 取取那么那么 nsscccQAQaQAaQQEEAEEEEQAPP000000000021111111112112这里这里 。 111ac (b) 如果如果 . 由于由于AO，
13、所以一，所以一定有某一个元素定有某一个元素 . 把把A的第的第 j 列加列加到第到第 i列列, 再把第再把第 j 行加到第行加到第 i行行, 这相当于初等矩阵这相当于初等矩阵 右乘右乘A . 再用再用 左乘左乘A. 而经过这样而经过这样的变换后所得到的矩阵第的变换后所得到的矩阵第 i行第行第 j 列的元素列的元素是是 . 于是由情形（于是由情形（b）就归结到情形（）就归结到情形（a）.niaii, , 2 , 1, 0 jiaij , 0)1(jiT)1()1( jiijTT02 ija注意注意 在定理在定理 9.1.2的主对角形矩阵的主对角形矩阵 中，主对中，主对角线上的元素角线上的元素 的
14、一部分甚至全部可以是的一部分甚至全部可以是零。显然，不为零的零。显然，不为零的 的个数等于的个数等于A的秩，如果秩的秩，如果秩A等于等于r 0，那么由定理的证明过程可以知，那么由定理的证明过程可以知APP nccc,21ic0, 0,2121 nrrrcccccc而而给了数域给了数域 F 上一个上一个n 阶对称矩阵阶对称矩阵A， 由定理由定理9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一个可逆矩阵个可逆矩阵P，使，使 有对角形式，只要在对有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位
15、矩阵阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当施行同样的列初等变换，那么当A化化为对角形式时，为对角形式时，I 就化为就化为P。 APP 例例1 设设 04034126006303000A我们按定理我们按定理9.1.2所给出的方法对所给出的方法对A施行行和列施行行和列初等变换，将初等变换，将A变成，使得是一个对变成，使得是一个对角形矩阵。同时对单位矩阵角形矩阵。同时对单位矩阵 ，施行同样的初等，施行同样的初等变换而得出变换而得出P。 APP APP 4I交换交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同第一列和第二列，第一行和第二行，同时交换时交换 的第一列和第二列。这时的第一列和第二列。这时A和
16、和 分别化分别化为：为： 4I4I 1000010000010010,0430412063000060311PA把把 的第一列乘以的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以加到第三列，第一行乘以2加到第三行，同时把加到第三行，同时把 的第一列乘以的第一列乘以2加到第三列。加到第三列。分别得到：分别得到： 1A1P 1000010002010010,043040003000000322PA把把 的第四列加到第二列，第四行加到第二的第四列加到第二列，第四行加到第二行，同时把行，同时把 和第四列加到第二列，得和第四列加到第二列，得2A2P 1010010002010010,0430404034600003
17、33PA以以 2/3 和和 1 /2 乘乘 的第二列依次回到第三的第二列依次回到第三列和第四列上列和第四列上, 再以再以 2/3 和和1 /2 乘第二行依次加到乘第二行依次加到第三行和第四行上，同时对第三行和第四行上，同时对 的列施行同样的初的列施行同样的初等变换。得等变换。得3A3P 21322132423384100100020110,20020000600003PA最后，以最后，以 3/4 乘乘 的第三列加到第四列上的第三列加到第四列上,再以再以3/4 乘第三行加到第四行上，并且对乘第三行加到第四行上，并且对 的的列施行同样的初等变换，我们得到列施行同样的初等变换，我们得到 4A4p 0
18、10100201110,000000000600003434323325385PA取取 。于是。于是5PP 00000380000600003APP9.1.4 二次型的标准形二次型的标准形定理定理9.1.5 数域数域F上每一个上每一个n元二次型元二次型 ninjjiijxxa11可以通过变量的非奇异线性变换化为：可以通过变量的非奇异线性变换化为： Fcccycycycnnnn ,21222211例如，以例例如，以例 1 中对称矩阵中对称矩阵A为矩阵的二次型是为矩阵的二次型是 43324123224218126123),(xxxxxxxxxxxq 通过变量的非奇异线性变换通过变量的非奇异线性变换
19、 4321432103210431002320113210yyyyxxxx化为化为 .3863232221yyy 练习练习1 写出下列二次型的矩阵写出下列二次型的矩阵 3213213219 8 76 5 43 2 1 ,xxxxxxxxxf练习练习2 写出对应下列方阵的二次型写出对应下列方阵的二次型 4 3 23 2 12 1 1例例2 分别用配方法和合同变换法化二次型分别用配方法和合同变换法化二次型 323121321622),(xxxxxxxxxf 成标准形成标准形. (读者答题）读者答题） 3213211 0 01- 1 02 1- 1yyyxxx练习练习3 已知二次型已知二次型 312
20、12221321222,xxxxxxxxxf 试对它作如下非奇异线性变换试对它作如下非奇异线性变换9.2 复数域和实数域上的二次型复数域和实数域上的二次型 一一.内容分布内容分布 9.2.1 复二次型的典范形复二次型的典范形 9.2.2 实二次型的典范形实二次型的典范形二二.教学目的教学目的 1掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次实二次 型的惯性指标型的惯性指标.、符号差等概念。、符号差等概念。 2掌握实二次型的惯性定律掌握实二次型的惯性定律.三三.重点、难点重点、难点： 实二次型的惯性定律实二次型的惯性定律. 复数域和实数域上的二次型分别叫做
21、复二次型复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型和实二次型. 9.2.1 复二次型的典范形复二次型的典范形 定理定理9. 2. 1 复数域上两个复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩且必要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩的充分且必要条件是它们有相同的秩. 证证 显然只要证明第一个论断显然只要证明第一个论断. 条件的必要性是明显的条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充我们只要证条件的充分性分性. 设设A，B是复数域上两个是复数域上两个n阶对称矩阵，且阶对称矩阵，且A与与B有相同的秩有相
22、同的秩r ，由定理，由定理9.1.2，分别存在复可逆矩，分别存在复可逆矩阵阵P和和Q，使得，使得 000021rcccAPP 000021rdddBQQridcrii, 2 , 1, 0, 0,0 时时当当取取 n 阶复矩阵阶复矩阵 1011011rccS 1011011rddT的一个平方根的一个平方根. iiiidcdc,分别表示复数分别表示复数这里这里那么那么 ，而，而 TTSS , OOOIBQTQTAPSPSr因此，矩阵因此，矩阵A，B 都与矩阵都与矩阵 OOOIr合同，所以合同，所以A与与B合同合同. 9.2.2 实二次型的典范形实二次型的典范形定理定理9.2.2 实数域上每一实数域
23、上每一n 阶对称矩阵阶对称矩阵A 都合同于如都合同于如下形式的一个矩阵：下形式的一个矩阵： （1） OOOOIOOOIprp这里这里 r 等于等于A的秩的秩. 证证 由定理由定理9.1.2，存在实可逆矩阵，存在实可逆矩阵P，使得，使得 000021rcccAPP如果如果r 0 ，必要时交换两列和两行，我们总，必要时交换两列和两行，我们总可以假定可以假定 rpcccrp 0, 0, 0,1取取 101|10|11rccT那么那么 OOOOIOOOIAPTPTprp定理定理9.2.3 实数域上每一实数域上每一 n 元二次型都与如下形式元二次型都与如下形式的一个二次型等价：的一个二次型等价： （1）
24、 221221rppxxxx 这里这里 r 是所给的二次型的秩是所给的二次型的秩. 二次型（二次型（1）叫做实二次型的典范形式，定理）叫做实二次型的典范形式，定理9.2.3 是说，实数域上每一个二次型都与一个典范是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价形式等价. 在典范形式里，平方项的个数在典范形式里，平方项的个数 r 等于二等于二次型的秩，因而是唯一确定的次型的秩，因而是唯一确定的. 定理定理 9.2.4（惯性定律）（惯性定律）设实数域设实数域R上上n元二次型元二次型 ninjjiijxxa11等价于两个典范形式等价于两个典范形式 221221rppyyyy （2）221221rppz
25、zzz （3）那么那么pp 证证 设（设（2）和（）和（3）分别通过变量的非奇异线性变）分别通过变量的非奇异线性变换换 （4）nixsynjjiji, 2 , 1,1 （5）nixtznjjiji, 2 , 1,1 化为所给的二次型化为所给的二次型 如果如果 不不,11 ninjjiijxxa,pp 妨设妨设 考虑考虑 个方程的齐次线性方个方程的齐次线性方程组程组,pp pnp （6） npixtpixsnjjijnjjij, 1, 2 , 1,11因为因为 所以所以 因此，方程组（因此，方程组（6）在在R内有非零解内有非零解. 令令 是（是（6）的一个非）的一个非零解零解. 把这一组值代入把
26、这一组值代入 的表示式的表示式,pp ,npnp ),(21nccciizy 和和（4）和（）和（5）. 记记 nicscynjjiji, 2 , 1,)(1 nictcznjjiji, 2 , 1,)(1 我们有我们有 njnijjijirpprppccaczczczczcycycycy1221221221221)()()()()()()()(然而然而0)()(, 0)()(11 czczcycyrpp所以所以 221221)()()()(czczcycyprp 因为因为 都是非负数，所以必须都是非负数，所以必须22)()(czcyii和和0)()(0)()(11 czczcycyprp又又
27、 所以所以 是齐是齐次线性方程组次线性方程组 . 0)()(1 czcznpnccc,21nictnjjij, 2 , 1, 01 的一个非零解的一个非零解.这与矩阵这与矩阵 的非奇异性矛盾的非奇异性矛盾. )(ijt这就证明了这就证明了 . 同理可证得同理可证得 . 所以所以 pp pp .pp 由这个定理，实数域上每一个二次型都与由这个定理，实数域上每一个二次型都与 唯一的典范形式（唯一的典范形式（1）等价）等价. 在（在（1）中，正平方项的个数中，正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标叫做所给二次型的惯性指标. 正项的个数正项的个数p与负项的个数与负项的个数 r p 的差的差s =
28、 p (r p) = 2p r 叫做所给的二次型的符号差叫做所给的二次型的符号差. 一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定的的. ),(21nxxxq定理定理9.2.5 实数域上两个实数域上两个 n 元二次型等价的充分且元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差必要条件是它们有相同的秩和符号差. 证证 设设 是实数域是实数域上两个上两个n元二次型元二次型. 令令 分别是它们的矩分别是它们的矩阵阵. 那么由定理那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵，存在实可逆矩阵P，使得，使得),(),(212211nnxxxqxxxq和和21AA 和和
29、 OOOOIOOOIPAPprp1如果如果 等价，那么等价，那么 合同合同. 于是存在实于是存在实可逆矩阵可逆矩阵Q 使得使得 . 取取 ，那么，那么12qq 与与12AA 和和QAQA12 PQT1 OOOOIOOOIPAPPQQAQQPTATprp11112因此因此 都与同一个典范形式等价，所以它们有都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差相同的秩和符号差. 12qq 与与反过来，如果反过来，如果 有相同的秩有相同的秩 r 和符号差和符号差s ,21,qq)(21srp 21,AA那么它们也有相同的惯性指标那么它们也有相同的惯性指标 . 因此因此 都与矩阵都与矩阵 OOOOIOO
30、OIprp合同合同. 由此推出由此推出 合同，从而合同，从而 等价等价. 12AA 和和12qq 与与推论推论 9.2.6 实数域实数域 R 上一切上一切n元二次型可以分成元二次型可以分成 )2)(1(21 nn 类，属于同一类的二次型彼此等价，类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价属于不同类的二次型互不等价. 证证 给定给定 . 令令 rpnr 00和和 OOOOIOOOICprppr,由定理由定理9.2.4，R上每一上每一n元二次型恰与一个以元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价为矩阵的典范形式等价. 当当 r 取定后，取定后，p 可以取可以取0，1， ，r ；而；而
31、 r 又可以取又可以取0，1，n 中任何一个中任何一个数数. 因此这样的因此这样的 共有共有 prC,prC,)2)(1(21)1(21 nnn个个. 对于每一个对于每一个 ，就有一个典范形式，就有一个典范形式 prC,221221rppxxxx 与它相当与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是一类，于是 R 上的一切上的一切 n 元二次型恰可以分成元二次型恰可以分成 类，属于同一类的二次彼此等价，类，属于同一类的二次彼此等价，属于不同类的二次互不等价属于不同类的二次互不等价.)2)(1(21 nn例例 1 a 满足什么条件时，二次型满足什么条
32、件时，二次型 3132212322213212223,xxxaxxxaxxxxxxf 的惯性指标是的惯性指标是0，符号差是，符号差是2 ？写出其典范形。？写出其典范形。 解解 实二次型实二次型 的矩阵为的矩阵为 321,xxxf a a - aA1 3- 1-1- 1- 1经过合同变换可化为标准形经过合同变换可化为标准形 3100 0 2- 0 0 0 1aa 所以当所以当 或或 时，二次型的惯性指标是时，二次型的惯性指标是0，符号差是符号差是2，其典范形为，其典范形为 1 a3 a 2221321,zzxxxf 9.3.1正定二次型正定二次型 9.3.2 正定二次型的判别正定二次型的判别 1
33、掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。二次型的概念。 实二次型实二次型 AXXxxxfn),(21正定的判定。正定的判定。 2掌握实二次型掌握实二次型 AXXxxxfn),(21正定的判正定的判 定定理。定定理。 9.3 正定二次型正定二次型1基本概念基本概念 i）正定二次型）正定二次型实二次型实二次型 ),(21nxxxf称为正定的，如果对于称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数任意一组不全为零的实数 nccc,21都有都有 12( ,)0.nf c
34、 ccii）正定矩阵）正定矩阵 实对称矩阵实对称矩阵 称为正定的，如果二次型称为正定的，如果二次型 AAXXiii）负定、半正定、半负定、不定的二次型）负定、半正定、半负定、不定的二次型设设 是一实二次型，如果对于任意一组是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数不全为零的实数 ，),(21nxxxfnccc,211都有都有 , 那么那么 称为负称为负定的；定的； 0),(21ncccf),(21nxxxf2都有都有 ，那么，那么 称为半正称为半正定的；定的； 0),(21ncccf),(21nxxxf3都有都有 ， 那么那么 称为半称为半负定的；负定的； 0),(21ncccf),(21n
35、xxxf4如果它既不是半正定又不是半负定，那么如果它既不是半正定又不是半负定，那么 就就称为不定的称为不定的. ),(21nxxxf),(21nxxxf称为正定称为正定 ),(21nxxxf 称为负定称为负定 ),(21nxxxf称为半正定称为半正定 ),(21nxxxf 称为半负定称为半负定 例例1 下列实二次型是否为正定的二次型：下列实二次型是否为正定的二次型：1） 222132132,xxxxxf2） 222132132,xxxxxf3） 2322213212132,xxxxxxf（半正定）（半正定） 例例2 若若 ， 都是都是 阶正定矩阵，阶正定矩阵， 证明：证明： 是正定矩阵。是正定
36、矩阵。 ABnBA证明：证明： 只需证明只需证明 正定。正定。 XBAXxxxfn,21由由 ， 都是正定矩阵，知都是正定矩阵，知 ， 正定，正定， A BAXXxxxgn,21BXXxxxhn,21所以对于任意一组不全为所以对于任意一组不全为零的实数零的实数 nccc,21， 有有 0),(21ncccg， 0),(21nccch从而从而 0),(),(),(212121nnnccchcccgcccf故故 XBAXxxxfn,21正定。正定。 2两个结论两个结论1实二次型实二次型 是正是正定的当且仅当定的当且仅当 . 222221121),(nnnxdxdxdxxxfnidi, 2 , 1,
37、0证明：若证明：若 正定，正定，则对任意一组不全为零的实数则对任意一组不全为零的实数 ，都有，都有 . 分别选取分别选取 为为 ，则有，则有 . 222221121),(nnnxdxdxdxxxfnccc,210),(222221121nnncdcdcdcccf),(21nccc) 1 , 0 , 0( ),0 , 1 , 0( ),0 , 0 , 1 (nidi, 2 , 1,0nidi, 2 , 1,0若若 .则对任意一组不全为零的实则对任意一组不全为零的实数数 ，都有，都有 nidi, 2 , 1,0nccc,210),(222221121nnncdcdcdcccf所以所以 222221
38、121),(nnnxdxdxdxxxf是正定的。是正定的。 2非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变. 设实二次型设实二次型jiijninjjiijnaaxxaxxxf ,),(1121(1) 经过非退化实线性替换经过非退化实线性替换 CYX (2) 变成二次型变成二次型jiijninjjiijnbbyybyyyg ,),(1121(3) 则则 是正定的是正定的 是正是正定的。定的。),(21nxxxf),(21nyyyg证明证明： 若若 是正定的。对于任意一是正定的。对于任意一 组组不全为零的实数不全为零的实数 ，令，令),(21nxxxfnkkk,
39、21nnkkkCuuu2121由于由于 是可逆实矩阵，故是可逆实矩阵，故 也是一组不全为也是一组不全为零的实数，从而零的实数，从而 Cnuuu,210),(),(21111121nninjjiijninjjiijnuuufuuakkbkkkg因为二次型（因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换）也可以经非退化实线性替换XCY1变到二次型（变到二次型（1），所以按同样理由，当（），所以按同样理由，当（3）正定）正定时，（时，（1）也正定）也正定. 1判别定理判别定理1： 1实二次型实二次型 是正定的是正定的 它的正惯它的正惯性指数等于性指数等于 .),(21nxxxfn2实二次型实二次型 是正定
40、的是正定的 它的规范它的规范形为形为 。 ),(21nxxxf22221nyyy3一个实对称矩阵是正定的一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合它与单位矩阵合同同. 例例3 正定矩阵的行列式大于零正定矩阵的行列式大于零. 逆命题不成立。逆命题不成立。 1 0 0 1A反例：反例： 的行列式大于零，但它对应的二次型的行列式大于零，但它对应的二次型 不是正定的。不是正定的。 A222121),(xxxxf提示：提示：IAAAA2矩阵的顺序主子式矩阵的顺序主子式 111,Pa111222122,aaPaa ,3332312322211312113aaaaaaaaaP nnnnnnnaaaaaaaaaP
41、212222111211称为矩阵称为矩阵 的顺序主子式的顺序主子式. nnijaA)(矩阵矩阵 的第的第 个顺序主子式为个顺序主子式为 nnijaA)(i练习练习1：若：若 是是 阶实矩阵，则满足（阶实矩阵，则满足（ ）时，）时， 是正定矩阵。是正定矩阵。AnAA), 2 , 1( 212222111211niaaaaaaaaaPiiiiiii称为矩阵称为矩阵 的顺序主子式的顺序主子式.nnijaA)(3判别定理判别定理2：实二次型：实二次型 AXXxxaxxxfninjjiijn1121),(是正定的是正定的 矩阵矩阵 的顺序主子式全大于零的顺序主子式全大于零. A例例4 判定二次型判定二次
42、型 32312123222132148455),(xxxxxxxxxxxxf是否正定是否正定.),(321xxxf 的矩阵为的矩阵为 5 2- 4-2- 1 2 4- 2 5 ，它的顺序主子，它的顺序主子式式 50 ，5 2102 1 ， 5 2 -4 2 1 -210-4 -2 5 ，所以，所以， 正定。正定。),(321xxxfA ， B. 非退化，非退化， C. 的元素的元素全是正实数，全是正实数， D. 的主对角上元素全为正。的主对角上元素全为正。0|AAAA练习练习2：若：若 是正定矩阵，则下列结论错误的是是正定矩阵，则下列结论错误的是（ ）。）。 A练习练习3：设：设 1 11 2
43、A，1 11 3B，1 11 2C，易知易知 都是正定矩阵，但都是正定矩阵，但 CBA,2 43 7AB，2 33 4AC，不是正定矩阵。不是正定矩阵。 9.4 主轴问题主轴问题 一一.内容分布内容分布 9.4.1 变量的正交变换变量的正交变换 9.4.2 实对称矩阵的相似对角形实对称矩阵的相似对角形二二.教学目的教学目的: 1掌握变量的正交变换掌握变量的正交变换 2掌握将实二次型通过变量的正交变换化为一掌握将实二次型通过变量的正交变换化为一 个只含变量平方项的二次型个只含变量平方项的二次型三三.重点、难点重点、难点: 实二次型通过变量的正交变换化为一个只含变实二次型通过变量的正交变换化为一个
44、只含变量平方项的二次型量平方项的二次型9.4.1 变量的正交变换变量的正交变换我们已经看到我们已经看到, 实数域上一个二次型实数域上一个二次型 可以经过变量的非奇异变换可以经过变量的非奇异变换),(21nxxxq nnyyyPxxx2121化为二次型化为二次型.221221rppyyyy 定义定义: 我们一般地讨论将一个我们一般地讨论将一个n元实二次型通过元实二次型通过变量的正交变换化为一个只含变量平方项的二次型变量的正交变换化为一个只含变量平方项的二次型问题问题, 这个问题称为二次型的主轴问题这个问题称为二次型的主轴问题. 这里所说的这里所说的变量的正交变换指的是这个变换的矩阵是正交矩阵变量
45、的正交变换指的是这个变换的矩阵是正交矩阵. 由于正交矩阵是非奇异的由于正交矩阵是非奇异的, 所以变量的正交变所以变量的正交变换是非奇异的换是非奇异的. 用矩阵的语言来说就是用矩阵的语言来说就是, 给一个实给一个实对称矩阵对称矩阵A, 要寻求一个正交矩阵要寻求一个正交矩阵U, 使得使得 是对角形式是对角形式, 这个问题在这个问题在8.4里实际上已经得到解决里实际上已经得到解决.AUU 定理定理9.4.1 设设 ninjjiijnxxaxxxq1121),(是实数域上一个二次型是实数域上一个二次型, 那么总可以通过变量的正那么总可以通过变量的正交变换交变换 nnyyyUxxx2121化为化为 这里
46、这里U是一个正交矩阵是一个正交矩阵,而而 是二次型是二次型 的全部特征的全部特征根根. .2222211nnyyy Rn ,21 ijaA 证证 是一个是一个n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵.由定理由定理8.4.3 和和 8.4.6,存在一个正交矩阵存在一个正交矩阵U , 使得使得 ijaA .0021 nAUU 这里这里 是是A的全部特征根的全部特征根.这也就相这也就相当于说以当于说以A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变为矩阵的二次型可以通过变量的正交变换化为标准形式换化为标准形式 Rn ,21.2222211nnyyy 推论推论9.4.2 设设 ninjjiijnxxaxxxq1121),(是
47、实数域上一个是实数域上一个n元二次型元二次型, 是它的矩阵是它的矩阵. ijaA (i) 二次型二次型 的秩等于的秩等于A 的不等于的不等于零的特征根的个数零的特征根的个数, 而符号差等于而符号差等于A 的正特征根个的正特征根个数与负特征根个数的差数与负特征根个数的差. (ii) 二次型二次型 是正交的必要且只要是正交的必要且只要A的所有特征根都是正数的所有特征根都是正数.),(21nxxxq),(21nxxxq9.4.2 实对称矩阵的相似对角形实对称矩阵的相似对角形例例1 已知实二次型已知实二次型 323121232221321222222,xxxxxxxxxxxxf (1) 用正交线性变换
48、将二次型化为标准形用正交线性变换将二次型化为标准形,并写出并写出所用的正交线性变换；所用的正交线性变换； (2) 求出的秩、惯性指标与符号差求出的秩、惯性指标与符号差. 2 1- 1-1- 2 1-1 - 1- 2A解解 （1） 的矩阵为的矩阵为 321,xxxf求求 f 的全部特征根：因为的全部特征根：因为 232111 2111 2| xx x- x- xAxI故的全部特征根为故的全部特征根为 （二重），（二重）， 。31 02 对特征根对特征根 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 31 000321321321xxxxxxxxx得一基础解系：得一基础解系： 1 0 1 ,0 1 121
49、 对特征根对特征根 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 02 020202321321321xxxxxxxxx得一基础解系：得一基础解系： 1113 1113 ,1 0 1 ,0 1 121 对对 正交化、单位化得：正交化、单位化得： ,62 6161 ,0 21 2121 ee 3131313e以以 为列作一个正交矩阵为列作一个正交矩阵321 , ,eee 31 62 0 31 61 21 31 61 21T则则 3 0 00 3 00 0 3ATT于是于是 经过正交线性变换经过正交线性变换 ，化，化为标准形为标准形 321,xxxfTYX 222132133,yyxxxf （2） 由（由
50、（1） 的秩为的秩为2，惯性指，惯性指标标 ，符号差，符号差 . 321,xxxf2 p22 rps二次型与双线性函数有着密切的关系，后者也是线性代数里一个非常重要概念。在这一章的后面，我们介绍一个双线性函数。 回忆7.1例6，数域F上向量空间V到F的线性映射也叫作V上线性函数。现在定义双线性函数的概念。 定义 1 设V是数域F上一个向量空间。V上一个双线性函数指的是一个映射,对于V中任意一对向量，有F中唯一确定的数与它对应，并满足下列条件：这里 例如，欧氏空间的内积就是这个空间上一个双线性函数。 设 是数域F上向量空间V上一个双线性函数。由定义1中条件(i)，(ii)，(ii)，容易推出。
