1、1.4 1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1 1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义的定义 在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，sinsin，coscos，tantan分别叫作角分别叫作角的正弦、余弦和正切，的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？它们的值分别等于什么？B Csi n =A BA Ccos =A BB Ctan =A CA AB BC C 当角当角不是锐角时，我们必须对不是锐角时，我们必须对sinsin，coscos，tantan的值进行推广，以适应任意
2、角的需的值进行推广，以适应任意角的需要要. .如何定义任意角的三角函数呢如何定义任意角的三角函数呢? ? 这就是这节课我们所要学习的主要内容这就是这节课我们所要学习的主要内容1.1. 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. . （重点）（重点）2.2.理解正弦函数、余弦函数在四个象限内的符理解正弦函数、余弦函数在四个象限内的符号号. .（重点）（重点）3.3.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义数的定义. .( (难点难点) )思考：在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的思考：在直角坐标系中，作以坐标原点为圆
3、心的单位圆，对于任意角单位圆，对于任意角 ，使角，使角 的顶点与原点重的顶点与原点重合，始边与合，始边与x x轴的非负半轴重合，终边与单位圆轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点交于唯一的点P P( (u u, ,v v),),正弦函数、余弦函数又该正弦函数、余弦函数又该如何表示呢？如何表示呢？探究点探究点1 1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义任意角的正弦函数、余弦函数的定义如图所示，点如图所示，点P P的纵坐标的纵坐标v v叫作叫作的正弦函数，的正弦函数， 记作记作v v= =sinsin，点点P P的横坐标的横坐标u u叫作叫作的余弦函数，的余弦函数， 记作记作u u= =cosco
4、s. .(1,0)(1,0)OP P( (u, ,v) )Mx(1,0)(1,0)OP P( (u, ,v) )Mx(1,0)(1,0)OP P( (u, ,v) )Mx(1,0)(1,0)OP P( (u, ,v) )Mxyyyy小结：小结：1.1.对于给定的角对于给定的角，点，点P P的纵坐标的纵坐标v, ,横坐标横坐标u都是唯一确定的，所以都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是正弦函数、余弦函数都是以角以角为自变量，以单位圆的点的坐标为函数值的为自变量，以单位圆的点的坐标为函数值的函数函数. .(1,0)(1,0)OP P(x,(x,y) )yMxPMyOMxsin=y cos=x.
5、OP1OP1 ，3.3.如图，在给定的单位圆中，对于任意角如图，在给定的单位圆中，对于任意角可以是正角、可以是正角、负角或是零角，所以正弦函数负角或是零角，所以正弦函数v v= =sinsin，余弦函数，余弦函数u u= =coscos的定义域为全体实数的定义域为全体实数(1,0)(1,0)OP P( (u, ,v) )Mx(1,0)(1,0)OP P( (u, ,v) )Mx(1,0)(1,0)OP P( (u, ,v) )Mx(1,0)(1,0)OP P( (u, ,v) )Mxyyyy思考：思考：由三角函数的定义，如何求任意角由三角函数的定义，如何求任意角的正弦、的正弦、余弦值？余弦值？
6、提示：提示：求任意角求任意角的正弦、余弦值分两步，第一步的正弦、余弦值分两步，第一步求出角求出角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点P P，第二步写出点，第二步写出点P P的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值. .【即时训练即时训练】判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打”)”)(1)sin ,cos (1)sin ,cos 中可以将中可以将“”“”与与“sin”“sin”，“cos”“cos”分开分开.( ).( )(2)(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应同一个三角函数值能找到无
7、数个角与之对应.( ).( )(3)(3)角角终边上有一点终边上有一点P(1P(1，1)1)，故，故cos =1.( )cos =1.( )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .符号符号sin ,cos sin ,cos 是一个整体，不能分开是一个整体，不能分开. .(2)(2)正确正确. .终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等. .(3)(3)错误错误.P(1,1),x=1,y=1, .P(1,1),x=1,y=1, 故故cos =cos =答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3)(3)r2，12.22探究点探究点2 2 三角函数值在各象限的符号三角函
8、数值在各象限的符号思考思考1 1 角角的正弦、余弦、正切的值的正负与谁有的正弦、余弦、正切的值的正负与谁有关？关？提示：提示：与角与角终边所在的象限有关终边所在的象限有关. .思考思考2 2 如何判断角如何判断角的正弦、余弦、正切值的正负？的正弦、余弦、正切值的正负？提示：提示：角角的正弦、余弦、正切值的正负只与点的正弦、余弦、正切值的正负只与点P(u,vP(u,v) )的坐标的坐标u,vu,v的正负有关，所以可通过的正负有关，所以可通过u,vu,v的正的正负来判断角负来判断角的正弦、余弦、正切值的正负的正弦、余弦、正切值的正负. .根据三角函数的定义，研究三角函数的值在各个象根据三角函数的定
9、义，研究三角函数的值在各个象限的符号限的符号. .OxyOxysiny cosx sincos+_+_口诀：口诀： 全正，全正，正弦，正弦，全负，全负，余弦余弦当角当角=0=0时，时，sin =_sin =_；若角；若角=-3=-3，则，则sin sin 的的符号为符号为_(_(填填“正正”或或“负负”).”).【解析】【解析】当角当角=0=0时，时，sin =0sin =0；若角；若角=-3=-3，则角，则角是第三象限角，所以是第三象限角，所以sin sin 0.0.【即时训练即时训练】负负0 0提升总结：正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号提升总结：正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号 象
10、限象限 第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限 图示图示 正弦函正弦函数符号数符号 余弦函余弦函数符号数符号 + + +- -+ + +- - - -(1,0)(1,0)OMxyQ QP PN N解：解：（1 1）如图，以原点为角的顶）如图，以原点为角的顶点，以点，以 x x轴的非负半轴为始边，顺时轴的非负半轴为始边，顺时针旋转针旋转 ，与单位圆交于点，与单位圆交于点P P， ，即为所求作的角，即为所求作的角. .例例2 2 在直角坐标系的单位圆中，在直角坐标系的单位圆中，(1)(1)画出角画出角. .(2)(2)求出角求出角的终边与单位圆的交点坐标的终边与单位
11、圆的交点坐标. .4 4MOP ,4 Oy yM Mx x1 1P P-422.422 ，点点标为（，）(2)由于P在第四象限，所以P坐例例3 3 已知角已知角 终边上一点终边上一点P P 求角求角 的正的正弦函数值、余弦函数值弦函数值、余弦函数值. .解解: : 因为点因为点P P 在角在角 的终边上，的终边上，所以所以 可知可知则则sin = sin = coscos = =3(,2),23(,2)23 3x = -,y = 2,x = -,y = 2,2 222223535r = OP = (- ) +2 =.r = OP = (- ) +2 =.2222y24,5r523x32.5r5
12、2 已知角已知角的终边过点的终边过点P(-3aP(-3a，4a)(a0)4a)(a0)，则，则cos =_.cos =_.【解析】【解析】由题意可得：由题意可得：|OP|=|OP|=当当a a0 0时，时，|OP|=5a|OP|=5a，则，则当当a a0 0时，时，|OP|=-5a|OP|=-5a，则，则【变式练习变式练习】223a4a5 a .3a3cos .5a5 3a3cos .5a5 35【总结提升】【总结提升】利用三角函数的定义求值的策略利用三角函数的定义求值的策略(1)(1)已知角已知角的终边在直线上求的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种
13、：题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值三角函数的定义求出相应的三角函数值. .方法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，方法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标取射线上任一点坐标(a,b)(a,b)，则对应角的正弦值，则对应角的正弦值余弦值余弦值22bsin ab，22acos .ab (2)(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论题
14、的实际情况对参数进行分类讨论. . 在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表函数值填入下表 你能独立完你能独立完成这张表吗？成这张表吗？120 022321 132120 012-32-1-132-12-0 01 13222120 0-1-132-12-32-120 03212-1 1 在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值
15、、余弦函数值填入下表函数值填入下表观察此表格中的数据观察此表格中的数据, ,你能发现函数你能发现函数y= =sinx和和y= =cosx的变化有什么特点吗？的变化有什么特点吗？总结：总结：用用x x表示自变量，即表示自变量，即x x表示角的大小，表示角的大小，用用y y表示函数值，于是任意角三角函数可以表示函数值，于是任意角三角函数可以表示为表示为 它们的定义域为它们的定义域为全体实数全体实数. .ysinx , ycosx. 1.1. 若若sincos0,sincos0,则角则角是是( () )A.A.第一象限角第一象限角 B. B.第二象限角第二象限角C.C.第一或三象限角第一或三象限角D
16、.D.第二或四象限角第二或四象限角【解析】【解析】因为因为sinsincos0,cos0,所以所以sinsin与与coscos同号同号, ,所以角所以角是第一或三象限角是第一或三象限角. .C C2.2.若角若角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 ，则，则sin=( )sin=( )13( ,)223213A. B. C.3 D.22不确定解：解：由三角函数的定义可知由三角函数的定义可知sin = .sin = .3.3.已知角已知角的终边上一点的终边上一点A A的坐标为的坐标为(2sin 60(2sin 60, ,-2cos 60-2cos 60) )，则，则sin sin 的值为的值
17、为_._.解：解：因为因为sin 60sin 60= ,cos 60= ,cos 60= ,= ,所以所以A( ,-1)A( ,-1)，所以所以r= =2r= =2，所以，所以sin =- .sin =- .32122231 12312B B4 4. .已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求的正弦，求的正弦函数值、余弦函数值函数值、余弦函数值P23，解：解：y33 13sin,r1313x22 13cos.r1313 所以22x2,y3,r( 2)( 3)13, 因为所以x xy yO OP P5 5. .确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号: :13(1)cos250(2)
18、sin(4.）.解解: :,13133333si n(-)= si n(-4si n(-)= si n(-4+)= si n+)= si n444444313, sin()0.44所以而而是是第第二二象象限限角角（1 1）因为）因为250250是第三象限角是第三象限角, ,所以所以cos250cos2500.0.（2 2）因为）因为【特别提醒】【特别提醒】正弦、余弦函数值的正负规律正弦、余弦函数值的正负规律回顾本节课的收获回顾本节课的收获单单位圆与任意角的正弦函数、位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义余弦函数的定义任意角的正弦函数、余弦函任意角的正弦函数、余弦函数的定义数的定义三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号一个人即使已登上顶峰，也需要自强不息一个人即使已登上顶峰，也需要自强不息. . 罗素罗素贝壳贝壳
