1、2.5 一元二次方程的应用第2章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（XJ） 教学课件第1课时 增长率问题与经济问题学习目标1.会用一元二次方程解决有关的实际问题；（重点、难点）2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决 问题的能力，培养学生应用数学的意识导入新课导入新课问题：某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）.今年的使用率（1+年平均增长率）=后年的使用率你能找出问题中涉及
2、的等量关系吗？40%（1+x）=90%整理，得 （1+x）=2.25解得 x1=0.5=50%， x2=-2.5（不合题意，舍去）答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%.若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，请你根据等量关系，列出方程：接下来请你解出此一元二次方程x2=-2.5符合题意吗？讲授新课讲授新课增长率问题一通过前面的探讨学习，我们再来看看下面的例题例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率. 解析：原价(1-平均每次降价的百分率)=现行售价解：设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得 100(
3、1-x)=81解得 x1=0.1=10%, x2=1.9答：平均每次降价的百分率为10%.(不合题意，舍去) 例2 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？典例精析解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得5 000 ( 1x )2 = 3000，解方程，得x10.225，x21.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5.下降率不能超过1.注意练一练 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药
4、品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得6 000 ( 1y )2 = 3 600.解方程，得y10.225，y21.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5.解后反思 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均
5、下降率）也可能相等 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1x)n=b(其中增长取“+”,降低取“”). 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率 分析：设这个增长率为x，则二月份营业额为：_.三月份营业额为
6、：_.根据： .作为等量关系列方程为：200(1+x)一月、二月、三月的营业额共950万元.200(1+x)2200+200(1+x) +200(1+x)2=950经济问题二 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率 解：设这个增长率为x.根据题意，得答：这个增长率为50%.200+200(1+x) +200(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），），x2=0.5.注意增长率不可为负，但可以超过1.例4 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商
7、品.若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10 x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120.若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 解：（售价-进价）销售量=利润.根据等量关系得（x-21)(350-10 x)=400 整理，得 x-56x+775=0解得 x1=25, x2=31.所以x=31不合题意，应当舍去.故x=25.答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元.从而卖出350-10 x=350-1025=100（件） 因为 21120%=25.2，即售价不能超过25.2元，方法归纳建立一元二次方程
8、模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检 验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？当堂练习当堂练习1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 .B2（1+x)+2(1+x)2=83.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44
9、元若每件降价1元，则每天可多售出5件若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？解：设应降价x元，则(44-x)(20+5x)=1600整理，得 x-40 x+144=0解得 x1=36, x2=4答：应降价36元或4元.4.某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？解：设平均每年藏书增长的百分率为x5(1+x) = 7.2整理，得 (1+x)=1.44 解得 x1=0.2=20% , x2=-2.2 (不符合题意，舍去)答：平均每年藏书增长的百分率为20%. 5.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产
10、量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得 系数化为1得，直接开平方得，则答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.7200(1+x)2=8712(1+x)2=1.211+x=1.1,1+x=-1.1x1=0.1,x2=-1.1,能力提升菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打
11、折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得 5(1x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） 平均每次下调的百分率为20%;(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.20.95000=14400（元）；方案二所需费用为：3.250002005=15000（元），1440015000，小华选择方案一购买更优惠.课堂小结课堂小结一元二次方程的应用增长率问题a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.降低率问题a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x
12、为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.经济利润问题见学练优本课时练习课后作业课后作业2.5 一元二次方程的应用第2章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（XJ） 教学课件第2课时 图形面积问题学习目标1.掌握列一元二次方程解图形问题，并能根据具体问题的实际 意义，检验结果的合理性；（重点、难点）2.学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识 解决问题导入新课导入新课问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通
13、道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_.CBDA(30-2x)(20-x)=678问题引入问题：如图，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长.几何图形与一元二次方程讲授新课讲授新课 解：设截去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm. 根据题意，有 (40-2x)(28-2x)=364解得 x1=27，x2=7整理得， x2-34x+189=0.如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右
14、下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去即所截去的小正方形的边长为7cm,例1 如图2-4，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m，求道路的宽.分析:虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算.典例精析分析 若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了 问题中涉及的等量关系是什么？矩形面积=矩形的长矩形的宽若设道路宽为xm，则新矩形的长为(32-x)m，宽为(20-x)m，根据等量关系你能列出方程吗？(32-x)
15、(20-x)=540 整理，得 x-52x+100=0解得 x1 =2 , x2=50 x2=5032 不符合题意，舍去,故 x=2.答：道路的宽为2米.例2：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？ 分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 2x )m, 宽(60 - x)m.解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6885.解得 x1=105(舍去），x2=1.注意：结果应符合实际意义 我们利用“图形经过移动
16、，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨例3 如图2-6所示，在ABC中，C=90， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9cm？根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 解：若设点P，Q出发xs后可使PCQ的面积为9cm整理，得解得 x1= x2=3答：点P，Q出发3s后可使PCQ的面积为9cm.
17、1(6)29,2xx2690,xx方法归纳 这里要特别注意：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答当堂练习当堂练习1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmB2. 某农场
18、要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.(1) 养鸡场的面积能达到180m2吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.25m180m2解:设养鸡场的长为xm,根据题意得 即 x2 - - 40 x + 360=0. 解方程,得 x1 = x2= (舍去), 答：鸡场的为（ ）m满足条件.40180.2xx202 10202 1025202 10 x402x3. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则
19、宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得（20-x)(32-x)=540，整理得 x2-52x+100=0，解得 x1=50(舍去），x2=2.答：道路宽为2米.图1图24.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6 cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2 cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ Q P C B A DH解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作PHCD，垂足为H，则PH=BC=6，PQ=10，DH=PA=3t，CQ=2t，HQ=CD-DH-CQ=|16-5t|.由勾股定理，得（16-5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm Q P C B A DH课堂小结课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系.动点问题见本课时练习课后作业课后作业
