1、第一讲 空间几何体的结构、表面积和体积第第八八章章 立体几何立体几何目 录考点帮必备知识通关考点1 空间几何体的结构考点2 空间几何体的直观图考点3 空间几何体的表面积与体积百度文库百度文库VIPVIP特权福利特权福利特权说明特权说明服务特权服务特权VIPVIP专享文档下载特权专享文档下载特权VIPVIP用户有效期内可使用用户有效期内可使用VIPVIP专享文档下载特权下载或阅读完成专享文档下载特权下载或阅读完成VIPVIP专享文档（部分专享文档（部分VIPVIP专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载/ /读完一篇读完一篇VIPV
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6、百度阅读VIPVIP精品版特权精品版特权享受阅读VIP精品版全部权益：1.海量精选书免费读2.热门好书抢先看3.独家精品资源4.VIP专属身份标识5.全站去广告6.名人书友圈7.三端同步 知识影响格局，格局决定命运！目 录考法帮解题能力提升考法1 空间几何体的结构考法2 求空间几何体的表面积（侧面积）考法3 求空间几何体的体积考法4 与球有关的切、接问题目 录高分帮 “双一流”名校冲刺提能力 数学探索数学探索 立体几何中的截面问题析情境 数学应用数学应用 空间几何体的应用提素养 数学文化数学文化 立体几何与数学文化 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.空间几何体
7、的结构了解2020全国,T3埃及胡夫金字塔考法1 直观想象2.空间几何体的表面积与体积了解2020全国,T10 探索创新考法2直观想象数学运算逻辑推理2020全国,T15 探索创新 考法3,4 考情解读命题分析预测从近几年的高考情况来看,该讲在高考中的命题重点:空间几何体的体积和表面积的计算,属于中档偏易题;与球有关的切、接问题,属于中档题,具有一定的难度,对直观想象核心素养要求较高.题型以选择题和填空题为主.考虑到三视图是新课程标准(2017版)的删减内容,预测2022年高考考查三视图的概率较小,备考时可适当减少对该考点的时间分配.在2022年高考复习备考的过程中,既要训练常规题型,还要明晰
8、高考命题新导向,如数学应用题、数学文化题以及组合型选择题和多空题,做到复习全面高效.考点1 空间几何体的结构考点2 空间几何体的直观图考点3 空间几何体的表面积与体积考点帮必备知识通关 考点1 空间几何体的结构1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点,但不一定相等侧面形状平行四边形三角形梯形规律总结 特殊的棱柱和棱锥(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形.(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱
9、锥叫作正棱锥.特别地,各棱长均相等的正三棱锥叫作正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.思维拓展 正棱锥中的直角三角形三边分别为(1)高、斜高、底面边心距;(2)高、侧棱、底面的外接圆半径;(3)斜高、侧棱、底面边长的一半;(4)底面边心距、外接圆半径、底面边长的一半.2.旋转体的结构旋转体的结构特征特征名称圆柱圆锥圆台球图形旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线名称圆柱圆锥圆台球母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点 轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等
10、腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环规律总结 球的截面的性质(1)球的任何截面都是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面. 考点2 空间几何体的直观图1.用斜二测画法画直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使xOy=45(或135),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.(4)擦去作为辅助线的坐标轴,就得到原图形的直观图.2.规则:斜
11、二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变” 考点3 空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=2rlS圆锥侧=rlS圆台侧=(r1+r2)l辨析比较 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧=2rl S 圆台侧=(r+r )l S圆锥侧=rl.2.空间几何体的表面积与体积表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下球S=4R2规律总结1.关于几何体的表面积和侧面积(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是
12、侧面积与所有底面面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.2.与体积有关的结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.辨析比较 柱体、锥体、台体体积公式间的关系 思维拓展 祖暅原理幂势既同,则积不容异.即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.考法1 空间几何体的结构考法2 求空间几何体的表面积（侧面积）考法3 求空间几何体的体积考法4 与球有关的切、接问题考法帮解题能力提升 考法1 空间几何体的结构命题角度1空间几何体的结构特征 示例1
13、给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形;圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中,面积最大的一个;三棱锥的四个面中最多有三个直角三角形.其中正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.3解析 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,故不正确;只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故不正确;正确;因为圆锥的母线长一定,根据三角形面积公式知,过圆锥顶点的截面中,两条母线的夹角的正弦值越大,截面面积就越大,所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时,轴截面的面积就不是最大的,故不正确
14、;三棱锥的四个面中最多有四个直角三角形,故不正确.答案 B方法技巧1.空间几何体结构特征的判定方法2.避免失误(1)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素间的关系.(2)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意利用“还台为锥”的解题策略.直接法紧扣题意,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素,根据题意进行判定.反例法通过反例对结构特征进行辨析,要说明一个结论是错误的,只需要举出一个反例即可.命题角度2 求线段长(距离)的最值示例2 2021湖北模拟如图8-1-2,正三棱锥A-BCD的底
15、面边长为a,侧棱长为2a,点E,F分别为AC,AD上的动点,则截面BEF周长的最小值为 . 思维导引 在将正三棱锥A-BCD的侧面沿侧棱BA展开,得到一个由三个全等的等腰三角形拼接而成的五边形截面BEF周长的最小值即线段BB1的长度由平面几何知识计算线段BB1的长度图8-1-2解析 将正三棱锥A-BCD的侧面沿侧棱BA展开,得到一个由三个全等的等腰三角形拼接而成的五边形(如图8-1-3).图8-1-3方法技巧 求解空间几何体表面上两点间的最短距离问题或两条(多条)线段长度和的最小值问题时,只需将这些线段放置到同一个平面上,转化为平面几何中的最值问题求解.要注意立体图形展开前后线段与角度哪些会改
16、变,哪些不会变.注意 解决展开问题的关键是明确需要展开立体图形中的哪几个面(有时需要分类讨论),以及利用哪些平面几何定理来解决对应的立体图形问题.规律总结 立体几何中的“截、展、拆、拼”(1)“截”:指的是截面,平行于柱体、锥体底面的截面以及旋转体的轴截面,它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系,能够列出有关量的关系式.(2)“展”:指的是侧面和某些面的展开图,在有关沿表面的最短路径问题中,就是求侧面或某些面展开图上两点间的距离,注意展开方式往往不止一种.(3)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算.(4)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复
17、原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,还台为锥,这些都是拼补的方法.考法2 求空间几何体的表面积(侧面积)命题角度1 求空间几何体的表面积命题角度2 求空间几何体的侧面积图8-1-5方法技巧1.求空间几何体的表面积的方法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何
18、体的表面积.2.求空间几何体侧面积的方法一是分别求各个侧面面积,然后求和;二是利用公式求解.3.避免失误在求解组合体的表面积时,注意几何体表面的构成,尤其是重合部分,面积不要多加或少减.考法3 求空间几何体的体积示例5 2018天津,5分如图8-1-7,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为 . 图8-1-7命题角度1 求空间几何体的体积方法技巧 求空间几何体体积的常用方法直接法 对于规则的几何体,利用相关公式直接计算.割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规划的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便
19、于计算.等体积法通过转换底面和高来求几何体的体积,即通过将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面,或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高进行求解.常用于求三棱锥的体积.命题角度2 体积的最值问题思维导引 先证明AC平面PBC,然后设AC=2x,将体积表示成关于x的函数,换元化简,再利用导数求最值.图8-1-8方法技巧 求解体积的最值问题的方法(1)几何法:根据几何体的结构特征,先确定体积表达式中的常量与变量,然后利用几何知识判断变量什么情况下取得最值,从而确定体积的最值.(2)代数法:先设变量,求出几何体的体积表达式,然后转化为函数最值问题求解即可.考法4 与球有关的切、接问
20、题命题角度1 外接球问题若一个多面体的顶点都在同一球面上,则这个球称为多面体的外接球.解决外接球问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.思维导引 分析直三棱柱的结构特征,根据底面形状及球的截面性质,确定球心的位置,建立球的半径与棱柱的几何度量之间的关系求解.解析 解法一(直接法) 如图8-1-10,作出直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O.由题意,直三棱柱的底面ABC是直角三角形,所以底面ABC外接圆的圆心是BC的中点E,底面A1B1C1外接圆的圆心是B1C1的中点E1. (先确定棱柱上、下底面的中心)由球的截面的性质可得直三棱柱外接球的球心O就是线段EE1的中
21、点.(定球心O)图8-1-10图8-1-11答案 C方法技巧1.求解几何体外接球的半径的思路一是根据球的截面的性质,如该题的解法一,利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系R2=r2+d2求解,其中,确定球心的位置是关键;二是将几何体补成长方体,如该题的解法二,利用该几何体与长方体共有外接球的特征,由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.2.确定球心的常用结论(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点;(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;(4)正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位
22、置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.命题角度2 内切球问题求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点,多面体的各侧面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于分割后各棱锥的体积之和,求内切球的半径.图8-1-12方法技巧1.解与球有关的切、接问题的思维流程通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程如下:(4)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,那么可以补形成一个正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心;如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,那么可以补形成一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接
23、球的球心.(5)求一个棱锥内切球的半径,可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出.(6)球与旋转体的组合通常利用作轴截面解题,球与多面体的组合通常利用过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作截面解题.此类问题在计算时,经常用到截面圆.如图8-1-13所示,设球O的半径为R,截面圆O的半径为r,M为截面圆上任一点,球心O到截面圆O的距离为d,则在RtOOM中,OM2=OO2+OM2,即R2=d2+r2.图8-1-13高分帮“双一流”名校冲刺析情境 数学应用数学应用 空间几何体的应用提素养 数学文化数学文化 立体几何与数学文化提能力 数学探索数学探索 立体几何中的截面问题数学应
24、用 空间几何体的应用示例9 2019全国卷,5分学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图8-1-14,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.图8-1-14图8-1-15素养探源核心素养考查途径素养水平直观想象根据已知抽象出四边形EFGH为平行四边形,借助该图形解决问题二数学运算求四棱锥的体积,求模型的体积一备考指导 本题以学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作
25、模型为背景,将空间几何体的体积与物理中“质量=体积密度”的计算综合命题,要求考生能够在关联的情境中,想象并构建相应的几何图形,借助图形性质探索规律,解决数学问题,考查了直观想象、数学运算等核心素养,对立体几何的考法具有很好的导向作用.备考的过程中既要关注社会热点,也要关注自然界中的多面体,如正六棱柱的蜂房结构在建筑中的应用(容积最大,用料最省),自然界中的多面体(晶体)在建筑中的应用等,这些都有可能会成为命题点.数学文化 立体几何与数学文化示例10 2019全国卷,5分中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半
26、正多面体”(图8-1-17).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图8-1-18是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分) 图8-1-17 图8-1-18素养探源核心素养考查途径素养水平直观想象半正多面体的俯视图二数学抽象半正多面体的结构二数学运算半正多面体棱长的计算一试题评析 本题以我国南北朝时期的官员独孤信的印信形状“半正多面体”为背景,创设求空间多面体的面数与棱长的问题,引导考生认识到世界古老民族优秀传统文化的博大精深和源远流长
27、,体现了数学文化的传承与发展,对学生的阅读能力和直观想象核心素养要求较高,若能找准题眼,便可化繁为简.备考指导 高考对数学文化的考查主要有三个方面:一是利用古代数学文化的背景命制与核心考点相结合的题目;二是直接解答古代数学问题;三是利用古代数学成果解决数学问题.解题的关键是从中提取出数学问题,利用有关数学知识进行求解.数学探索 立体几何中的截面问题思维导引 解析 如图8-1-19,记该正方体为ABCD-A1B1C1D1,要使正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等,那么平面必须与正方体的体对角线AC1垂直.连接B1C,B1D1,CD1,易知平面与平面B1CD1平行或重合.图8-1-19答案
28、A点评 本题没有烦杂的计算,但增加了试题的思维量,重在考查学生的思维能力,尤其是直观想象和数学抽象核心素养.方法技巧 作截面的三种常用方法一是直接法,解题关键是利用截面的顶点在几何体的棱上.二是作平行线法,解题关键是利用截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行.三是延长交线得交点,解题关键是利用截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上.思维拓展 在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等)得到的平面图形.截面的方式总共有三种,分别为横截、竖截、斜截.常见的立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图如下:1.正六面体的基
29、本斜截面图8-1-20 横截竖截斜截正六面体正方形正方形如图8-1-20所示在这里需要给大家强调一下,正六面体的斜截面不会出现以下几种图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形.百度文库百度文库VIPVIP特权福利特权福利特权说明特权说明服务特权服务特权VIPVIP专享文档下载特权专享文档下载特权VIPVIP用户有效期内可使用用户有效期内可使用VIPVIP专享文档下载特权下载或阅读完成专享文档下载特权下载或阅读完成VIPVIP专享文档（部分专享文档（部分VIPVIP专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载/ /读完一篇读完一
30、篇VIPVIP专享文专享文档消耗一个档消耗一个VIPVIP专享文档下载特权。专享文档下载特权。年VIP 月VIP连续包月VIP享受60次VIP专享文档下载特权，一次发放，全年内有效。VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买的VIP类型决定。每月专享9次VIP专享文档下载特权，自VIP生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号-我的设置随时取消。共享文档下载特权共享文档下载特权VIPVIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含
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