1、3.43.4函数的应用函数的应用( (一一) )课标阐释思维脉络1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.(逻辑推理)2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.(数学建模)3.会应用一次、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题.(数学运算)激趣诱思知识点拨牛顿(16421727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家,是17世纪最伟大的科学巨匠.然而,对于一些在自然科学上一知半解的人来说,牛顿的赫赫有名与其说来自于他的科学发现,毋宁说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的传说.那是1666年夏末的一个傍晚,在英格兰林肯郡乌尔斯索普,一个腋下夹着一本书的年
2、轻人走进了他母亲家的花园,坐在一棵树下,开始埋头读他的书.正在他翻动书页时,他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来.突然,“啪”的一声,一只历史上最著名的苹果落了下来,恰好打在了这位青年的头上.这位青年不是别人,正是牛顿.据说,牛顿当时正在苦苦思索着一个问题:是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上,又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上?掉下来的苹果打断了他的思索,激趣诱思知识点拨“为什么这只苹果会坠落到地上呢?”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题.有人说正是从这一问题的思考中,他找到了答案,并提出了万有引力定律.问题1:你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单地提出
3、的万有引力吗? 问题2:你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗?激趣诱思知识点拨知识点一、常见的函数模型(1)一次函数模型.形如y=kx+b(k0)的函数模型是一次函数模型,应用一次函数的性质及图象解题时,应注意:一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况;一次函数的图象是一条直线.(2)二次函数模型.形如y=ax2+bx+c(a0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的性质求最值,从而解决利润最大、用料最省等问题.激趣诱思知识点拨(3)分段函数模型.这个模型
4、实质是一次函数、正比例函数(形如y=kx,k0)、反比例函数(形如y= ,k0)、二次函数模型中两种及以上的综合.微思考(1)在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系?提示:通常需要先画出函数图象,根据图象来确定两个变量的关系,选择函数类型.(2)函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?提示:在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x0;x表示件数时,x0,且xZ等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.激趣诱思知识点拨知识点二、实际问题的函数建模实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键,结合对函数性质的研究,通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.一般步
5、骤为:(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,并用x,y分别表示问题中的变量.(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域.(3)求解函数模型:根据已知条件求解函数模型.(4)给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问题的解.激趣诱思知识点拨微练习某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从报社
6、买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?激趣诱思知识点拨解:设每天应从报社买进x份报纸,由题意知250 x400,设每月赚y元,根据题意得y=0.5x20+0.525010+(x-250)0.0810-0.35x30=0.3x+1 050,x250,400.因为y=0.3x+1 050是定义域上的增函数,所以当x=400时,ymax=120+1 050=1 170.故每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最多可赚1 170元.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测一次函数模型的应用一次函数模
7、型的应用例1某厂日生产文具盒的总成本y(单位:元)与日产量x(单位:套)之间的关系为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2 000套B.3 000套C.4 000套D.5 000套解析:因为利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z0解得x5 000,故至少日生产文具盒5 000套.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b0(或0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂
8、检测变式训练1商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠一个茶杯;(2)按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x个,付款y元,试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:由优惠办法(1)可得函数解析式为y1=204+5(x-4)=5x+60(x4,且xN).由优惠办法(2)可得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4,且xN).y1-y2=0.4x-13.6(x4,且xN),令y1-y2
9、=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4x34时,y134时,y1y2,优惠办法(2)更省钱.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测二次函数模型的应用二次函数模型的应用例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最
10、大利润?最大利润是多少?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50 x55,xN).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360 x-9 600(50 x55,xN).(3)因为w=-3x2+360 x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x60时,w随x的增大而增大.又50 x55,xN,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.探究一探究
11、二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 吨(0t24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时
12、内,有几小时出现供水紧张现象?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分段函数模型的应用分段函数模型的应用例3某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?分析利润=销售收入-总的成本.由于本题中的销量只能为500件,但生产的数量不确定,
13、所以模型确定为分段函数模型.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)当05时,产品只能售出500件.所以,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 分段函数模型的应用(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本
14、+生产成本),销售收入 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);(2)甲厂生产多少台该产品时,可使盈利最多?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)由题意得G(x)=2.8+x.(2)函数f(x)在区间(5,+)上单调递减,f(x)8.2-5=3.2(万元).当0 x5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f(x)有最大值为3.6.故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测幂函数模型的应用幂函数模型的应用例4某企业
15、拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品可分别获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=axn,P2:y2=bx+c如图所示.(1)求函数y1,y2的解析式;(2)应怎样分配投资额,才能使投资获得最大利润?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 根据图象确定函数解析式的易错点(1)观察图象不仔细,弄错点的坐标而导致出错;(2)计算不过关,将函数解析式求错;(3)二次函数图象与性质理解不透彻,将函数最值求错.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4某民营企业生产A,B两
16、种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图所示.(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测规范答题规范答题典例 季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)
17、涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后,当季节即将过去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式;(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系式为Q=-0.125(t-8)2+12,t0,16,tN,试问该服装第几周每件销售利润最大?最大利润是多少?(注:每件销售利润=售价-进价)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)由题意,知当t0,5时,P=10+2t; 当t(5,10时,P=20;当t(10,16时,P=20-2(t-10)=40-2t.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)设每件的销售利润为L元,则
18、L=P-Q,故当t0,5,tN时,L=10+2t+0.125(t-8)2-12=0.125t2+6,当t=5时,Lmax=9.125;当t(5,10,tN时,L=20+0.125(t-8)2-12=0.125(t-8)2+8,当t=6或10时,Lmax=8.5;当t(10,16,tN时,L=40-2t+0.125(t-8)2-12=0.125(t-16)2+4,当t=11时,Lmax=7.125.综上可知,第五周每件销售利润最大,最大利润为9.125元.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛 (1)分段函数主要是每一段的变化规律不全相同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找
19、出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.(2)分段函数的最大值是各段最大值中最大的,分段函数的最小值是各段最小值中最小的.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为()A.60安B.240安 C.75安D.135安解析:设比例系数为k,则电流强度I=kr3,由已知可得当r=4时,I=320,故有320=43k,解得k= =5,所以I=5r3,则当
20、r=3时,I=533=135(安).答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售16辆这种品牌车,则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:设该公司在A地销售x辆时,获得的总利润为y万元,则y=y1+y2=(4.1x-0.1x2)+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32又0 x16,且xN,所以当x
21、=10或x=11时,y取最大值43,即能获得的最大利润为43万元.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:函数f(x)与g(x)的图象如右图所示.根据图象可得:当0 xg(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x4时,f(x)g(x).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t内台风所经过的路程s(单位:km).(1)当t=4时,求S的值;(2)将S随t变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测当t(10,20时,Smax=3020-150=450650;当t(20,35时,令-t2+70t-550=650,解得t=30或t=40(舍去),即在台风发生30小时后将侵袭到N城.
