1、2020-2021学年浙江省A9协作体高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设复数z=1+2i（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】解：复数z=1+2i在复平面内对应的点为（1，2），位于第一象限故选：A【解答】本题考查复数的几何意义，属于基础题复数z=1+2i在复平面内对应的点为（1，2），位于第一象限2. 已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值为（）A. -1B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了逻辑推理能力与运算能
2、力，属于基础题利用平面向量共线定理分析求解即可【解答】解：因为与共线，则存在唯一的实数，使得=（），所以，解得故选：B3. 已知正三角形ABC的边长为2，那么ABC的直观图ABC的面积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积【解答】解：如图所示，直观图ABC的高为h=CDsin45=CDsin45=2sin60sin45=，底边长为AB=AB=2；所以ABC的面积为：S=ABh=2=故选：D4. 在ABC中，b=6，则此三角形（）A. 无解B. 一解C. 两解D. 解的个数不确定【答
3、案】C【解析】【分析】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题由三角形的正弦定理可得sinB，求得B，可得三角形的解的个数【解答】解：ABC中，b=6，可得sinB=，可得内角B=，C=；或B=，C=即三角形有两解故选：C5. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若m，n，则mnB. 若，m，则mC. 若，m，n，则mnD. 若m，mn，则n【答案】D【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题由平行于同一平面的两直线的位置关系判断A；由平面与
4、平面平行、直线与平面平行分析线面关系判断B；由两平面平行可得两平面内直线的位置关系判断C；由直线与平面垂直的性质判断D【解答】解：若m，n，则mn或m与n相交或m与n异面，故A错误；若，m，则m或m，故B错误；若，m，n，则mn或m与n异面，故C错误；若m，mn，则n，又，则n，故D正确故选：D6. 已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有，则等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量基本定理的应用，三点共线的应用以及共线向量的理解与应用，向量相等的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题设，可得，结合已知条件，得到关于k和的方程组，求解即
5、可【解答】解：因为A，B，D三点共线，则设，所以，又因为，所以，解得故选：C7. 为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得BAC=105，BAD=60，ABC=45，ABD=60，则C，D间的距离为（）A. kmB. 2kmC. kmD. 4km【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦和余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力和分析推理能力根据题意，在ABC中由正弦定理求得AC，在DAC中由余弦定理求得DC【解答】解：因为ABD=60，BAD=60，所以ABD是正三角形，所以AB=BD=DA=2km，因为ABC中，ABC=45，BAC=105，所以ACB=
6、30，利用正弦定理得=，AC=2，ACD中，CAD=105-60=45，所以CD2=AC2+AD2-2ACADcos45=+22-222=4，所以CD=2，即C、D间的距离为2km故选：B8. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为AD的中点，P为正方体内部及其表面上的一动点，且PQBD1，则满足条件的所有点P构成的平面图形的面积是（）A. B. C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查空间几何体的截面，正方体的性质，线面垂直的证明，属于中档题利用三垂线定理找到与BD1垂直的直线QE，QF，把条件中的PQBD1，转为为线面垂直，从而找到截面【解答】解：如图，正方体中
7、，BD1在平面ABCD的射影为BD，在平面ADD1A1的射影为AD1，分别取DC中点E，AA1中点F，利用三垂线定理得，QEBD1，QFBD1，所以BD1平面QEF所以，P点在正方体中过Q、E、F的截面上分别取A1B1，B1C1，CC1的中点G、M、N，连接FG，GM，MN，NE，平面FGMNEQ即为截面在正方体中求得FQ=QE=EN=NM=MG=GF=，所以正六边形FGMNEQ的面积为故选：D二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知复数z=1+2i，下列说法正确的是（）A. 复数z的虚部是2iB. |z|=5C. zi=-2+iD. 复数z的共轭复数【答案】CD【解析】【分析】本
8、题考查了复数的运算性质，考查共轭复数，是基础题 . 根据复数的运算性质计算即可【解答】解：复数z=1+2i，z的虚部是2，|z|=，zi=-2+i，=1-2i，故选：CD10. 某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（）A. 圆锥的侧面展开图的圆心角为B. 圆锥的体积为C. 过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8D. 圆锥轴截面的面积为【答案】AC【解析】【分析】本题考查圆锥的结构特征，属于基础题A选项，侧面展开图半径为4，弧长为6的扇形，故圆心角为；B选项，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；C选项，在轴截面中，由余弦定理得顶角为钝角，所以当两条母线垂直时，
9、截面的面积最大；D选项，轴截面为腰为4，底为6的等腰三角形，面积为【解答】解：A选项，侧面展开图中，扇形的半径为4，弧长为2r=6，由弧长公式有圆心角为，说法正确B选项，圆锥的高为，所以圆锥的体积为，说法错误C选项，在轴截面中，顶角的余弦值为，所以顶角为钝角所以当两条母线垂直时，截面的面积最大，为，说法正确D选项，轴截面为腰为4，底为6的等腰三角形，所以面积为，说法错误故选：AC11. 如图，设E、F分别是正方形ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB=3，EF=2，下列说法正确的是（）A. 异面直线D1B1与EF所成的角为45B. 三棱锥D1-B1EF的体积为3C. 平面B1EF与平
10、面A1B1C1D1所成的二面角大小为60D. 直线D1B1与平面B1EF所成的角为30【答案】ABD【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求法，考查空间想象能力和运算能力，属中档题根据异面直线所成的角、棱锥的体积、二面角、直线与平面所成的角分别对各选项进行判断【解答】解：对于A，由于EF/C1D1，因此异面直线D1B1与EF所成的角就是D1B1与C1D1的夹角为45，故A正确；对于B，三棱锥D1-B1EF的体积=B1C1=，故B正确；对于C，平面B1EF即为平面A1B1CD，D1A1D为平面A1B1CD与平面A1B1C1D1所成的二面角的平面角，D1A1D=45
11、，故C错误；对于D，连接AD1交A1D于M，连接B1M，由正方体性质知A1B1AD1，A1DAD1，而A1B1A1D=A1，因此，AD1平面A1B1CD，因此D1B1M是直线B1D1与平面A1B1CD所成的角，在直角三角形MB1D1中，D1M=D1B1，所以D1B1M=30，故D正确故选：ABD12. 在ABC中，D是边BC中点，下列说法正确的是（）A. B. 若，则是在上的投影向量C. 若点P是ABC的外心，AC=5，且，则AB=3D. 若点Q是线段AD上的动点，且满足，则的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，向量的共线和基本不等
12、式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题直接利用向量的线性运算，单位向量和向量的投影及向量的数量积，向量的模，向量的共线和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论【解答】解：对于A：在ABC中，D是边BC中点，所以，即，故A正确；对于B：为单位向量，由平面向量的几何意义，可知：与BAC的角平分线共线，所以由可知：AD为BAC的角平分线，而D为BC边的中点，所以ADBC，在上的投影为=|，所以为在上的投影向量，故B正确；对于C：由于点P为ABC的外心，D为BC的中点，所以DPBC，即，整理得，故，所以，故，所以，由于AC=5，所以，即AB=3，故C正确；对于D：由于点D为BC的
13、中点，所以，所以，由于点Q为线段AD上的动点，所以Q、A、D三点共线，因此可得：+2=1，要想取得最大值，则一定有0，0，=，当且仅当=2时等号成立，即，时等号成立，故D错误；故选：ABC三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 设向量，若，则x=【答案】4【解析】【分析】本题考查向量垂直的坐标运算，是基础题利用向量垂直的坐标运算即可求解【解答】解：，-3x+12=0，x=4，故答案为：414. 已知向量，夹角为30，则向量在向量上的投影向量为【答案】【解析】【分析】本题考查了投影向量的定义的应用，属于基础题向量在向量上的投影向量为，代入计算即可【解答】解：向量，夹角为30，向量在向量
14、上的投影向量为=，故答案为：15. 在ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，sinA=2cosB，则A=【答案】【解析】【分析】本题考查了余弦定理的应用，三角形内角和定理的应用，以及两角和差余弦公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题利用余弦定理求出角C，由三角形内角和用角A表示B，然后利用已知的等式以及两角和差公式化简，求出cosA，即可得到答案【解答】解：因为，由余弦定理可得，因为0C，所以C=，又A+B+C=，所以，因为sinA=2cosB，所以sinA=2cos（）=2（）=sinA-，故cosA=0，又0A，所以A=故答案为：16. 如图：三棱锥P-AB
15、C中，M是PC的中点，E是AM的中点，点F在线段PB上，满足EF平面ABC，则BF：FP=【答案】1：3【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的性质，属于基础题因为EF平面ABC，所以E，F到平面ABC的距离相等，设为d根据E为AM的中点，M为PC的中点，得P到平面ABC的距离为4d所以，即BF：FP=1：3【解答】解：因为EF平面ABC，所以E，F到平面ABC的距离相等，设为d因为E为AM的中点，所以M到平面ABC的距离等于E到平面ABC距离的2倍，即为2d因为M为PC的中点，所以P到平面ABC的距离等于M到平面ABC距离的2倍，即为4d所以，故BF：FP=1：3故答案为：1：317. 已知
16、为单位向量，平面向量，满足，则的最小值为【答案】-【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的最值求法，考查数形结合的思想，属中档题取单位向量，以点C为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点A，B，令，设|=x，则x0，2，结合图形可分析得出取得最大值与最小值【解答】解：取单位向量，以点C为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点A，B令，如图所示，设|=x，则x0，2，作圆C的垂直于OA的切线分别交直线OA于B1，B2两点，易得=，x0，2， 所以，当且仅当x=2时等号成立；，当且仅当x=1时等号成立；综上可得：的取值范围为-，4故答案为：-18. 现有条件：，=，SABC=从中任选一个，补充到下面
17、横线上，并解答在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，且，则b的取值范围为【答案】中任选一个都对（2，8）【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题若选，利用两角和的正弦、余弦公式化简已知等式可求cosC=，结合范围C（0，），可求C的值；若选，由正弦定理化简已知等式可得a2+b2-c2=ab，利用余弦定理可求cosC=，结合范围C（0，），可求C的值；若选，利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求tanC=，结合范围C
18、（0，），可求C的值；由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b=+2，在锐角ABC中，由，可得A（），利用正切函数的性质即可求解b的范围【解答】解：若选，因为，所以-cosBcosA+sinBsinA=，可得cos（B+A）=-cosC=-，即cosC=，因为C（0，），所以C=若选，因为=，所以由正弦定理可得=，整理可得a2+b2-c2=ab，所以cosC=，因为C（0，），所以C=若选，因为SABC=，可得absinC=2abcosC，可得tanC=，因为C（0，），所以C=又a=4，由正弦定理，可得b=+2，因为在在锐角ABC中，可得A（），tanA（，+），（0，），所以b=+2（2，
19、8）故答案为：中任选一个都对；（2，8）四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19. 如图，在三棱锥P-ABC中，PAB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，ABC=90求证：（1）DE平面PBC；（2）ABPE【答案】证明：（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC，又DE平面PBC，BC平面PBC，所以DE平面PBC（2）连接PD，因为DEBC，又ABC=90，所以DEAB又PA=PB，D为AB的中点，所以PDAB，又PDDE=D，PD,DE平面PDE,所以AB平面PDE因为PE平面PDE，所以ABPE【解析】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间
20、的位置关系等基础知识，是中档题（1）推导出DEBC，由此能证明DE平面PBC（2）连结PD，推导出DEAB，PDAB，从而AB平面PDE由此能证明ABPE20. 已知向量|=2，=（-，）（1）若（-）=0，求向量与的夹角；（2）在矩形ABCD中，设=，=，E为CD的中点，F为BC的中点，求的值【答案】解：（1）|=1，设向量与的夹角为，则0，（-）=-2=2cos-1=0，解得：cos=，又因为0，所以=；（2）=+=+=+，=+=+=+，|=1，=0，=（+）（+）=|2+|2+=【解析】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于中档题（1）设向量与的夹角为，则0，首先计算|
21、，然后根据（-）=0，可解决此问题；（2）=（+）（+）可解决此问题21. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2（1）求异面直线BC1与AC所成角的大小；（2）求直线B1D1与平面AB1C所成角的正切值【答案】解：（1）如图，连接AD1和CD1，ABC1D1且AB=C1D1，四边形ABC1D1为平行四边形AD1BC1，BC1与AC所成的角就是AD1与AC所成的角，AC=AD1=CD1，CAD1=60，异面直线BC1与AC所成角的大小为60（2）如图，连接BD，与AC交于点O，连接OB1，易知BDB1D1，直线B1D1与平面AB1C所成的角就是直线BD与平面AB1C所成的角ACBD，
22、ACB1B，且BDB1B=B，BD、B1B平面DBB1D1，AC平面DBB1D1，平面ACB1平面DBB1D1，直线BD在平面ACB1的射影为直线OB1，BOB1就是直线BD与平面AB1C所成的角在RtBOB1中，BB1=2，所以，直线B1D1与平面AB1C所成角的正切值为【解析】本题考查的知识要点：线面夹角，二面角，正方体的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题（1）直接利用异面直线的定义的应用求出异面直线的夹角；（2）利用转换关系，求出解三角形知识的应用，求出面面夹角22. 随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为20m的半圆
23、O空地上，设置扇形区域OMB作为大人休息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区（OAB区域）和沙坑滑梯区（ABC区域），其中A为直径MN延长线上一点，且OA=20m，B为半圆周上一动点，以AB为边作等边ABC（1）若等边ABC的边长为a，AMB=，试写出a关于的函数关系式；（2）问AMB为多少时，儿童游玩区OACB的面积最大？这个最大面积为多少？【答案】解：（1）在AOB中，OB=10，OA=20，AMB=，AOB=2，所以AB2=OB2+OA2-2OBOAcos2=100+400-400cos2=500-400cos2，则，；（2）因为，=，所以SAOBC=SAOB+SABC=，因为2（0，），
24、所以，故当，即时，SAOBC取得最大值为所以当AMB为时，儿童游玩区OACB的面积最大为【解析】本题考查了三角函数模型在实际生活中的应用，考查了余弦定理的应用，辅助角公式的应用，三角形面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题（1）利用余弦定理列式，求出a即可；（2）分别求出SAOB，SABC的面积，表示出SAOBC，然后利用辅助角公式结合三角函数的最值，求解即可23. 利用向量知识可以计算点到直线的距离例如：直角坐标平面内有一直线y=2x+1，求点P（3，4）到该直线的距离d可以按以下步骤计算：第一步，在直线上取两点A（0，1）和B（1，3），则向量=（1，2）；第二步，写
25、出一个与垂直的向量=（-2，1）；第三步，求出在上的投影向量=（-，）；第四步，求出距离d=|=请根据以上方法完成下面两个小题：（1）求点P（1，1）到直线y=2x+1的距离；（2）求点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离【答案】解：（1）在直线上取两点A（0，1）和B（1，3），则向量=（1，2），取向量=（-2，1），可知，可得在上的投影向量=（-，），所以，所求距离d=（2）在直线上取两点A（x1，kx1+b）和B（x2，kx2+b），则向量=（x2-x1，k（x2-x1），取向量=（-k（x2-x1），x2-x1），可知，可得在上的投影向量=，所以，所求距离d=【解析】本题主要考查了利用向量的知识求点到直线距离公式，同时考查了学生的类比推理能力（1）在直线上取两点A（0，1）和B（1，3），则向量=（1，2），根据题目提供的方法，进一步求解即可（2）在直线上取两点A（x1，kx1+b）和B（x2，kx2+b），则向量=（x2-x1，k（x2-x1），根据题目提供的方法，进一步求解即可
