1、高三数学试题. 第 1 页 （共 6 页） 高三数学试题. 第 2 页 （共 6 页） 20222022 届高三联合质量测评届高三联合质量测评 数学试卷数学试卷 注意事项：注意事项： 1 1、答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上、答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。的指定位置。 2 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用签字笔写在答题卡上对应的答
2、题区域。写在草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。选择题时，用签字笔写在答题卡上对应的答题区域。写在草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 3、考试结束后，请将答题卡按顺序上交。、考试结束后，请将答题卡按顺序上交。 第卷（第卷（ 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共计分，共计 4040 分分. . 在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的是符合要求的. .把正确的答案涂在答题卡上把正确的答案涂在答题卡上. . 1已知集合2lg0 ,2x +3x-20AxxBx=，则AB =（ ）
3、A122xx B21xx C102xx D1 02xx 2如果复数2-bi1+3i （其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么b =（ ） A4 B2 C23 D4 3“-15m=”是“直线340 xym+=与圆22(1)(2)4xy+=相切”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知1a =，2b =，12a b= ，则cos, b ab=（ ） A14 B34 C3 68 D3 68 5已知3sinsin33+=，则sin 26的值是（ ） A79 B79 C29 D29 6甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比
4、赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A13 B25 C23 D45 7已知不等式()31xkxk ex+恰有 2 个整数解，求实数k的取值范围（ ） A323352kee B23521kee C323352kee D23521kee 8 已知等比数列 na首项11a ，公比为q，前n项和为nS，前n项积为nT，函数( )()()()127f xx xaxaxa=+，若( )01f =，则下列结论不正确的是（ ） Algna为单调递增的等差数列 B01q C11naSq为单调递增的等比数列 D使得1nT 成立的n的最大值为 6 二
5、、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分. .在每题给出的选项中，有多项符合要在每题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得求，全部选对得 5 5 分，选对但选不全得分，选对但选不全得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. .并把正确的答案涂在答题卡上并把正确的答案涂在答题卡上. . 9某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图.则下列说法中正确的是（ ）. A甲得分的 30%分位数是 31 B乙得分的众数是 48 C甲得分的平均数小于乙得分的平均数
6、D甲得分的极差等于乙得分的极差 10函数( )()sinf xAx=+（0A，0，2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A( )fx的最小正周期为2 B,06是( )yf x=图象的一个对称中心 C( )fx在区间11,212上单调递减 D把( )yf x=图象上所有点向右平移12个单位长度后得到函数( )-2cos2g xx=的图象 11如图，边长为 2 的正方形ABCD中，E，F分别是,AB BC的中点，将,ADECDFBEF分高三数学试题. 第 3 页 （共 6 页） 高三数学试题. 第 4 页 （共 6 页） 别沿,DE DF EF折起，使A，B，C重合于点P，则下列结论正
7、确的是（ ） APDEF B三棱锥PDEF的外接球的体积为2 6 C点P到平面DEF的距离为23 D二面角PEFD的余弦值为14 12已知双曲线C：2221xya=（0a ）的左、右焦点分别为1F，2F，P为双曲线C右支上的动点，过 P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B若圆()2221xy+=与双曲线C的渐近线相切，则（ ） A双曲线C的离心率2 33e = B当点 P 异于顶点时，12PFF的内切圆的圆心总在直线3x =上 CPA PB为定值32 DAB的最小值为32 第第 IIII 卷（卷（ 9090 分分 ） 三、填空题三、填空题: :本大题共本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题
8、 5 5 分，共计分，共计 2 20 0 分分. .把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置. . 13在( +3)的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为 1：64，则展开式的常数项为_. 14已知三棱锥PABC的棱 AP，AB，AC 两两互相垂直，2 3APABAC=，以顶点 P 为球心，4 为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于_. 15已知抛物线28yx=上 A、B两点满足0OA OB=，过坐标原点 O 向直线 AB 引垂线，垂足为P，则OFP（F为抛物线的焦点）面积的最大值为_. 16对任意0 x，若不等式2elnxaxaxx+恒成立，
9、则实数 a 的最大值为_ 四、解答题四、解答题: :本大题共本大题共 6 6 个小题，共计个小题，共计 7070 分分. .解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17在sinsin2ABbcB+=，()3cossincAbaC= ，coscoscoscabCAB+=+，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足_. (1)求角C的大小； (2)若ABC的面积为4 3，BC的中点为D，求AD长的最小值. 18已知数列 na为等差数列，12a =，数列 nb满足11 12 23 3
10、2nn naba ba ba bn+= ，且24b = (1)求 nb的通项公式； (2)设()()111nnnnbcbb+=，记数列 nc的前n项和为nT，求证：213nT 19为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训） “双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了
11、严重影响某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对 2020 年的前 200 名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表 消费金额（千元） )3,5 )5,7 )7,9 )9,11 )11,13 13,15 人数 30 50 60 20 30 10 (1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为)9,11和)11,13的学员中抽取了 5 人，再从这 5 人中选取 3 人进行有奖问卷调查，求抽取的 3 人中消费金额为)11,13的人数的分布列和数学期
12、望； (2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构 2020 年所有学员的消费可视为服从正态分布()2,N ，2分别为报名前 200 名学员消费的平均数x以及方差2s（同一区间的花费用区间的中点值替代） （）试估计该机构学员 2020 年消费金额为)5.2,13.6的概率（保留一位小数） ； （）若从该机构 2020 年所有学员中随机抽取 4 人，记消费金额为)5.2,13.6的人数为，求的分布列及方差 参考数据：21.4；若随机变量服从正态分布()2,N ，则()0.6827P+=，高三数学试题. 第 5 页 （共 6 页） 高三数学试题. 第 6 页 （共 6 页） ()220.9545P
13、+=，()330.9973P+= 20如图，在四棱锥PABCD中，PAAD，132ADBC=，5PC =，ADBC，ABAC=，150=BAD，30PDA= (1)证明：平面PAB 平面ABCD； (2)在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的 正弦值等于14？ 21已知椭圆C：()222210 xyabab+=的右焦点F与抛物线E：()220ypx p=的焦点相同，曲线C的离心率为12，()2,My为E上一点且3MF =. (1)求曲线C和曲线E的方程； (2)若直线l：2ykx=+交曲线C于PQ两点，l交y轴于点R. （i）求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）.
14、 （ii）若RPRQ=，求实数的取值范围. 22已知函数( )2e sinxf xxax= （e是自然对数的底数） (1)若0a =，求( )f x的单调区间； (2)若06a，试讨论( )f x在(0, )上的零点个数 （参考数据：2e4.8） 高三数学试题. 第 1 页 （共 14 页） 高三数学试题. 第 2 页 （共 14 页） 20222022 届高三联合质量测评届高三联合质量测评 数学试卷数学试卷答案答案 注意事项：注意事项： 1 1、答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上、答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条
15、形码粘贴在答题卡上的指定位置。的指定位置。 2 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用签字笔写在答题卡上对应的答题区域。写在草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。选择题时，用签字笔写在答题卡上对应的答题区域。写在草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 3、考试结束后，请将答题卡按顺序上交。、考试结束后，请将答题卡按顺序上交。 第卷（第卷（ 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共
16、计分，共计 4040 分分. . 在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的是符合要求的. .把正确的答案涂在答题卡上把正确的答案涂在答题卡上. . 1 【答案】B 【详解】由已知 |01Axx=，1 | 22Bxx= ，所以AB=21xx故选：B 2 【答案】C 【详解】2i(2i)(1 3i)(23 )(6)i236i1 3i(1 3i)(1 3i)110100bbbbbb+ =+，因复数2i1 3ib+为纯虚数，于是得23010b=且6010b ，解得23b =，所以23b =. 故选：C 3 【答案】A 【详解】根据题意，由直线340 xym+=与
17、圆22(1)(2)4xy+=相切， 知圆心()12，到直线的距离3 829 16mdr =+，解得5m=或15m=， 因此“-15m=”是“直线340 xym+=与圆22(1)(2)4xy+=相切”的充分不必要条件 故选：A. 4 【答案】C 【详解】由已知可得()292babb ab= ，2226abaa bb= +=， 因此，()93 62cos,826babb abbab= . 故选：C. 5 【答案】A 【详解】3sinsin33+=，即33sincossi1232n+=， 11sincos2323+=，1sin63+=， 则sin 2sin 2cos 26323=+= + 22712
18、sin1996= = = +，故选：A. 6 【答案】B 【详解】由题意，甲获得冠军的概率为22212122203333333327+=， 其中甲获得冠军且比赛进行了 3 局的概率为212122833333327+=， 所求概率为820227275=. 故选：B. 7 【答案】D 【详解】原不等式()31xkxk ex+等价于，1(3)exxk x+， 设g( )(3)xk x=+，1( )exxf x+=，所以( )0exxfx=，得0 x=. 当0 x时，( )0fx，所以在(,0)上单调递增， 当0 x时，( )0fx，所以在(0,)+上单调递减， 又( 1)0f =，0 x时，( )0
19、f x ， 因此g( )(3)xk x=+与1( )exxf x+=的图象如下， 当0k 时，显然不满足条件， 高三数学试题. 第 3 页 （共 14 页） 高三数学试题. 第 4 页 （共 14 页） 当0k 时，只需要满足(1)(1)(2)(2)fgfg，即224e35ekk，解得2315e2ek. 故选：D 8 【答案】A 【详解】令( )()()()127g xxaxaxa=+，则( )( )f xxg x=， ( )( )( )fxg xxgx=+，( )( )127001fga aa=， 因为 na是等比数列，所以712741aaaa=，即3411aaq= =，11a ，01q ，
20、B 正确； ()()111lglglg1 lgnnaa qanq=+，lgna是公差为lgq的递减等差数列，A 错误； ()111111111nnnaaa qSqqqqq=，11naSq是首项为101a qq， 公比为q的递增等比数列，C 正确； 11a ，01q，41a =， 3n 时，1na ，5n时，01na，4n 时，1nT ，7712741Taaaa=，8n 时，78971nnTT a aaT=，又75671TTa a=，7671TTa=，所以使得1nT 成立的n的最大值为 6，D 正确. 故选：A 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题
21、5 5 分，共计分，共计 2020 分分. .在每题给出的选项中，有多项符合在每题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得要求，全部选对得 5 5 分，选对但选不全得分，选对但选不全得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. .并把正确的答案涂在答题卡上并把正确的答案涂在答题卡上. . 9 【答案】BD 【详解】 对于 A， 甲得分从小到大排列为： 27， 28， 31， 39， 42， 45， 55， 55， 58， 66， 而10 30%3=， 所以甲得分的 30%分位数是 35，A 不正确； 对于 B，乙的得分中有两个 48，其余分数值均只有一个，因此，乙得分的众数是 48
22、，B 正确； 对于 C，甲得分的平均数是 44.6，乙得分的中位数是 43.9，C 不正确； 对于 D，甲得分的极差、乙得分的极差都是 39，D 正确. 故选：BD 10 【答案】BCD 【详解】由题意知，2A=，35341234T= =，所以周期T=，2=， 又552sin 221212f=+=，所以3= ，故( )2sin 23f xx=，所以 A 错误， 又2sin 20663f=，故 B 正确. 因为11,212x，所以232,332x，由于正弦函数在其上单调递减， 所以函数( )fx在11,212上单调递减，故 C 正确， 将( )yf x=图象上所有点向右平移12个单位长度后得到2
23、sin 22cos2122yfxxx= 的图象，故 D 正确. 故选：BCD. 11 【答案】AC 【详解】对于 A 选项，作出图形， 取EF中点H，连接,PH DH，由原图知BEF和DEF均为等腰三角形，故PHEF，DHEF，又因为PHDHH=，所以EF 平面PDH， 又PD 平面PDH，所以PDEF，A 正确； 由,PE PF PD三线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥PDEF的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2，则(2)2=12+ 12+ 22= 6，则 =62，所以所求外接球的体积为433= 6，B 错误； 根据题意， 可知,PE PF PD三线两两垂直
24、， 且1,2PEPFPD=，在 中， =22, =5 (22)2=322，由等积法可得1312 1 1 2 =1312 2 322 ，得 =23，C 正确； 由题意如上图， = , = ，则 , ，所以PHD为二面角PEFD的一个平面角，易证 平面，则 ，即 = 90，在 中，cos =13，D高三数学试题. 第 5 页 （共 14 页） 高三数学试题. 第 6 页 （共 14 页） 不正确故选：AC 12 【答案】AB BD 【详解】由题意双曲线的渐近线方程是0 xay=，圆22(2)1xy+=的圆心是(2,0)，半径是 1， 则22011a=+，3a =（3舍去） ， 又1b=，所以222
25、cab=+=，离心率为22 333cea=，A 正确； 设12PFF的内切圆与三边切点分别为,D E H，如图， 由圆的切线性质知12FDF D12122FHF EFPF Pa=， 所以Dxa=， 因此内心I在直线xa=，即直线3x =上，B 正确； 设00(,)P xy，则220013xy=，220033xy=， 渐近线方程是30 xy=，则0032xyPA=，0032xyPB+=， 22003344xyPA PB=为常数，C 错； 由已知OA的方程是33yx=，倾斜角为6，所以3AOB=，23APB=， 222cosABPAPBPA PBAPB=+2322cos32PA PBPA PB=，
26、当且仅当PAPB=时等号成立，D 正确 故选：ABD 第第 IIII 卷（卷（ 9090 分分 ） 三、填空题三、填空题:本大题共本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共计分，共计 2 20 0 分分. .把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置. . 13 【答案】1215 【详解】令 = 1，则( +3)= 4，所以( +3)的展开式中，各项系数和为4， 又二项式系数和为2，所以42= 2= 64，解得 = 6. 二项展开式的通项1=C66(3)=C63632，令6 32 = 0，得 = 4， 所以展开式的常数项为C6434= 1215， 故答案为：1215.
27、 14 【答案】43 【详解】由题设，将三棱锥PABC补全为棱长为2 3的正方体，如下图示： 若2ADAF=，则4PDPF=，即,D F在 P 为球心，4 为半径的球面上，且O 为底面中心，又62OA=，3 24OP =， 所以，面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2 为半径的四分之一圆弧，故弧长为； 面PBC与与球面所成弧是以P为圆心，4 为半径且圆心角为3的圆弧，故弧长为43； 面,PBA PCA与球面所成弧是以P为圆心，4 为半径且圆心角为12的圆弧，故弧长为3； 所以最长弧的弧长为43. 故答案为：43. 15.【答案】4 【详解】 依题意， 设22121212(,), (,)(0)88
28、yyAyByy y ， 由0OA OB=得：221212064y yy y+=， 解得1264y y = ， 设直线AB上任意点( , )M x y，则/ /AMAB，而822121121(,),(,)88yyyAMxyyAByy=， 于是得：222121211()()()()088yyyxyyyy=，又12yy，化简整理得：12808yyxy+ =， 因此，直线AB方程为：12808yyxy+ =，该直线恒过定点(8,0)Q，又OPAB于点 P， 则点 P的轨迹是以OQ为直径的圆(除原点 O外)，从而得点 P到 x轴距离最大值为圆的半径 4，又焦点(2,0)F， 所以OFP面积的最大值为12
29、 442S = =.故答案为：4 16 【答案】e 【详解】原不等式2elnxaxaxx+，0 x，可化为eln0 xaxaxx+， 高三数学试题. 第 7 页 （共 14 页） 高三数学试题. 第 8 页 （共 14 页） 即eee(ln )ln0 xxxa xxaxxx=， 设extx=，其中0 x，则()e1xtxx =， 所以extx=在0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以eextx=， 所以设( )ln (e)f ttat t= ，( )1(e)ataf tttt= = ea 时，( )0f t，( )f t在e,)+上单调递增， 所以( )f t的最小值为min( )(e
30、)elnee0f tfaa=，符合题意； ea ，( )f t在)e,a上单调递减，在(), a +上单调递增，所以( )f t的最小值为min( )( )ln(1 ln )0f tf aaaaaa=，而ae，所以1 ln0a，与条件矛盾，故不成立； 所以实数 a 的最大值为 e. 故答案为：e 四四、解答题、解答题:本大题共本大题共 6 6 个小题，共计个小题，共计 7070 分分. .解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.解：若选，由sinsin2ABbcB+=及正弦定理可得sinsinsinsin2ABBCB+=，1 分 因为()0
31、,B，则sin0B，可得sinsinsincos222ABCCC+=， ()0,C，则0,22C，所以，cos02C，则2sincoscos222CCC=，3 分 所以，1sin22C=，4 分 则26C=，故3C=；5 分 若选，由()3cossincAbaC= 及正弦定理可得()3 sincossinsinsinCABAC= ，1 分 所以，()sinsin3 sinsincos3sincosACA CCAAC=+=， 因为()0,A，则sin0A，所以，sin3cosCC=，则tan3C =，4 分 ()0,C，则3C=；5 分 若选，由coscoscoscabCAB+=+及正弦定理可得
32、sinsinsincoscoscosCABCAB+=+，1 分 整理可得sincossincossincossincosCACBACBC+=+， 所以，sincoscossinsincoscossinCACABCBC=，即()()sinsinCABC=，2 分 ()0,A，()0,C，则CA ，同理B C ， 所以，CAB C=或CA B C+=或CAB C+=.3 分 若CAB C=，则2CAB=+，则3AB CC+=，可得3C=； 若CA B C+=，即BA=，不合题意； 若CAB C+=，即A B=，不合题意. 4 分 故3C=.5 分 (2)解：由三角形的面积公式可得13sin4 32
33、4ABCSabCab=，可得16ab=，7 分 由余弦定理可得22222221112cos282242422aaaaADbbCbabbabab=+ =+=， 即2 2AD,当且仅当2ab =时，等号成立，故AD长的最小值为2 2.10 分 18(1)解：因为1 14a b =，12a =，所以12b =，1 分 因为1 12 22 2416aba ba b+=+，24b =，所以23a =，2 分 设数列 na公差为d，则211daa=，所以()2111nann=+ =+，3 分 当2n时，由11 12 23 32nn naba ba ba bn+= ， 可得()1 12 23 3111 2n
34、nnaba ba babn+=，所以()()121 21 2nnnnna bnnn+=+， 所以2nnb =，5 分 因为12b =满足2nnb =，所以，对任意的Nn，2nnb =6 分 高三数学试题. 第 9 页 （共 14 页） 高三数学试题. 第 10 页 （共 14 页） (2)证明：因为()()1121121212121nnnnn+=，7 分 所以2233411111111121212121212121nnnT+=+ 11121n+= ，9 分 因为11021n+，所以111121nnT+= ，10 分 因为()()11122021 21nnnnnTT+=，所以1nnTT+，故数列
35、 nT单调递增， 当1n=时，()1min23nTT=，11 分 所以213nT12 分 19.详解 （1）由题意得，抽中的 5 人中消费金额为)9,11的人数为2525=， 消费金额为)11,13的人数为3535=，1 分 设消费金额为)11,13的人数为X，则1,2,3X =，2 分 所以()212335C C31C10P X =，()122335C C32C5P X =，()032335C C13C10P X =，3 分 X的分布列为 X 1 2 3 P 310 35 110 则()3319123105105E X = + =；4 分 (2)解： （）由题意得 4 0.15 6 0.25
36、 8 0.3 10 0.1 12 0.15 14 0.058x= + + +=，5 分 ()()()()()2222224 80.156 80.2510 80.112 80.1514 80.058=+=所以82 22.8=，6 分 所以()()5.213.682.882 2.80.47720.34130.8PP + =+；7 分 （）由题意及（）得44,5B，8 分 所以()04044110C55625P = ，()31441161C55625P=， ()222441962C55625P = ，()334412563C55625P = ， ()4044412564C55625P = ，11 分
37、 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1625 16625 96625 256625 256625 ( )()4116145525Dnpp=12 分 20详解(1)取BC中点为E，连接AE， 在Rt PAD中，3AD =，30PDA=，1PA=， ADBC，150=BAD，所以30B =， 又ABAC=，AEBC，而2 3BC =，所以2cos30BEACAB=， 又5PC =，222PAACPC+=，PAAC，3 分 又PAAD，ADACA=，PA平面ABCD，4 分 又PABPA 平面，平面PAB 平面ABCD；5 分 (2)存在点F是PD的中点，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于1
38、46 分 高三数学试题. 第 11 页 （共 14 页） 高三数学试题. 第 12 页 （共 14 页） 以A为坐标原点，以AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P，()1,3,0B，()1, 3,0C，()0, 3,0D，设点(), ,F x y z， 因为点F在线段PD上，设(01)PDPF=，()0, 3 ,1F， ()1, 33 ,1FC =，7 分 设平面PBC的法向量为(), ,nx y z=，()1,3, 1PB =，()1, 3, 1PC = 则3030n PBxyzn PCxyz=+=，令1xz=，则()1,0,1n =9 分 设直线CF与平
39、面PBC所成角为，()()221sincos,413312FC nFC nFC n=+，10 分 解得12=或52= （舍去） ，11 分 12PFPD=，此时点F是PD的中点，所以存在点F12 分 21详解(1)122ceaca=，22223bacc=椭圆C：2222143xycc+=1 分 又23222MppMFxp=+=+=，12pc = 椭圆C：22143xy+=，2 分 抛物线E：24yx=.3 分 (2)（i）设()11,P x y，()22,Q xy 联立()222223416403412ykxkxkxxy=+=+= 由2104k ，且1221634kxxk+=+，122434x
40、xk=+4 分 ()()22212241123134kkPQkxxk+=+=+，5 分 原点O到直线l距离221dk=+， ()()222222411231124 1232234341POQkkkSPQ dkkk+=+，6 分 令2222312304133tttkk+=+，所以2121212312122 12POQtSttt=+，7 分 当且仅当()120ttt=，2 3t =，52k = 时，等号成立， 此时面积最大为3.8 分 （ii）()11,2RPx y=，()22,2RQxy=，1122xRPRQxxx=，9 分 ()21212211212xxxxxxx x+=+= ，()21212
41、12xxx x+=，10 分 又1221634kxxk+=+，2122224164642334344kxxkkk=+=+， （214k ）11 分 ()()() ()1124,162,1474 3,11,74 3+.12 分 22 【详解】(1)0a =，则( )2e sinxf xx=，定义域为R，( )2e (sincos )2 2e sin4xxfxxxx=+=+，1 分 由( )0fx，解得sin04x+，可得22()4kxkk+Z， 解得322()44kxkk+Z，2 分 由( )0fx，解得sin04x+，可得222 ()4kxkk+Z， 解得3722()44kxkk+Z，3 分
42、( )f x的单调递增区间为32,2()44kkk+Z， 高三数学试题. 第 13 页 （共 14 页） 高三数学试题. 第 14 页 （共 14 页） 单调递减区间为372,2()44kkk+Z；4 分 (2) 由已知( )2e sinxf xxax=， ( )2e (sincos )xfxxxa=+，令( )( )h xfx=，则( )4e cosxh xx= (0, )x，当0,2x时，( )0h x；当,2x时，( )0h x， ( )h x在0,2上单调递增，在,2上单调递减，即( )fx在0,2上单调递增，在,2上单调递减5 分 (0)2fa=，22e02fa=，( )2e0fa=
43、 当20a时，即02a时，(0) 0f ， 0,2x，使得()00fx=， 当()00,xx时，( )0fx；当()0,xx时，( )0fx， ( )f x在()00,x上单调递增，()0,x上单调递减6 分 (0)0f=，()00f x，又( )0fa= ， 由函数零点存在性定理可得，此时( )f x在(0, )上仅有一个零点；7 分 若26a时，(0)20fa=， 又( )fx在0,2上单调递增，在,2上单调递减，而22e02fa=， 10,2x，2,2x， 使得( )10fx=，()20fx=， 且当()10,xx、()2,xx时，( )0fx；当()12,xx x时，( )0fx ( )f x在()10,x和()2,x上单调递减，在()12,x x上单调递增9 分 (0)0f=，()10f x， 222e2e3022fa=，()20f x， 又( )0fa= ， 由零点存在性定理可得，( )f x在()12,x x和()2,x内各有一个零点，即此时( )f x在(0, )上有两个零点11 分 综上所述，当02a时，( )f x在(0, )上仅有一个零点；当26a时，( )f x在(0, )上有两个零点12 分
