1、 高三上学期数学学业水平诊断试卷高三上学期数学学业水平诊断试卷 一、单选题一、单选题 1（ ） A1 Bi C D 2已知集合，若，则实数 m 的取值范围为（ ） A B C D 3已知函数若，则（ ） A7 B-2 C2 D7 或-2 4在等比数列中，是方程的两个实根，则（ ） A-1 B1 C-3 D3 5已知函数（是的导函数） ，则（ ） A B C D 6函数的部分图象大致为（ ） A B C D 7已知函数，若，则（ ） A B C D 8某地采用 10 合 1 混检的方式对居民进行新冠病毒核酸检测，即将 10 个人的咽拭子样本放入同一个采集管中进行检测，最后不满 10 人的，如果人
2、数小于 5，就将他们的样本混到前一个采集管中，否则再使用一个新的采集管则各采样点使用的采集管个数 y 与到该采样点采样的人数之间的函数关系式为（ ） （表示不大于 x 的最大整数） A B C D 二、多选题二、多选题 9在菱形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，F 是 AD 边的中点，则（ ） A B C D 10已知等差数列的前 n 项和为，若，则（ ） A B C D 11将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A B的图象相邻两条对称轴间距离为 C在上单调递减 D在上的值域为 12已知函数，则（ ） A在上单调递减，
3、在上单调递增 B有 2 个不同的零点 C若 a，则 D若且，则 三、填空题三、填空题 13已知两个单位向量，满足，则向量，的夹角为 14已知，请写出一个满足条件的 15已知 x，y，z 为正实数，且，则的最大值为 16在等差数列中，与互为相反数，为的前 n 项和，则的最小值是 四、解答题四、解答题 17在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知， （1）求 A； （2）若的面积为，求的值 18奥运会个人射箭比赛中，每名选手一局需要射 3 箭，某选手前三局的环数统计如下表： 环数 第 1 局 10 10 7 第 2 局 8 9 9 第 3 局 10 8 10 （1）求该选手这 9 箭射
4、中的环数的平均数和方差； （2）若以该选手前 9 箭射中不同环数的频率代替他每一箭射中相应环数的概率，且每一次射箭互不影响，求他第 4 局的总环数不低于 29 的概率 19已知各项都为正数的等比数列的前 n 项和为，且， （1）求的通项公式； （2）设，数列的前 n 项和为，若，求正整数 k 的值 20如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是矩形，平面 CDP，且 （1）求证：平面平面 ABCD； （2）若，求直线 PB 与平面 ADP 所成角的正弦值 21已知椭圆 C：的离心率为，左、右焦点分别为，过点的动直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且当动直线 l 与 y 轴重合时，四边形的面积为 （
5、1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若与的面积之比为 2:1，求直线 l 的方程 22已知函数， （1）若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若，且，求的值 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解： 故答案为：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得答案。 【解析】【解答】， 当时，不成立； 当时， ， 故答案为：C. 【分析】解一元二次不等式化简集合 N，再分类讨论和化简集合 M，再利用交集的定义即可求出实数 m 的取值范围 。 【解析】【解答】解：因为，所以 当时，解得，满足，故时不等式成立； 当时，解得，满足，故时不等式成立； 故答案为：D. 【分析】利用分段函数
6、以及方程，直接求解 x 的值即可。 【解析】【解答】解：在等比数列中，由题意知：， 所以，所以且，即. 故答案为：B. 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，结合等比数列的性质进行计算，可得答案。 【解析】【解答】， ， 故答案为：D. 【分析】利用导数的运算进行求解，即可得出答案。 【解析】【解答】解：因为函数的定义域为 R，且， 所以函数是奇函数，故排除 C、D， 又，故排除 B 选项. 故答案为：A. 【分析】利用函数是奇函数，排除 C、D；利用，排除 B 选项，可得答案。 【解析】【解答】作出函数，的图象如图所示： 则的单调递增区间为：，单调递减区间为：. ， . , . 故答案为
7、：A 【分析】作出函数，数形结合，可得答案。 【解析】【解答】当 x 能被 10 整除或 x 除以 10 的余数为 1，2，3，4 时， ，即不需要再使用新的采集管； 当 x 除以 10 的余数为 5，6，7，8，9 时， ，即需要再使用一个新的采集管； 故答案为：C 【分析】当 x 能被 10 整除或 x 除以 10 的余数为 1，2，3，4 时可得，由 x 除以 10 的余数为 5，6，7，8，9 时可得，即可得出结果。 【解析】【解答】在菱形中，即，所以， 又，所以与不共线，A 符合题意，B 不符合题意； 因为 E、F 分别是 AB、AD 的中点，所以， 又，所以，所以，C 符合题意，D
8、 不符合题意. 故答案为：AC 【分析】根据题意和菱形的性质可得，依次判断各个选项，可得答案。 【解析】【解答】由题意知，得， 即，解得，所以，A 符合题意； ，B 符合题意； ，C 符合题意； ，当时，不成立，D 不符合题意. 故答案为：ABC 【分析】根据题意和等差数列的前 n 项和公式，等差中项的应用可得，进而可得利用计算即可判断 C,D，进而得答案。 【解析】【解答】解：由已知得，所以， 对于 A，A 不正确； 对于 B，的最小正周期，所以的图象相邻两条对称轴间距离为，B 符合题意； 对于 C，当时，因为在上单调递增，所以在上单调递增，C 不正确； 对于 D，当时，所以，D 符合题意，
9、 故答案为：BD 【分析】根据函数图像的变换求出的解析式，求出 的值可判断 A 选项的正误；根据函数的对称性可判断 B 选项的正误；根据正弦函数的单调性可判断 C 选项的正误；根据正弦函数的值域可判断 D 选项的正误。 【解析】【解答】对 A， ， ，当， 在上单调递减，在上单调递增，A 符合题意； 对 B，B 不符合题意； 对 C， ，C 不符合题意； 对 D，不妨设，要证， 设 ， 函数在单调递增，且， 恒成立， ，且在单调递增， ，D 符合题意； 故答案为：AD 【分析】对 求导，根据导数符号可判断 A 选项的正误；由可判断 B 选项的正误；利用基本不等式可判断 C 选项的正误；不妨设，
10、设 利用导数可判断 D 选项的正误。 【解析】【解答】解：由单位向量，满足，得，所以，所以， 又,所以. 故答案为： 【分析】利用向量模的计算公式求出，进而求出向量，的夹角 。 【解析】【解答】由题意知， 又， 所以可以为. 故答案为： 【分析】根据诱导公式可得，结合两角和的余弦公式即可出结果。 【解析】【解答】解：因为，所以， 又 x，y，z 为正实数，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，所以，当且仅当时取等号. 所以的最大值为 2， 故答案为：2. 【分析】由，得，利用基本不等式即可求出的最大值。 【解析】【解答】， 解得：， ， ， 当时， ， 当时， ， 当时， 考察函数， 当时，在单
11、调递增， 当时，为最小值； 当时， 考察函数， 当时，；函数在单调递增， 当时，为最小值； 综上所述：的最小值是 6； 故答案为：6 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出，当时，；当时，利用导数可得函数的单调性，进而得出进的最小值。 【解析】【分析】(1)利用正弦定理求解即可得 A 的大小； (2 )利用余弦定理和三角形的面积公式求解即可得 的值 【解析】【分析】 （1）根据平均数和方差的公式计算即可得出该选手这 9 箭射中的环数的平均数和方差； （2） 该选手第 4 局的总环数不低于 29，包含1 个 9 环，2 个 10 环”和3 个 10 环两种情况，射中9 环的概
12、率为，射中 10 环的概率为， 计算即可求得他第 4 局的总环数不低于 29 的概率 【解析】【分析】 (1) 设数列的公比 q ，由等比数列的通项公式和求和公式可求得 的通项公式； (2)由(1)得 Sn，bn = 2n，从而求得 Tn代入方程中可得 ，求解即可得正整数 k 的值 【解析】【分析】 (1)由已知得PDE=DPE= 30，可得 ，从而 DECD，进而证DE平面 ABCD，可证平面平面 ABCD； (2) 以 D 为坐标原点，DE，DC，DA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 求平面 ADP 的法向量和直线的方向向量，可用向量法求直线 PB 与平面 ADP 所成角的正弦值. 【解析】【分析】 （1）根据离心率和直线 l 与 y 轴重合时四边形的面积列出方程，结合 解得 a,b 的值，进而求出椭圆 C 的标准方程； （2）根据 与的面积之比为 2:1， 转化为线段的比值，分为两种情况，进而求出直线l 的方程。 【解析】【分析】 （1）函数的导数，计算 ，的值，可得 点处的切线方程为， 由直线过点，求解可得 的值； （2）由函数为可导函数，可得为函数的极小值， 求导可得的单调性，进而求出 ，即可求出 的值.
