1、21.121.1一元二次方程一元二次方程21.2.1 21.2.1 第第1 1课时课时直接开平方法直接开平方法21.2.1 21.2.1 第第2 2课时课时配方法配方法21.2.221.2.2公式法公式法21.2.321.2.3因式分解法因式分解法21.2.421.2.4一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系21.3 21.3 第第1 1课时课时传播问题与一元二次方程传播问题与一元二次方程21.3 21.3 第第2 2课时课时平均变化率与一元二次方程平均变化率与一元二次方程21.3 21.3 第第3 3课时课时几何图形与一元二次方程几何图形与一元二次方程第二十一章 一元二次方
2、程21.1 一元二次方程第二十一章 一元二次方程学习目标1.理解一元二次方程的概念.（难点）2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）导入新课导入新课复习引入没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8924xx-518代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：
3、什么叫一元二次方程呢？问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？100cm50cmx3600cm2解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（1002x)cm,宽为(502x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得化简，得一元二次方程的概念一讲授新课讲授新课该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？2753500 xx问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场
4、比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解：根据题意，列方程：1(1)28.2x x 化简，得：该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？2560 xx问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？3220 x1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面_m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.32x2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得：思考：220 x3220(32x220 x)2x2=57
5、02x2x2-36x35=0 3220 x想一想：还有其它的列法吗？试说明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220观察与思考 方程、都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:都是整式方程;只含一个未知数;未知数的最高次数是2.x2-36x35=0 2560 xx2753500 xx 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a0)ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称
6、为一次项,b 称为一次项系数. c 称为常数项.知识要点u一元二次方程的概念一元二次方程的概念 u一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？当 a = 0 时bxc = 0 当 a 0 ， b = 0时 ，ax2c = 0 当 a 0 ， c = 0时 ，ax2bx = 0 当 a 0 ，b = c =0时 ，ax2 = 0 总结：只要满足a 0 ，b ， c 可以为任意实数.典例精析222221A.0B.350C.(1)(2)0D.0 xxxyyxxxaxbxc例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）C
7、不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0少了限制条件a0提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 判断下列方程是否为一元二次方程？判断下列方程是否为一元二次方程？212(4)0 xx (2) x3+ x2=36(3)x+3y=36(5) x+1=0 63)6(2x22)32(14)7(xx062)(8(2xx (1) x2+ x=36例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x=2x2(2) (a1)x |a|+1 2x7=0.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-20，即a2时，原方程
8、是一元二次方程； (2)由 a +1 =2，且a-1 0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值变式：方程(2a-4)x22bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？解（1）当 2a40，即a 2 时是一元二次方程（2）当a=2 且 b 0 时是一元一次方程一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程一般式一般式相同点相同点不同点不同点思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别思考：一元一次方程与一元二次
9、方程有什么区别与联系？与联系？ax=b (a0）ax2+bx+c=0 (a0）整式方程，只含有一个未知数整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是未知数最高次数是1未知数最高次数是未知数最高次数是2 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意视频：一元二次方程一般式一元二次方程的根二u一元二次方程的根 使一元二次方程等号两
10、边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.练一练：下面哪些数是方程 x2 x 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4解： 3和-2.你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 例4：已知a是方程 x2+2x2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得2220aa 即222aa 2242018aa 2 220182022 22(2 )2018aa 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值当堂练习当堂练习 1. 下列哪些是一元二次
11、方程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2320 xx2312 3yy 245x (2)(34)3xx2320 xx232 310yy -21313-540-53-22450 x 23250 xx4.已知方程已知方程5x+mx-6=0的一个根为的一个根为4，则的值，则的值为为_3.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程当当k 时，是一元一次方程时，是一元一次方程114.(1) 如图，已知一
12、矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中取3）.解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2.整理，得225000 x根据题意有，4315020031502002x200cm150cm(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x整理，得22550110 xx根据题意有，1081752 x5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a
13、的值.解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=094a 4a=-96.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m= 2. m+2 0， m -2，综上所述：m =2.拓广探索 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得2110abc 0abc 即即思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗? 解：由题意得2110abc 即即0abc 方程ax2+bx
14、+c=0 (a0)的一个根是1.2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗? x=2课堂小结课堂小结一 元 二次 方 程概 念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0 (a 0) 其中(a0)是一元二次方程的必要条件；根使方程左右两边相等的未知数的值.第二十一章 一元二次方程21.2.1 配方法第1课时 直接开平方法学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p0)的方程.(重点）1.如果 x2=a,则x叫做a的 .导
15、入新课导入新课复习引入平方根2.如果 x2=a(a 0),则x= .3.如果 x2=64 ,则x= .a84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课直接开平方法一 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可，可列出方程106x2=1500，由此可得 x2=25开平方得即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1) x2=4(2
16、) x2=0(3) x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；(3)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ；1px 2px12xx 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程:(1) x2=6；(2) x2900=0.解： （1） x2=6，直接开平方，得（2）移项，得 x2=900.直接开平方，得x= 30，x1=30,
17、 x2=30.典例精析6,x1266xx， 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3)2=5 ， 得得对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流35,x 3535 .xx ， 或123535xx ， 或于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中 ，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳例2 解下列方程： （x1）2= 2 ； 解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.22.即x1=-1+，x2=-1- 解：（1）x+1是2的平方根，2.x+1=
18、解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2 解下列方程：（2）（x1）24 = 0；即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（x-1）2=4.x-1是4的平方根，x-1=2. x1= ，547.4 x2=(3) 12（32x）23 = 0.解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 21445xx 229614xx 解：解：225,x25,
19、x 25,25,xx 方程的两根为方程的两根为125x 225.x 解：解：2314,x312,x 312312,xx ，方程的两根为方程的两根为21.x 例3 解下列方程：113x 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn）2= p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习当堂练习 (C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= 3, x1= ; 4741x2=(D) (2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-4 1.下
20、列解方程的过程中，正确的是（ ）(A) x2=-2,解方程，得x=2(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 .3. 解下列方程： (1)x2-810； (2)2x250； (3)(x1)2=4 . x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x21解：x19, x29；解：x15, x25；解：x11, x23.4.4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y
21、115,3y 115,3y 3 51,y 解：解：不对，从开始错，应改为115,3y 123 53,3 53.yy 解方程解方程: :22(2)(25)xx挑战自我挑战自我解：解：22225,xx2(25),xx 方程的两根为方程的两根为17x 21x 225,225xxxx 课堂小结课堂小结直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p (p 0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法第二十一章 一元二次方程21.2.1 配方法第2课时 配方法学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
22、(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课导入新课复习引入(1) 9x2=1 ；(2) (x-2)2=2.1.用直接开平方法解下列方程:(1) x2+6x+9 =5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p0)的形式，再利用开平方讲授新课讲授新课配方的方法一问题问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1) a2+2ab+b2=( )2；(2) a2-2ab+b2=( )2.a+ba-b探究交流问题问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+ = ( x + )2（2）x2-6x+ = ( x- )2（3）x2+8x+ = (
23、 x+ )2（4）43x2- x+ = ( x- )2你发现了什么规律？22232342422( )323二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+( )2=(x+ )22p2p配方的方法用配方法解方程二合作探究怎样解方程: x2+6x+4=0 (1)问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2 为什么在方程x
24、2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解45,x 例1 解下列方程： 21810 xx ；12415,415.xx解：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42 ,( x4)2=15由此可得即配方，得2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得2111,.2xx二次
25、项系数化为1，得231,22xx 2 2213 xx ；解：移项，得 2x23x=1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得2224211,3xx 211.3x 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得2364,xx 二次项系数化为1，得242,3xx 2 33640.xx为什么方程两边都加12？即即思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？注意些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号移项时需注意改变符号.
26、移项，二次项系数化为移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；左边写成完全平方形式；降次；降次；解一次方程解一次方程.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.当当p0时时,则则 ,方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两开平方得方程的两个根为个根为 x1=x2=-n.当当p0，当b2-4ac 0时，a 0,4a20， 当b2-4ac 0时，22240.24bbacxaa 而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根.2.42bb
27、acxa 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a0) ，当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.注意视频：求根公式的趣味记忆 公式法解方程二 例1 用公式法解方程程 5x2-4x-12=0解：a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-45(-12)=2560.242bbacxa 242bbacxa典例精析( 4)25641
28、628=25105 1262,5xx 242bbacxa 例2 解方程：232 3xx化简为一般式：22330 xx 1-2 33.abc、解：Q（），2242 34 1 30bac 即 ：123.xx 这里的a、b、c的值是什么？（-2 3）2 303.2 12x 例3 解方程： （精确到0.001）.210 xx1,1,1,abc 22414 1 ( 1)50bac 152x 120.618,1.618.xx 解：用计算器求得：52.2361例4 解方程：4x2-3x+2=0224,3,2.4( 3)4 4 2932230.abcbac Q因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
29、解：要点归纳公式法解方程的步骤1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac 0 = 0 0时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac -1 B.k-1且k0 C.k1 D.k0，同时要求二次项系数不为0，即 ，k0.解得k-1且k0，故选B.B2( 2)40k例7:不解方程，判断下列方程的根的情况（1）3x2+4x3=0；（2）4x2=12x9; (3) 7y=5(y2+1).解：（1）3x2+4x3=0，a=
30、3,b=4,c=3, b24ac=3243(3)=520. 方程有两个不相等的实数根 （2）方程化为：4x212x+9=0, b24ac=(12)2449=0. 方程有两个相等的实数根例7:不解方程，判断下列方程的根的情况 (3) 7y=5(y2+1).解：（3）方程化为：5y27y+5=0, b24ac=(7)2455=510. 方程有两个相等的实数根1.解方程：x2 +7x 18 = 0.解：这里 a=1, b= 7, c= -18. b 2 - 4ac =7 2 4 1 (-18 ) =1210, 即 x1 = -9, x2 = 2 .7121711.2 12x 当堂练习当堂练习2. 解
31、方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.解：去括号 ，得 x 2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. b2 - 4ac=(-7 )2 4 3 8 = 4996 = - 47 0 , 即 x1= x2=33.4333x333.234.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.04414)2(422mmacb解：1m022mxx1m 5.不解方程，判断下列方程的根的情况（1）2x2+3x-4=0；（2）x2
32、-x+ =0; (3) x2-x+1=0.解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4, b2-4ac=32-42(-4)=410. 方程有两个不相等的实数根 （2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= . b2-4ac=(-1)2-41 =0. 方程有两个相等的实数根14141414（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. b2-4ac=(-1)2-411=-3 0, 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.拓展提升一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2 + px + q = 0 （p2 - 4q 0）(x+m)2n（n 0）ax2
33、+ bx +c = 0(a0 , b2 - 4ac0)(x + m) （x + n）01.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ ax2+bx=0），），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.要点归纳解法选择基本思路 x2-3x+1=0 ； 3x2-1=0 ； -3t2+t=0 ； x2-4x=2 ； 2x2-x=0； 5(m+2)2=8； 3
34、y2-y-1=0； 2x2+4x-1=0； (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 当堂练习当堂练习1.填空 2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . 由x-5=3, 得x=8; 由x+2=6, 得x=4; 所以原方程的解为x1=8或x2=4.解: 原方程化为： x2 3x 28= 0， (x7)(x+4)=0， x1=7，x2=4.3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法求解，得方程的
35、两根为x1= , x2= . x2+x2=021 221363241210.xxx ； 解：化为一般式为因式分解，得x22x+1 = 0.( x1 )( x1 ) = 0.有 x 1 = 0 或 x 1 = 0，x1=x2=1.解：因式分解，得( 2x + 11 )( 2x 11 ) = 0.有 2x + 11 = 0 或 2x 11= 0，121111,.22xx 4.解方程：5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径解：设小圆形场地的半径为r，根据题意 ( r + 5 )2=2r2.因式分解，得52520.rrrr 于是得2 +50250.rrrr
36、或1255,().2112rr舍去答：小圆形场地的半径是5m.21课堂小结课堂小结因式分解法概 念步 骤简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解如果a b=0，那么，那么a=0或或b=0.原 理将方程左边因式分解，右边=0.因式分解的方法有因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2 2ab+b2=(a b)2；a2 -b2=(a +b)(a -b).第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）导入新课导入新课复习引入1.一
37、元二次方程的求根公式是什么？224(40)2bbacxbaca 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac 0. 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.（2）2x2 - - 3x - - 2 = 0.解：这里 a = 2 , b = - -3 , c = - -
38、2. = b2 - - 4ac = （- - 3）2 4 2 (- -2) = 25 0, 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = - -1 .23例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=7.答：方程的另一个根是 ，k=7.,5k3.53()5356,5变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1
39、=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,3m例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231,.22xxxx 解：根据根与系数的关系可知： 22212112212,xxxx xx2221212122xxxxx x231132;224 121212113123.22xxxxx x 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2= , (2)x1x2= , (3) , (4)(4) .411412221)(xx2221xx练一练例4：设x1，x2是方程
40、 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得= 4（k - - 1）2 - - 4k2 0 即 - -8k + 4 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - -1) , x1 x2 =k 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - - 2x1x2 = 4(k - -1)2 - -2k2 = 2k2 - -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.21 ku 总结
41、常见的求值:12111.xx1212;xxx x124 .(1)(1)xx1212()1;x xxx12213.xxxx221212xxx x2121212()2;xxx xx x125. xx212()xx21212()4.xxx x2221212122.()2;xxxxx x 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳当堂练习当堂练习1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .1-232-33.已知方程 3x2 -19
42、x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 x1 = x1 =16.3ca16.34.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； 12,xxk1 21.2kx x1() 1 4,2kk （2）因为k=-7,所以 则：1 24.xx 127,x x22212121 2()()47
43、4 ( 4) 65.xxxxxx 5.设x1,x2是方程3x2 + 4x 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2).2112xxxx解:根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）12124,1.3bcxxxxaa 44(-1) 1;33 .)(934221212212122212112xxxxxxxxxxxxxx6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x1-x2)2=(x1+
44、x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得,221kxx,2121 xx, 121422k, 322k. 32k7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足 x1-x2 = 1 求m的值.解：(1)方程有实数根0884424242222mmmmmmmacbm的取值范围为m0(2)方程有实数根x1,x2.2, 22121mmxxxx (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1. 12422mm解得m=8.经检验m=8是原方程的解课堂小结课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内 容如果一元二次方
45、程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么应 用222121212()2xxxxx x22121212()()4xxxxx x12121211xxxxxx12bxxa 12cx xag第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第1课时 传播问题与一元二次方程 学习目标1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.（重点）2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模解决问题.视频引入导入新课导入新课导入新课导入新课图片引入传染病，一传十, 十传百 讲授新课讲授新课传播问题与一元二次方程一引
46、例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析 ：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下： 合作探究第第2 2轮轮小明小明1 12 2x第第1 1轮轮第第1轮传染后人数轮传染后人数x+1小明小明第第2轮传染后人数轮传染后人数x(x+1)+x+1注意：不要忽视小明的二次传染x1= , x2= .根据示意图，列表如下： 10-12(不合题意,舍去)10解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.(1+x)2=121注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人
47、数 11+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数 (1+x)1 (1+x)2 分析 第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.(1+x)3传染源传染源 新增患者人数新增患者人数 本轮结束患者总人数本轮结束患者总人数第一轮第一轮 1 1x=x 1+x第二轮第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x=第三轮第
48、三轮 第第n轮轮思考：思考：如果按这样的传染速度，如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多轮后传染后有多少人患了流感？少人患了流感？(1+x)2(1+x)n(1+x)3经过经过n轮传染后共有轮传染后共有 (1+x)n 人患流感人患流感.(1+x)2(1+x)2x(1+x)2+(1+x)2x=例1：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主主干干支干支干支干支干小小分分支支小小分分支支小小分分支支小小分分支支xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则 1+x+x2=91即0902xx解得, x1=9,x2=10(不合题
49、意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.交流讨论1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染. .2.解决这类传播问题有什么经验和方法？（1 1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2 2）可利用表格梳理数量关系；）可利用表格梳理数量关系；（3 3）关注起始值、新增数量，找出变化规律）关注起始值、新增数量，找出变化规律. .方法归纳建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检 验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些
50、？例2：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1xx(1x)100，即，即(1x)2100. 解得 x19，x211(舍去)x9.4轮感染后，被感染的电脑数为(1x)41047000.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台 1.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400
