1、本章内容本章内容1.1 任意角和弧度制任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质1.5 函数函数 y= =Asin(w wx+ +j j) 的图象的图象1.6 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用第一章第一章 小结小结1.4.1 正余弦函数的图象正余弦函数的图象复习与提高复习与提高1.4.2 正余弦函数的性质正余弦函数的性质(第一课时第一课时)1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象1.4.2 正余弦函数的性质正余弦函数的性质(第二课时第二课时)1.4.1正弦函数正弦函数
2、余弦函数余弦函数的图象的图象返回目录返回目录 1. 正弦函数正弦函数 y= =sinx 的图象是一条怎样的曲线的图象是一条怎样的曲线? 与我们所学过的函数图象相比与我们所学过的函数图象相比, 它的突出特点是什它的突出特点是什么么? 余弦函数余弦函数 y= =cosx 的图象呢的图象呢? 2. 正弦函数正弦函数 y= =sinx 与余弦函数与余弦函数 y= =cosx 的图象的图象有什么相同与区别有什么相同与区别? 能否相互转化能否相互转化? 3. 正弦函数和余弦函数图象上关键的五点各是正弦函数和余弦函数图象上关键的五点各是哪五点哪五点? 怎样用这五点画函数的简图怎样用这五点画函数的简图? 问题
3、问题 1. 前面我们学了三角函数的定义及一些关前面我们学了三角函数的定义及一些关系式系式, 接下来我们要学习三角函数的图象和性质接下来我们要学习三角函数的图象和性质. 你你能写出正弦函数能写出正弦函数、余弦函数的解析式吗余弦函数的解析式吗? 请你描几个请你描几个点试一下点试一下, 正弦函数的图象是个什么形状正弦函数的图象是个什么形状?正弦函数正弦函数:余弦函数余弦函数:y = = sinxy = = cosx正正、余弦函数的图象是一个什么形状呢余弦函数的图象是一个什么形状呢,我们来看一个物理实验我们来看一个物理实验:这是物理上的简谐运动的图象这是物理上的简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫
4、做物理中把简谐运动的图象叫做 “正弦曲线正弦曲线” 或或“余弦曲线余弦曲线”.正弦函数、余弦函数的图象是否如此正弦函数、余弦函数的图象是否如此, 下面我们下面我们用正弦线、余弦线画它们的图象用正弦线、余弦线画它们的图象.【用三角函数线画正弦函数用三角函数线画正弦函数y= =sinx的图象的图象】 1. 在坐标系的左半平面画一个单位圆在坐标系的左半平面画一个单位圆;xoy2. 将单位圆分成将单位圆分成 8 等分等分; (等分数越多等分数越多, 图象越准确图象越准确)3. 在在02p p之间标出各分界线为终边的角的弧度数之间标出各分界线为终边的角的弧度数;0p p4p p2p p43p p45p
5、p23p p47p p4. 画出各角的正弦线画出各角的正弦线;xoy0p p4p p2p p43p p45p p23p p47p p4p p2p p43p pp p45p p23p p47p p2p p5. 在在x轴上标出轴上标出 0,;2 ,47 ,23 ,45 , ,43 ,2 ,4p pp pp pp pp pp pp pp p6. 将各角的正弦线移到坐标平面内的对应位置将各角的正弦线移到坐标平面内的对应位置;7. 用平滑的曲线连接正弦线的各端点用平滑的曲线连接正弦线的各端点, 即得正弦函数即得正弦函数 y= =sinx 的图象的图象 (正弦曲线正弦曲线).【用三角函数线画正弦函数用三角
6、函数线画正弦函数y= =sinx的图象的图象】 当再取当再取 x2p p 时时, 曲线周期地出现曲线周期地出现.由诱导公式知由诱导公式知,xoy4p p2p p43p pp p45p p23p p47p p2p p【余弦函数余弦函数 y= =cosx 的图象的图象】 ),2sin(cosp p+ += = =xxy个单位得到个单位得到.这一函数的图象可由这一函数的图象可由 y= =sinx 的图象向左平移的图象向左平移2p p正、余弦函数的图象分别叫做正、余弦函数的图象分别叫做正弦曲线正弦曲线和和余弦曲线余弦曲线.y= =sinxy= =cosx也可用余弦线作也可用余弦线作 y= =cosx
7、的图象的图象.xoy0p p4p p2p p43p p45p p23p p47p p4p p2p p43p pp p45p p23p p47p p2p p1. 在在x轴左边画单位圆轴左边画单位圆, 并将其并将其n等分等分;2. 在在02p p上标出各分界线为终边的角的弧度数上标出各分界线为终边的角的弧度数;3. 画出各角的余弦线画出各角的余弦线;4. 在在x轴上标出单位圆中相应各角的弧度数轴上标出单位圆中相应各角的弧度数;xoy0p p4p p2p p43p p45p p23p p47p p4p p2p p43p pp p45p p23p p47p p2p p6. 将各余弦线平移到坐标平面内的
8、对应位置将各余弦线平移到坐标平面内的对应位置;5. 将单位圆逆时针旋转将单位圆逆时针旋转90;7. 用平滑的曲线连接余弦线的各端点用平滑的曲线连接余弦线的各端点, 当当 x2p, p, 曲线周期地曲线周期地向两边延展向两边延展, 即得余弦函数即得余弦函数 y= =cosx 的图象的图象 (余弦曲线余弦曲线).也可用余弦线作也可用余弦线作 y= =cosx 的图象的图象.(0, 0),),1 ,2(p p),0 ,(p p),1 ,23( p p).0 ,2(p poy4p p2p p43p pp p45p p23p p47p p2p p1 1x正弦正弦:在在02p p 的一个周期内的一个周期内
9、, 五个关键点画图象五个关键点画图象 余弦余弦:xoy4p p2p p43p pp p45p p23p p47p p2p p1(0, 1),),0 ,2(p p 1),0 ,23(p p(p p, 1),(2p p, 1).在在02p p 的一个周期内的一个周期内, 五个关键点画图象五个关键点画图象 例例1. 画出下列函数的简图画出下列函数的简图: (1) y= =1+ +sinx, x0, 2p p; (2) y= = cosx, x0, 2p p.按五点列表按五点列表:xsinxy= =1+ +sinx0p p2p p2p p23p p解解:(1)01 10001112xoy2p pp p
10、23p p2p p1 12其实其实, y= =1+ +sinx的图象的图象是将是将y= =sinx的图的图象向上平移象向上平移 1 个个单位得到的单位得到的.y= =1+ +sinxy= =sinx列表列表:xcosxy= = cosx0p p2p p2p p23p p 100110 11 10 xoy2p pp p23p p2p p 11其实其实, y= = cosx的图象是的图象是将将 y= =cosx 的图象的图象关于关于x轴对称地翻轴对称地翻折后得到的折后得到的.y= = cosx例例1. 画出下列函数的简图画出下列函数的简图: (1) y= =1+ +sinx, x0, 2p p;
11、(2) y= = cosx, x0, 2p p.解解:(2)y= =cosx练习练习: (课本课本34页页)第第 1、2 题题.练习练习: (补充补充)1. 在在02p p 内画出下列函数的图象内画出下列函数的图象:(1) (2);sin2xy= =. 1cos2 = =xy练习练习: (补充补充)1. 在在02p p 内画出下列函数的图象内画出下列函数的图象:(1) (2);sin2xy= =. 1cos2 = =xy解解: (1) 列表列表:xsin xy02p pp p23p p2p p010 10020 20 xyo2 2o2p pp p23p p2p p练习练习: (补充补充)1.
12、在在02p p 内画出下列函数的图象内画出下列函数的图象:(1) (2);sin2xy= =. 1cos2 = =xy解解: (2) 列表列表:xcos xy02p pp p23p p2p p010 111 1 3 11xyo1 3o2p pp p23p p2p p 1 1. 用多种方法在同一直角坐标系中用多种方法在同一直角坐标系中, 画出函数画出函数 y = = sinx, x 0, 2p p, y = = cosx, x 的图象的图象. 通过观察两条曲线通过观察两条曲线, 说出它们的异同说出它们的异同.23 ,2p pp p 提示提示: 可用列表、描点、连线的方法可用列表、描点、连线的方法
13、,可用三角函数线的方法可用三角函数线的方法,可用五点法可用五点法,也可用计算机画图象也可用计算机画图象.练习练习: (课本课本34页页) 1. 用多种方法在同一直角坐标系中用多种方法在同一直角坐标系中, 画出函数画出函数 y = = sinx, x 0, 2p p, y = = cosx, x 的图象的图象. 通过观察两条曲线通过观察两条曲线, 说出它们的异同说出它们的异同.23 ,2p pp p xyop p2p ppp2p p23p p2p p 1 1y= =sinxy= =cosx画出图象如下画出图象如下:两条曲线形状一样两条曲线形状一样,将正弦曲线将正弦曲线但位置不同但位置不同.余弦曲
14、线余弦曲线,向左平移向左平移 个单位得个单位得2p p即即;cos)2sin(xx= =+ +p p得正弦曲线得正弦曲线,将余弦曲线向右平移将余弦曲线向右平移 个单位个单位2p p即即.sin)2cos(xx= = p p练习练习: (课本课本34页页) 2. 想一想函数想一想函数 和和 y = = cosx 的图象的图象,并在同一直角坐标系中并在同一直角坐标系中, 画出它们的草图画出它们的草图.)23sin(p p = =xy解解:)22sin()23sin( p pp pp p + += = xx)2sin(p p+ += =x= = cosx, 两函数是同一函数两函数是同一函数, 它们的
15、图象是同一条曲线它们的图象是同一条曲线.xyo3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1)23sin(cosp p = = =xxy【课时小结课时小结】1. 正弦函数的图象正弦函数的图象xyo3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1y= =sinx特点特点:(1) 周期出现周期出现;(2) 在在 y= = 1 与与 y= =1 之间之间.五个关键点五个关键点:0 1010y2p pp p0 x2p p23p p(0, 0) 1 ,2(p p(p p,
16、 0) 1 ,23( p p(2p p, 0)xyo3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1xycos= =【课时小结课时小结】2. 余弦函数的图象余弦函数的图象特点特点:(1) 周期出现周期出现;(2) 在在 y= = 1 与与 y= =1 之间之间.五个关键点五个关键点:10 101y2p pp p0 x2p p23p p(0, 1)0 ,2(p p(p p, 1)0 ,23(p p(2p p, 1)【课时小结课时小结】3. 正弦、余弦函数图象的转化正弦、余弦函数图象的转化xyo3p pp p2p p-3p p-2p
17、 ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1xycos= =xysin= =.cos)2sin(xx = =+ +p p正弦曲线向左平移正弦曲线向左平移 得余弦曲线得余弦曲线,2p p.sin)2cos(xx = = p p余弦曲线向右平移余弦曲线向右平移 得正弦曲线得正弦曲线,2p p习题习题 1.4第第 1 题题.A 组组习题习题 1.41. 画出下列函数的简图画出下列函数的简图: (1) y= =1 sinx, x 0, 2p p; (2) y= =3cosx+ +1, x 0, 2p p.A 组组解解: 用五点法用五点法.(1)y2p pp p0 x2p
18、 p23p p10121xyo2p pp p23p p2p p12xyo习题习题 1.41. 画出下列函数的简图画出下列函数的简图: (1) y= =1 sinx, x 0, 2p p; (2) y= =3cosx+ +1, x 0, 2p p.A 组组解解: 用五点法用五点法.(2)y2p pp p0 x2p p23p p41 2142p pp p23p p2p p14 21.4.2正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数的性质的性质( (第一课时第一课时) )正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数的性质的性质返回目录返回目录 1. 什么叫周期函数什么叫周期函数? 什么叫周期什么叫周期? 什么叫最什么叫最
19、小正周期小正周期? 周期函数的图象有什么特点周期函数的图象有什么特点? 2. 正弦函数正弦函数 y= =sinx 的周期是多少的周期是多少? 最小正周最小正周期是多少期是多少? 余弦函数余弦函数 y= =cosx 呢呢? 3. 正弦函数正弦函数 y= =sinx 和余弦函数和余弦函数 y= =cosx 分别是分别是奇函数还是偶函数奇函数还是偶函数?1. 周期性周期性 问题问题 1. 正弦曲线每隔多长的距离出现重复正弦曲线每隔多长的距离出现重复? 根据是什么根据是什么? sin(x+ +2p p) = = sin(x+ +4p p) = = sin(x+ +6p p) = = = = sinx.
20、由诱导公式知由诱导公式知,正弦函数随着自变量正弦函数随着自变量 x 每隔每隔 2p p 的变化而循环的变化而循环.根据诱导公式根据诱导公式, 余弦也是如此余弦也是如此.于是得于是得 f (x) = = f (x+ +2p p) = = f (x+ +2p p)+ +2p p = = xyo3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1y= =sinx定义定义: 对于函数对于函数 f (x), 如果存在一个如果存在一个非零常数非零常数 T, 使得使得当当 x 取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时, 都有都有f (x+ +
21、T) = = f (x),那么函数那么函数 f (x) 就叫做就叫做周期函数周期函数, 非零常数非零常数 T 叫做这叫做这个函数的个函数的周期周期.如如: f (x) = = sinx, sin(x+ +2p p) = = sinx, sin(x 2p p) = = sinx, T= =2p p, 或或 T= =4p p, 都是都是 y= =sinx 的周期的周期.同样同样, T= =2p p, 或或 T= =4p p, 也是也是 y= =cosx 的周期的周期.k 取整数时取整数时, 2kp p 都是正都是正、余弦函数的周期余弦函数的周期.sin(x+ +4p p) = = sinx, si
22、n(x 4p p) = = sinx, 定义定义: 对于函数对于函数 f (x), 如果存在一个如果存在一个非零常数非零常数 T, 使得使得当当 x 取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时, 都有都有f (x+ +T) = = f (x),那么函数那么函数 f (x) 就叫做就叫做周期函数周期函数, 非零常数非零常数 T 叫做这叫做这个函数的个函数的周期周期.周期中最小的一个正数叫周期中最小的一个正数叫最小正周期最小正周期.以后不加特别说明以后不加特别说明, 一般都是指最小正周期一般都是指最小正周期. 正弦函数和余弦函数都是周期函数正弦函数和余弦函数都是周期函数, 2kp p (k Z
23、且且 k0) 都是它的周期都是它的周期, 最小正周期是最小正周期是 2p p.例例2. 求下列函数的周期求下列函数的周期:(1) y = = 3cosx, x R;(2) y = = sin2x, x R;(3) y = = 2sin x R.),621(p p x解解: (1)3cosx= =3cos(x+ +2p p),因为对任意实数因为对任意实数 x 都有都有 y= =3cosx, x R 的周期是的周期是 T= =2p p.设设 f(x)= =2cosx,则则 f(x+ +2p p)= =2cos(x+ +2p p). f(x+ +2p p)= =f(x),T= =2p p例例2. 求
24、下列函数的周期求下列函数的周期:(1) y = = 3cosx, x R;(2) y = = sin2x, x R;(3) y = = 2sin x R.),621(p p x解解: (2)sin2x = = sin(2x+ +2p p)因为对任意实数因为对任意实数 x 都有都有 y= =sin2x, x R 的周期是的周期是 T= =p p.= = sin2(x+ +p p),设设 f(x)= =sin2x,则则 f(x+ +p p)= =sin2(x+ +p p). f(x+ +p p)= =f(x),T= =2p pT= =p p解解: (3) 因为对任意实数因为对任意实数 x 都有都有
25、)2621sin(2)621sin(2)(p pp pp p+ + = = = =xxxf6)4(21sin2p pp p + += =xRxxy = = ),621sin(2 p p的周期是的周期是 T= =4p p.问问: 从此例中可看出周期与函数中的哪个常量有关从此例中可看出周期与函数中的哪个常量有关? 在正、余弦函在正、余弦函数中数中, 周期与变量周期与变量 x 的系数有关的系数有关.例例2. 求下列函数的周期求下列函数的周期:(1) y = = 3cosx, x R;(2) y = = sin2x, x R;(3) y = = 2sin x R.),621(p p xT= =2p p
26、T= =p p).4(p p+ += =xfAsin(w wx+ +j j) = =Asin(w wx+ +j j + +2p p)y= =Asin(w wx+ +j j)的周期是的周期是.2w wp p= =T同理可得余弦也如此同理可得余弦也如此.|2w wp p= =T y= =Asin(w wx+ +j j), y= =Acos(w wx+ +j j) 的周期是的周期是 问题问题2. 根据上面的例题根据上面的例题, 你能求得函数你能求得函数y= =Asin(w wx+ +j j), x R, (A, w w, j j 为常数为常数, w w0) 的周的周期吗期吗?因为对一切实数都有因为对
27、一切实数都有,)2(sinj jw wp pw w+ + += =xA当当 w w0 时时, 周期为周期为.|2w wp p= =T即即练习练习: (课本课本36页页)第第 1、2 题题. 1. 等式等式 sin(30 + +120 ) = = sin30 是否成立是否成立? 如如果这个等式成立果这个等式成立, 能否说能否说120 是正弦函数的一个周是正弦函数的一个周期期? 为什么为什么?答答: 120 不是正弦函数的一个周期不是正弦函数的一个周期.由定义由定义, 必须对定义域内的一切变量必须对定义域内的一切变量 x 都有都有f (x+ +T) = = f (x),f (x) 才是周期函数才是
28、周期函数.sin(40 + +120 ) sin40 ,而在定义域内的而在定义域内的sin(50 + +120 ) sin50 , 120 不是正弦函数的一个周期不是正弦函数的一个周期.练习练习: (课本课本36页页)2. 求下列函数的周期求下列函数的周期: (1) (2) y= =cos4x, x R; (3) (4); ,43sinRxxy = =; ,cos21Rxxy = =. ),431sin(Rxxy + += =p p解解: (1)，43 = =w w4322 p pw wp p= = =T则则Rxxy = = ,43sin 的周期是的周期是.38p p(2) w w = =4,
29、 y = = cos4x, x R 的周期是的周期是.2p p,38p p= =422 p pw wp p= = =T则则,2p p= =2. 求下列函数的周期求下列函数的周期: (1) (2) y= =cos4x, x R; (3) (4); ,43sinRxxy = =; ,cos21Rxxy = =. ),431sin(Rxxy + += =p p解解: (3)Rxxy = = ,cos21 的周期是的周期是 2p p.(4)的周期是的周期是6p p.Rxxy + += = ),431sin(p pw w = =1,122 p pw wp p= = =T则则= =2p p,31 = =w
30、 w3122 p pw wp p= = =T则则= =6p p,2. 奇偶性奇偶性 问题问题3. 函数奇偶性的代数定义是怎样的函数奇偶性的代数定义是怎样的? 奇偶奇偶函数的图象有什么特点函数的图象有什么特点? 你能用奇偶性的定义判定你能用奇偶性的定义判定正、余弦函数的奇偶性吗正、余弦函数的奇偶性吗?f( x) = = f(x)f( x) = = f(x)f( x)= =sin( x)=sinx =f(x),f( x)= =cos( x)= =cosx= = f(x),偶函数偶函数.奇函数奇函数.f(x)= =sinx,设设f(x)= =cosx,设设奇函数奇函数.偶函数偶函数.正弦函数是奇函数
31、正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数.xyo3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1y= =sinxxyo3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1xycos= =正弦正弦函数是函数是奇奇函数函数, 图象关于图象关于原点对称原点对称.余弦余弦函数是函数是偶偶函数函数, 图象关于图象关于 y 轴对称轴对称. 问题问题4. 正弦函数正弦函数 y= =sinx 是奇函数是奇函数, 它的图象关它的图象关于原点对称于原点对称. 除了原点除了原点
32、, 图象还有对称中心吗图象还有对称中心吗? 余弦函数余弦函数 y= =cosx 是偶函数是偶函数, 它的图象关于它的图象关于 y 轴轴对称对称. 除了除了 y 轴轴, 图象还有对称轴吗图象还有对称轴吗?xyo3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1y= =sinx 正弦曲线除了原点正弦曲线除了原点, 还有很多对称中心还有很多对称中心, 正弦正弦曲线与曲线与 x 轴的交点都是对称中心轴的交点都是对称中心. 问题问题4. 正弦函数正弦函数 y= =sinx 是奇函数是奇函数, 它的图象关它的图象关于原点对称于原点对称. 除了
33、原点除了原点, 图象还有对称中心吗图象还有对称中心吗? 余弦函数余弦函数 y= =cosx 是偶函数是偶函数, 它的图象关于它的图象关于 y 轴轴对称对称. 除了除了 y 轴轴, 图象还有对称轴吗图象还有对称轴吗? 余弦曲线除了余弦曲线除了 y 轴轴, 还有很多条对称轴还有很多条对称轴, 过余过余弦曲线上下顶点平行弦曲线上下顶点平行 y 轴的直线都是对称轴轴的直线都是对称轴.xyo3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1xycos= =【课时小结课时小结】1. 周期函数周期函数 对于函数对于函数 f (x), 如果存在一
34、个非零常数如果存在一个非零常数 T, 使得使得当当 x 取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时, 都有都有f (x+ +T) = = f (x),那么函数那么函数 f (x) 就叫做周期函数就叫做周期函数, 非零常数非零常数 T 叫做这叫做这个函数的周期个函数的周期.周期中最小的一个正数叫周期中最小的一个正数叫最小正周期最小正周期.【课时小结课时小结】1. 周期函数周期函数如果不加特别说明如果不加特别说明, 一般都是指最小正周期一般都是指最小正周期. 正弦函数和余弦函数都是周期函数正弦函数和余弦函数都是周期函数, 2kp p (k Z 且且 k0) 都是它的周期都是它的周期, 最小正周期
35、是最小正周期是 2p p.y= =sin(w wx+ +j j), y= =cos(w wx+ +j j) 的最小正周期是的最小正周期是.|2w wp p= =T【课时小结课时小结】2. 奇偶性奇偶性sin( x)= = sinx.正弦函数正弦函数 y= =sinx 奇函数奇函数, 图象关于原点对称图象关于原点对称.cos( x)= =cosx.余弦函数余弦函数 y= =cosx 偶函数偶函数, 图象关于图象关于 y 轴对称轴对称. 正正、余弦函数的图象与余弦函数的图象与 x 轴的交点是对称中心轴的交点是对称中心;过上下顶点且平行过上下顶点且平行 y 轴的直线轴的直线是是对称轴对称轴.y= =
36、sinxy= =cosx对称中心对称中心对称轴对称轴(kp p, 0)2p pp p+ += =kx)0 ,2(p pp p+ +kx= =kp p习题习题 1.4A 组组第第 3、10 题题.3. 求下列函数的周期求下列函数的周期: (1) (2);R ,32sin = =xxy.R ,4cos21 = =xxy解解: (1) 周期周期|2w wp p= =T322p p= = = 3p p.(2) 周期周期|2w wp p= =T42p p= =.2p p= =习题习题 1.4A 组组 10. 设函数设函数 f(x) (x R) 是以是以 2 为最小正周期的周为最小正周期的周期函数期函数,
37、 且且 x 0, 2时时 f(x)= =(x 1)2. 求求 f(3), f( )的值的值.27解解: f(x) 是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数, 则则f(3) = = f(3 2) = = f(1),又又 1 0, 2, f(3) = = f(1) = = (1 1)2= = 0.)227()27( = = ff)23(f= =(1)(2),2 , 023 又又2) 123()23()27( = = =ff.41= =1.4.2正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数的性质的性质( (第二课时第二课时) )正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数的性质的性质返回目录返回目录 1. 正弦函数正
38、弦函数 y= =sinx 有怎样的单调性有怎样的单调性? 你能写你能写出它的增区间和减区间吗出它的增区间和减区间吗? 余弦函数余弦函数 y= =cosx 呢呢? 2. 正弦函数正弦函数 y= =sinx 与余弦函数与余弦函数 y= =cosx 的最大的最大值是多少值是多少? x 分别取什么值的时候分别取什么值的时候 y 取得最大值取得最大值? 最小值呢最小值呢?3. 单调性与最大值单调性与最大值, 最小值最小值 问题问题 4. 函数的单调性可根据图象判定函数的单调性可根据图象判定, 你能根你能根据正弦曲线和余弦曲线判定正弦函数和余弦函数的单据正弦曲线和余弦曲线判定正弦函数和余弦函数的单调性吗调
39、性吗? 从图象上看从图象上看, 正弦函数最大值是多少正弦函数最大值是多少? 最最小值是多少小值是多少? x 等于多少时取得最大值或最小值等于多少时取得最大值或最小值? 余弦函数呢余弦函数呢?增增减减增增减减增增减减. 22 ,22增增p pp pp pp p+ + kk. 232 ,22减减p pp pp pp p+ + +kk2kp p 的代表点的代表点xyO3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1y= =sinx22p pp p+ += = kx时时, 函数取得最大值函数取得最大值 y最大最大= =1.22p pp
40、p = = kx时时, 函数取得最小值函数取得最小值 y最小最小= = 1.xO3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1y= =cosxy3. 单调性与最大值单调性与最大值, 最小值最小值 问题问题 4. 函数的单调性可根据图象判定函数的单调性可根据图象判定, 你能根你能根据正弦曲线和余弦曲线判定正弦函数和余弦函数的单据正弦曲线和余弦曲线判定正弦函数和余弦函数的单调性吗调性吗? 从图象上看从图象上看, 正弦函数最大值是多少正弦函数最大值是多少? 最最小值是多少小值是多少? x 等于多少时取得最大值或最小值等于多少时取得最
41、大值或最小值? 余弦函数呢余弦函数呢?增增减减增增减减增增减减2kp p 的代表点的代表点x= =2kp p 时时, 函数取得最大值函数取得最大值 y最大最大= =1.x= =(2k+1)p p 时时, 函数取得最小值函数取得最小值 y最小最小= = 1.2kp p p p, 2kp p 增增.2kp p, 2kp p+ +p p 减减.y= =sinx 在每一个闭区间在每一个闭区间)Z(22 ,22 + + kkkp pp pp pp p上都是增函数上都是增函数, 其值从其值从 1 增大到增大到 1; 在每一个闭区间在每一个闭区间)Z(232 ,22 + + +kkkp pp pp pp p
42、上都是减函数上都是减函数, 其值从其值从 1 减减小到小到 1.当且仅当当且仅当 时时, y= =sinx 取得最大取得最大)Z( 22 + += =kkxp pp p值值 1; 当且仅当当且仅当 时时, y= =sinx 取得最小取得最小)Z( 22 = =kkxp pp p值值 1.xyO3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1y= =sinxy= =cosx 在每一个闭区间在每一个闭区间 2kp p p p, 2kp p (k Z)上上都是增函数都是增函数, 其值从其值从 1 增大到增大到 1; 在每一个闭区间在每
43、一个闭区间2kp p, 2kp p+ +p p (k Z) 上都是减函数上都是减函数, 其值从其值从 1 减小减小到到 1.当且仅当当且仅当 x= =2kp p (k Z) 时时, y= =cosx 取得最大值取得最大值 1; 当且仅当当且仅当 x= =2kp p+ +p p (k Z)时时, y= =cosx 取得最小值取得最小值 1.xO3p pp p2p p-3p p-2p ppp2p p23p p25p p2p p 23p p 25p p 1 1y= =cosxy练习练习: (补充补充) 画出正弦函数和余弦函数的图象画出正弦函数和余弦函数的图象, 并根据图象并根据图象写出正余弦函数的单
44、调区间写出正余弦函数的单调区间.xyOp p2p p-2p ppp2p p23p p2p p 23p p 1 1y= =sinx.Z , 22 ,22 + + kkkp pp pp pp pZ. , 232 ,22 + + +kkkp pp pp pp p增区间增区间:减区间减区间:练习练习: (补充补充) 画出正弦函数和余弦函数的图象画出正弦函数和余弦函数的图象, 并根据图象并根据图象写出正余弦函数的单调区间写出正余弦函数的单调区间.Z , 2 ,2 kkkp pp pp pZ. , 2 ,2 + +kkkp pp pp p增区间增区间:减区间减区间:xyOp p2p p-2p ppp2p
45、p23p p2p p 23p p 1 1y= =cosx 例例 3. 下列函数有最大值下列函数有最大值、最小值吗最小值吗? 如果有如果有, 请写出取得最大值请写出取得最大值、最小值时的自变量最小值时的自变量 x 的集合的集合, 并并说出最大值、最小值分别是什么说出最大值、最小值分别是什么. (1) y= =cosx+ +1, x R; (2) y= = 3sin2x, x R.解解: (1) 当当 x= =2kp, p, k Z 时时,cosx 取得最大值取得最大值1.当当 x= =2kp p + +p, p, k Z 时时, cosx 取得最小值取得最小值 1.则则 y= =cosx+ +1
46、 取得最大值取得最大值 2.则则 y= =cosx+ +1 取得最小值取得最小值 0.即函数取得最大值即函数取得最大值 2 时时, x 的集合为的集合为:x|x = = 2kp p, k Z;函数取得最小值函数取得最小值 0 时时, x 的集合为的集合为:x|x = (= (2k+ +1)p p, k Z. 例例 3. 下列函数有最大值下列函数有最大值、最小值吗最小值吗? 如果有如果有, 请写出取得最大值请写出取得最大值、最小值时的自变量最小值时的自变量 x 的集合的集合, 并并说出最大值、最小值分别是什么说出最大值、最小值分别是什么. (1) y= =cosx+ +1, x R; (2) y
47、= = 3sin2x, x R.解解: (2)则则 y= = 3sin2x 取得最大值取得最大值 3,当当 2x= =2kp p 时时, , 2p psin2x 取得最小值取得最小值 1,解得解得;4p pp p = =kx则则 y= = 3sin2x 取得最小值取得最小值 3,当当 2x= =2kp p + + 时时, , 2p psin2x 取得最大值取得最大值 1,解得解得.4p pp p+ += =kx即即 函数取得最大值函数取得最大值 3 时时, x 的取值集合为的取值集合为;Z ,4| = =kkxxp pp p 例例 3. 下列函数有最大值下列函数有最大值、最小值吗最小值吗? 如
48、果有如果有, 请写出取得最大值请写出取得最大值、最小值时的自变量最小值时的自变量 x 的集合的集合, 并并说出最大值、最小值分别是什么说出最大值、最小值分别是什么. (1) y= =cosx+ +1, x R; (2) y= = 3sin2x, x R.解解: (2)则则 y= = 3sin2x 取得最大值取得最大值 3,当当 2x= =2kp p 时时, , 2p psin2x 取得最小值取得最小值 1,解得解得;4p pp p = =kx则则 y= = 3sin2x 取得最小值取得最小值 3,当当 2x= =2kp p + + 时时, , 2p psin2x 取得最大值取得最大值 1,解得
49、解得.4p pp p+ += =kx即即 函数取得最大值函数取得最大值 3 时时, x 的取值集合为的取值集合为;Z ,4| = =kkxxp pp p函数取得最小值函数取得最小值 3 时时, x 的取值集合为的取值集合为.Z ,4| + += =kkxxp pp p 例例4. 利用三角函数的单调性利用三角函数的单调性, 比较下列各组数比较下列各组数的大小的大小: (1) (2);10sin( )18sin(p pp p 与与).417cos( )523cos(p pp p 与与解解: (1),1018 p pp p 且且又又 y = = sinx 在在 上是增函数上是增函数,2 ,2p pp
50、 p ,2 ,218 p pp pp p ).10sin()18sin( p pp p 例例4. 利用三角函数的单调性利用三角函数的单调性, 比较下列各组数比较下列各组数的大小的大小: (1) (2);10sin( )18sin(p pp p 与与).417cos( )523cos(p pp p 与与解解: (2)523cos)523cos( p pp p= = ,53cosp p= =417cos)417cos(p pp p= = ,4cosp p= =, , 04 , , 053p pp pp pp p 而而且且,453p pp p 又又 y= =cosx 在在 0, p p上是减函数上是
