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第 1 章二次函数 第 1 章二次函数 有一个窗户形状如图, 上部是一个半圆, 下部是矩形援 如果制作窗 框的材料总长为远皂, 那么如何设计这个窗户, 使透光面积最大? 运动员投篮后, 篮球运动的路线是怎样一 条曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度? 上述问题可以通过二次函数的数学模型 来解决援 本章我们将学习二次函数的概念, 二 次函数的图象, 并通过图象探索二次函数的性 质, 以及二次函数的一些简单的实际应用援 数学九年级上册 图 1-1 用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量 赠 与 曾 之间的关系援 (1)圆的面积 赠 (糟皂2) 与圆的半径 曾 (糟皂) . (2)王师傅存入银行 2 万元, 先存一个一年定期, 一年后将本息转存 为又一个一年定期援 设年利率均为 曾, 两年后王师傅共得本息 赠 元. (3)一个温室连同外围通道的矩 形平面图如图 1-1援 这个矩形的周长为 120皂, 设一条边长为 曾 (皂) , 种植用地 面积为 赠 (皂2) 援 上述三个问题中, 函数表达式具 有哪些共同的特征? 一个长方形温室的占地面积为y (m2) , 周长为120 m, 一边长为x (m) . 你能得出y关于x的函数关系吗? 1 · 1 二次函数 1 通道 1 1 3 种植用地 曾 单位: 皂 上述三个函数表达式均可化简为 赠=葬曾2+遭曾+糟(葬, 遭, 糟 是常数, 葬≠0) 的形式援 我们把形如 赠=葬曾2+遭曾+糟(其中 葬, 遭, 糟 是常数, 葬≠0) 的函数叫做二次 函数 (择怎葬凿则葬贼蚤糟 枣怎灶糟贼蚤燥灶) , 称 葬 为二次项系数, 遭 为一次项系数, 糟 为常数项援 例如, 二次函数 赠=-曾2+58曾-112 的二次项系数 葬=-1, 一次项系数 遭=58, 常数项 糟=-112; 二次函数 赠=仔曾2的二次项系数 葬=仔, 一次项系数 遭=0, 常数项 糟=0援 4 第 1 章二次函数 曾(糟皂)0援250援511援51援75 赠(糟皂2)3援1252援522援53援125 例2已知二次函数 赠=曾2+b曾+c, 当 曾=1 时, 函数值是 4; 当 曾=2 时, 函数值是-5. 求这个二次函数的表达式援 员援 下列函数中, 哪些是二次函数? (1)赠=曾2.(2)赠=- 1 曾2 .(3)赠=2曾2-曾-1. (4)赠=曾 (1-曾) .(5)赠= (曾-1) 2- (曾+1) (曾-1) 援 圆援 分别说出下列二次函数的二次项系数、 一次项系数和常数项. (1)赠=曾2+1. (2)赠=-3曾2+7曾-12. (3)赠=2曾 (1-曾) 援 月 图 1-2 粤 云 耘 悦阅郧 匀 例1如图 1-2, 一张正方形纸板的边长为 2糟皂, 将它剪去 4 个全等的 直角三角形 (图中阴影部分) 援 设 粤耘=月云=悦郧=阅匀=曾(糟皂) , 四边形 耘云郧匀 的面积为 赠 (糟皂2) . (1)求 赠 关于 曾 的函数表达式和自变量 曾 的取值范围. (2)当 曾 分别为 0援25, 0援5, 1, 1援5, 1援75 时, 求对应的四边形 耘云郧匀 的面 积, 并列表表示援 解 (员)由题意, 0<曾<2, 赠=22-4× 1 2 ×曾 (2-曾) =2曾2-4曾+4援 即所求函数表达式为 赠=2曾2-4曾+4, 曾 的取值范围为 0<曾<2援 (2)当 曾=0援25糟皂 时, 赠=2×0援252-4×0援25+4=3援125 (糟皂2) 援 依次计算可得, 当 曾=0援5糟皂 时, 赠=2援5 (糟皂2) ; 当 曾=1糟皂 时, 赠=2 (糟皂2) ; 当 曾=1援5糟皂 时, 赠=2援5 (糟皂2) ; 当 曾=1援75糟皂 时, 赠=3援125 (糟皂2) 援 列表如下: 表 1-1 5 数学九年级上册 解把 曾=1, 赠=4; 曾=2, 赠=-5 分别代入函数式 赠=曾2+b曾+c,得方 程组 1+b+c=4, 4+2b+c=-5, 嗓 解这个方程组, 得 b=-12, c=15援 嗓 所以, 所求二次函数的表达式是 赠=曾2-12曾+15援 曾 (糟皂) 0援511援5233援5 赠 (糟皂2) 15仔 员援 说出二次函数 赠=葬曾2+遭曾+糟(葬, 遭, 糟 为常数, 葬≠0) 的自变量 曾 的 取值范围援 2援 已知二次函数 赠=葬曾2+遭曾+c, 当 曾=2 时, 函数值是 3; 当 曾=-2 时, 函数值是 2; 当 曾=4 时, 函数值也是 2. 求这个二次函数的表达式援 员援 下列函数中, 哪些是二次函数? (1)赠=曾2-2.(2)赠=2曾-3. (3)赠=曾2-2姨曾+1.(4)赠= (曾-5) 2-曾2. (5)赠= (曾-1) (曾+3) 援 圆援 写出下列二次函数的二次项系数、 一次项系数和常数项援 猿援 从半径为 4糟皂 的圆中挖去一个半径为 曾 (糟皂) 的同心圆, 剩下的圆 环的面积为 赠 (糟皂2) 援 求 赠 关于 曾 的函数表达式和自变量 曾 的取值范 围, 并填写下表援 二次函数二次项系数一次项系数常数项 赠=曾2+2曾-1 赠=曾2 赠=-3曾2+2 赠= 1 3( 曾-5) 2-4 6 第 1 章二次函数 铅球推出以后沿着怎样的一条曲线运动?你能用二次函数的 表达式来描述这条曲线吗? 源援 已知二次函数 赠=葬曾2+4曾+糟, 当 曾=-2 时, 函数值是-1; 当 曾=1 时, 函数值是 5援 求这个二次函数的表达式援 缘援 某工厂 1 月份的产值为 200 万元, 平均每月产值的增长率为 曾援 求该 工厂第一季度的产值 赠 关于 曾 的函数表达式援 6援 已知一隧道的截面如图所示,它的上部是 一个半圆, 下部是一个矩形, 且矩形的一 条边长为 2援5皂援 求: (1) 隧道截面的面积 杂 (皂2) 与截面上部 半圆的半径 则 (皂) 之间的函数表达式. (2)当 则=2皂 时, 隧道截面的面积(精确 到 0援1皂2) 援 7援 已知二次函数 赠=葬曾2+遭曾+糟,当 曾=1 时, 赠=2;当 曾=-2 时, 赠=-7; 当 曾=-1 时, 赠=0援 求这个二次函数的表达式援 2援5 (第 6 题) 单位: 皂 则 按下列步骤用描点法画二次函数 赠=曾2的图象援 1援 完成自变量与函数的对应值表援 1 · 2 二次函数的图象 曾…-3援5-3-2-101233援5… 赠…01… 表 1-2 7 数学九年级上册 2援 建立适当的直角坐标系, 并以表中各组对应值作为点的坐标, 在 直角坐标系中描出相应的点援 3援 用光滑曲线顺次连结各点援 你得到类似图 1-3 的图象了吗? 回顾上述过程, 总结在取对应值、 描点等方面有哪些有用的经验和体会援 观察所画的图象, 可以看到, 二次函数 赠=曾2的图象是一条关于 赠 轴 对称, 过坐标原点并向上伸展的曲线, 像这样的曲线通常叫做抛物线 (责葬则葬遭燥造葬) 援 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点援 例如, 抛物线 赠= 曾2的顶点是坐标原点援 对于二次函数 赠=葬曾2(葬≠0) , 是否都有类似的图象呢? 下面我们在同一 直角坐标系中画二次函数 赠=2曾2与 赠=-2曾2的图象援 1援 列自变量 曾 与函数 赠的对应值表援 2援 描点, 并用光滑曲线顺次连结各点, 即可得到函数 赠=2曾2与 赠=-2曾2的 图象 (图 1-4) 援 曾…-1援5-1-0援500援511援5… 赠=2曾2…4援520援500援524援5… 赠=-2曾2…-4援5-2-0援50-0援5-2-4援5… 表 1-3 图 1-3 213 4 5-4-5-3-2-1 2 4 6 8 10 12 14 16 韵曾 赠 8 第 1 章二次函数 一般地, 二次函数 赠=葬曾2(葬≠0) 的图象具有以下特征: 二次函数 赠ax (a) 的图象是一条抛物线, 它关于 赠轴对称, 顶 点是坐标原点.当a时, 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点; 当 a时, 抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点. 例1已知二次函数 赠=葬曾2(葬≠0) 的图象经过点 (-2, -3) 援 (1)求 葬的值, 并写出这个二次函数的表达式. (2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、 对称轴、 开口方向和图象的 位置援 解 (1)把点 (-2, -3) 的坐标代入 赠=葬曾2, 得-3=葬 (-2) 2, 解得 葬=- 3 4 援 这个二次函数的表达式是 赠=- 3 4 曾2援 (2)顶点为 (0, 0) , 对称轴为 赠轴援 因为 葬=- 3 4 <0, 所以这个二次函数图象的开口向下, 顶点是图象上 的最高点, 图象在 曾轴的下方 (除顶点外) 援 -8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 韵 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 赠 曾 赠=-2曾2 赠=2曾2 -1-2-3-4-5 图 1-4 二次函数 赠=2曾2 的图象与 赠=-2曾2的 图象关于什么对称?如 果已知 赠=葬曾2(葬≠0) 的图象,你认为可怎 样更方便地得到 赠= -葬曾2的图象? 9 数学九年级上册 -1 -1 1 1 曾 赠 韵 (第 4 题) 员援 在同一坐标系中画出下列二次函数的图象. (1)赠= 1 2 曾2.(2)赠=- 1 2 曾2援 圆援 若抛物线 赠=葬曾2(葬≠0) 过点 (-1, 3) , 则 葬 的值是, 对称 轴是, 开口, 顶点坐标是, 顶点是抛 物线上的, 抛物线在 曾 轴的方 (除顶点外) 援 员援 在同一坐标系中, 用描点法画出下列函数的图象. (1)赠= 5 4 曾2.(2)赠=- 5 4 曾2援 圆援 已知二次函数 赠=葬曾2(葬≠0) 的图象过点 (-2, 6) , 有下列点: 1,3 2 蓸蔀, -1, 3 2 蓸蔀, 1, - 3 2 蓸蔀, (2, 8) , ( 2姨, 3) . 其中哪些点在图象上, 哪些点不在图象上? 请说明理由援 猿援 已知二次函数 赠=葬曾2(葬≠0) 的图象经过点 (-3, 6) 援 (1)求 葬 的值, 并写出这个二次函数的表达式. (2)说出这个二次函数的顶点坐标、 对称 轴、 开口方向和图象的位置援 源援 已知二次函数 赠=葬曾2(葬≠0) 的图象的一部 分 (如图) , 请利用轴对称, 将 赠=葬 曾2(葬≠0) 的图象补画完整援 缘援 已知函数 赠=葬曾2(葬≠0) 与赠= -2 曾 的图象交点的横坐标大于零, 问 葬 是大于零还是小于零? 远援 跳伞运动员在打开降落伞之前, 下落的路程 泽 (米) 与所经过的时 间 贼 (秒) 之间的关系为 泽=葬贼2援 贼 (秒)012 34… s (米)020… 10 第 1 章二次函数 (1)根据表中的数据, 写出 泽 关于 贼 的函数表达式. (2)完成上面自变量 贼 与函数 泽 的对应值表. (3)画出 泽 关于 贼 的函数图象. (4)如果跳伞运动员从 4 600 米的高空跳伞, 为确保安全, 必须在 离地面 600 米之前打开降落伞援 问运动员在空中不打开降落 伞的时间至多有几秒 (精确到 1 秒) ? 1援 在同一直角坐标系中画出函 数赠= 1 2 曾2, 赠= 1 2 ( 曾+2 ) 2, 赠= 1 2(曾-2) 2 的图象(用描点法,或应用绘图软 件, 如 “几何画板” ) . 2援 比较所画三个函数的图象 (图 1-5) ,它们有什么共同的特征? 顶点坐标和对称轴有什么关系?图 象之间的位置有什么关系?由此, 你 发现了什么? 当一个物体自由地沿着斜面作直线运 动时, 路程 泽与时间 贼 有怎样的关系? 请设计 一个实验探讨这一问题,并写一份实验报 告, 介绍实验的过程和所获得的结果援 图 1-5 246-6-4-2 2 4 6 8 1 3 5 7 -1 韵 赠= 1 2(曾+2) 2 赠 赠= 1 2 曾2赠= 1 2(曾-2) 2 曾 11 数学九年级上册 例2对于二次函数 赠=- 1 3(曾-4) 2, 请回答下列问题: (1)把函数 赠=- 1 3 曾2的图象作怎样的平移, 就能得到函数 赠= - 1 3(曾-4) 2 的图象? (2)说出函数 赠=- 1 3(曾-4) 2 的图象的顶点坐标和对称轴援 解(1)函数 赠 =- 1 3 曾2的图象向右平移 4 个单位,就得到函数 赠=- 1 3(曾-4) 2 的图象 (图 1-6) 援 (2)函数 赠=- 1 3(曾-4) 2 的图象的顶点坐标是 (4, 0) , 对称轴是直线 曾=4援 一般地, 函数 赠=葬 (曾-皂) 2(葬≠0) 的图象与函数 赠=葬 曾2 的图象只 是位置不同, 它可由 赠=葬曾2的图象向右 (当 皂>0) 或向左 (当 皂<0) 平 移渣皂渣个单位得到援 函数 赠=葬 (曾-皂) 2 的图象的顶点坐标是 (皂, 0) , 对称 轴是直线 曾=皂援 现在我们在同一坐标系中画出函数 赠= 1 2(曾+2) 2, 赠= 1 2(曾+2) 2+3 的 图象, 如图 1-7援 图 1-6 2 -2 -4 -44曾 赠 赠=- 1 3(曾-4) 2 赠=- 1 3 曾2 -226 韵 8 12 第 1 章二次函数 从图 1-7 中可以看出, 只要把函数 赠= 1 2(曾+2) 2 的图象向上平移 3 个 单位, 就得到函数 赠= 1 2(曾+2) 2+3 的图象援 因此, 只要把函数 赠= 1 2 曾2的图 象先向左平移 2 个单位, 再向上平移 3 个单位, 就得到函数 赠= 1 2(曾+2) 2+3 的图象援 图 1-7 4韵-2 2 4 6 8 10 赠= 1 2 曾2 赠= 1 2(曾+2) 2 赠= 1 2(曾+2) 2+3 曾 赠 -42-66 填写下表: 二次函数图象的对称轴图象的顶点坐标 赠=1 2 曾2直线 曾=0, 即 赠 轴(0, 0) 赠=1 2(曾+2) 2 赠=1 2(曾+2) 2+3 一般地, 函数 赠=葬 (曾-皂) 2+噪(葬≠0) 的图象, 可以由函数 赠=葬曾2 的图 象先向右 (当 皂>0) 或向左 (当 皂<0) 平移渣皂渣个单位, 再向上 (当 噪>0) 或向 下 (当 噪<0) 平移渣噪渣个单位得到, 顶点是 (皂, 噪) , 对称轴是直线 曾=皂援 平移函数图象会 改变其形状吗? 13 数学九年级上册 员援 填空: (1)函数 赠=2 (曾+1) 2的图象, 可以由抛物线 向平 移 1 个单位得到. (2)函数 赠=- 2 3(曾-7) 2的图象, 可以由抛物线 向右 平移个单位得到. (3)抛物线 赠=3 (曾-2) 2+ 1 2 可以由抛物线先向右平移 2 个单位, 再向平移 1 2 个单位得到援 圆援 说出下列函数图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标. (1) 赠=5 (曾+2) 2-3. (2) 赠=-2 曾- 1 2 蓸蔀 2+7. (3) 赠=3曾2-6.(4) 赠=2- (曾+2) 2援 员援 在同一坐标系中画出函数 赠=曾2, 赠= (曾+3) 2, 赠= (曾-3)2 的图象, 并 回答下列问题 (填空) . (1)函数 赠= (曾+3) 2的图象, 可以由函数 赠=曾2的图象向 平移 个单位得到. (2)函数 赠=曾2的图象, 可以由函数 赠= (曾-3) 2的图象向 平移 个单位得到援 (3)函数 赠= (曾-3) 2的图象, 可以由函数 赠= (曾+3)2的图象向 平移个单位得到. 圆援 下列函数的图象可由怎样的抛物线 赠=葬曾2(葬≠0) 经过怎样的平移 得到? (1) 赠=4 (曾+1) 2. (2) 赠=-3 (曾-2姨) 2+1. (3) 赠=2 (曾+5) 2+2 3姨援 猿援 说出下列抛物线的开口方向、 顶点坐标和对称轴. (1)赠=1-3曾2.(2)赠=2 (曾-1) 2-7. (3)泽=3 (贼+6) 2+5. (4)赠= 1 2 -曾蓸蔀 2+3援 14 第 1 章二次函数 二次函数 赠axbxc(a) 的图象是一条抛物线, 它的对称轴 是直线 x b a, 顶点坐标是 b a , a糟原b a 蓸蔀援 当a 时, 抛物线的开 口向上, 顶点是抛物线上的最低点; 当a时, 抛物线的开口向下, 顶点 是抛物线上的最高点援 一般地, 函数 赠=葬曾2+遭曾+糟 (葬≠0) 的图象有以下性质: 源援 已知点 (2, 7) 在函数 赠=葬曾2+遭 的图象上, 且当 曾=-3姨时, 赠=5援 (1)求 葬, 遭 的值. (2)如果点 1 2 , 皂 蓸蔀,(灶, 17) 也在这个函数的图象上, 求 皂与 灶 的值援 缘援 已知一个二次函数图象的形状与抛物线 赠=4曾2相同, 它的顶点坐 标是 (2, 4) , 求该二次函数的表达式援 例3求抛物线 赠=- 1 2 曾2+3曾- 5 2 的对称轴和顶点坐标援 解疫葬=- 1 2 , 遭=3, 糟=- 5 2 , 亦- 遭 2葬 =- 3 2× - 1 2 蓸蔀 =3, 4葬糟-遭2 4葬 = 4× -1 2 蓸蔀× - 5 2 蓸蔀-32 4× -1 2 蓸蔀 =2援 因此,抛物线 赠=- 1 2 曾2+3曾- 5 2 的对称轴是直线 曾=3,顶点坐标是 (3, 2) 援 对于二次函数的一般形式 赠=葬曾2+遭曾+糟(葬≠0) , 我们通过变形, 可以将 其转化为 赠=葬 曾+ 遭 2葬 蓸蔀 2+4葬糟-遭2 4葬 (葬≠0) 援 由此可见, 函数 赠=葬曾2+遭曾+糟 的图象与函数 赠=葬曾2的图象的形状、 开口方向均相同, 只是位置不同, 可以 通过平移 赠=葬曾2的图象得到援 15 数学九年级上册 员援 求下列函数图象的对称轴和顶点坐标. (1)赠=2 (曾-1) (曾+2) .(2)赠=2曾 1 2 -曾蓸蔀+3援 圆援 说出下列函数的图象可由怎样的抛物线 赠=葬曾2(葬≠0) 经过怎样 例4已知函数 赠=- 1 2 曾2+4曾-3, 回答下列问题: (1)函数 赠=- 1 2 曾2+4曾-3 的图象能否由函数 赠=- 1 2 曾2的图象通过 平移得到?若能, 请说出平移的过程, 并画出示意图. (2)说出函数图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标援 解原函数可以化为 赠=- 1 2(曾-4) 2+5援 (1)函数 赠=- 1 2 曾2+4曾-3的图象可由函数赠=- 1 2 曾2的图象先向右平 移 4 个单位, 再向上平移 5 个单位得到援 示意图如图1-8援 (2)函数图象的开口方向向下, 对称轴是直线 曾=4, 顶点坐标是 (4, 5) 援 说出下列抛物线的开口方向、 顶点坐标和对称轴. (1)赠=- 5 4 曾2- 5 2 曾+ 3 4 .(2)赠=2曾2-22姨曾-3援 赠=-1 2(曾-4) 2+5赠=- 1 2(曾-4) 2 赠=- 1 2 曾2 2468-2-4韵 2 4 -2 -4 图 1-8 赠 曾 6 16 第 1 章二次函数 员援 求下列函数图象的对称轴和顶点坐标. (1)赠=-曾2-2曾+3. (2)赠=- 2 3 曾2+ 1 2 曾+ 3 4 . (3)赠=0援6曾2+0援3曾-1援 圆援 说出下列函数的图象可由怎样的抛物线 赠=葬曾2(葬屹园) , 经过怎样的 平移后得到? (1)赠=3 (曾-2) 2. (2)赠=- (曾+2) 2+6. (3)赠=-3曾2-12曾+5.(4)赠=2曾2+5姨曾-3援 的平移后得到? (1)赠=4 (曾+1) 2. (2)赠=-3 (曾-2姨) 2+1. (3)赠=-2曾2-10曾+3. (4)赠=-2曾2+23姨曾援 猿援 请写出如图所示抛物线的函数表达式援(第 3 题) 图 1-9 一座拱桥的示意图如图 1-9, 当水面宽为 12皂时, 桥洞顶部离水面 4皂援已 知桥洞的拱形是抛物线, 要求该抛物线的函数表达式, 你认为首先要做的工作 是什么?以水平方向为 曾 轴, 取以下三个不同的点为坐标原点建立直角坐标系. (1)点 粤. (2)点 月. (3)抛物线的顶点 悦援 所得的函数表达式相同吗?请试一试援哪一种取法求得的函数表达式最 简单? 粤月 12皂 4皂 悦 赠 曾韵 (0, 1) (2, 4) 17 数学九年级上册 猿援 已知二次函数 赠=曾2+遭曾+糟 的图象经过点 粤 (-1, 12) , 月 (2, -3) 援 (1)求这个二次函数的表达式. (2)求这个图象的顶点坐标和对称轴. (3)画出这个函数的图象援 源援 已知抛物线 赠=-2曾2+遭曾+糟 的顶点坐标为 (1, 2) . 求 遭, 糟 的值, 并 写出函数的表达式援 缘援 一运动员推铅球, 铅球经过的路线为如图所示的抛物线援 (1)求铅球所经过路线的函数表达式和自变量的取值范围. (2)铅球的落地点离运动员有多远 (精确到 0援01皂) ? 曾 (皂) (4, 3) 赠 (皂) (0, 1援5) 韵 (第 5 题) 探索函数y=ax2+bx+c的系数 a, b, c与图象的关系 很多数学软件都具有绘图功能, 可以方便地绘制一个动态的函数y=ax2+ bx+c的图象, 并通过改变系数a, b, c的值来探索二次函数系数a, b, c与图象的 关系. 我们以 “几何画板” 软件为例, 步骤如下: (一)绘制动态一元二次函数. 1. 用 “绘图 (G) ” 菜单中的 “定义坐标系 (D) ” 功能建立直角坐标系, 在x轴的 正半轴上取可以任意移动的三点A, B, C, 并用 “度量 (M) ” 中的 “横坐标 (x) ” 功 18 第 1 章二次函数 能分别测出A, B, C三点的横坐标xA, xB, xC(如图 1-10) ,将它们分别作为二次函数y=ax2+bx+c 的系数a, b, c. 2.在 “绘图 (G) ” 菜单中选择 “绘制新函数 ( F ) ” , 然后在弹出对话框 “新建函数” 中输入 “xA元x^2+ xB元x+xC”(图1-11) , 点击 “确定” , 屏幕上便自动 生成函数 f (x) =xA· x2+xB· x+xC, 即y=ax2+bx+c (其中y=f (x) , a=xA, b=xB, c=xC) 的图象, 如图 1-12援 (二) 探索函数y=ax2+bx+c的系数a, b, c与图象的关系. 1.系数a与抛物线开口方向及开口大小的关系. 拖动点A, 使点A在x轴上左右移动, 观察点A的横坐标xA值的变化及相应函 数 f(x) =xA· x2+xB· x+xC图象的变化, 你有什么发现?总结你发现的规律. 2.系数c与抛物线和y轴交点的位置关系. 拖动点C, 观察点C的横坐标xC值的变化及相应函数 f(x) =xA· x2+xB· x+xC 图象与y轴交点的位置变化, 你有什么发现? 3. 尝试自己提一个问题, 如系数a, b与抛物线对称轴的位置关系, b2-4ac 的符号与抛物线和x的位置关系等, 并加以研究. 图 1-10 图 1-11图 1-12 19 数学九年级上册 观察图 1-13, 图 1-14 中二次函数的图象, 回答下列问题: (1)当自变量增大时, 函数的值将怎样变化?顶点是图象的最高点 还是最低点? (2)判别这些函数有没有最大值或最小值髴, 这是由表达式中哪一个系 数决定的? (可与你的同伴交流) 1 · 3 二次函数的性质 运动员投篮后, 篮球运动的路线是一条怎样的曲线? 怎样计算 篮球达到最高点时的高度? 髴在自变量的取值范围内, 函数值满足 赠≤酝 (或 赠≥酝) , 且等号能成立, 我们就说函数有最大值 酝(或最小值 酝) 援 图 1-14 月粤 阅 悦 赠=- 1 2 曾2+2曾- 3 2 韵曾 赠 24-26 -2 -4 -6 -8 2 赠=- 4 9 曾2+ 8 3 曾-6 图 1-13 赠=2曾2+4曾-6 2 4 -4 -2 -6 -8 韵 月粤 阅 悦 曾 赠 24-2-4 赠= 3 4 曾2-3曾 20 第 1 章二次函数 一般地, 二次函数 赠=葬曾2+遭曾+糟(葬≠0) 有以下性质: 在实际应用时, 我们往往只要根据二次函数的表达式画出大致图象 (包 括确定顶点、 对称轴、 与 曾 轴的交点) , 就能得到这个二次函数的有关性质援 表 1-4 条件图象增减性最大 (小) 值 葬 >0 当 曾 ≤- 遭 2葬 时, 赠 随 曾 的增 大而减小; 当 曾 ≥- 遭 2葬 时, 赠 随曾的增 大而增大. 当曾=- 遭 2葬时, 赠达到最小值: 赠=4葬糟-遭 2 4葬 ; 无最大值援 葬<0 当 曾 臆- 遭 2葬 时, 赠 随 曾 的增 大而增大; 当 曾 ≥- 遭 2葬 时, 赠 随 曾 的增 大而减小. 当曾=- 遭 2葬时, 赠达到最大值: 赠=4葬糟-遭 2 4葬 ; 无最小值援 b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0 y x1x2x x x1=x2 x1Ox2x y x1=x2 x y x y x 例已知函数 赠=- 1 2 曾2-7曾+15 2 援 (1)求函数图象的顶点坐标、 对称轴, 以及图象与坐标轴的交点坐标, 并画出函数的大致图象. (2)自变量 曾 在什么范围内时, 赠 随 曾 的增大而增大? 何时 赠 随 曾 的增 大而减小?并求出函数的最大值或最小值援 解 (1) 疫葬=- 1 2 , 遭=-7, 糟=15 2 , 亦- 遭 2葬=-7, 4葬糟-遭2 4葬 =32援 所以函数的顶点坐标是 (-7, 32) , 对称轴是直线 曾=-7援 O O O O O yy 21 数学九年级上册 由 曾=0, 得 赠= 15 2 , 即图象与 赠 轴的交点坐 标是 0, 15 2 蓸蔀援 由 赠=0, 得- 1 2 曾2-7曾+15 2 =0, 解得 曾员=-15, 曾2=1援 所以图象与 曾 轴的交点是 (-15, 0) ,(1, 0) 援 函数 赠=- 1 2 曾2-7曾+ 15 2 的大致图象如图 1-15援 (2)由图 1-15 可知,当 曾臆-7 时, 赠 随 曾 的增大而增大;当 曾逸-7 时, 赠 随 曾 的增大而减小援 当 曾=-7 时, 函数 赠 有最大值 32援 想一想, 方程 葬曾2+b曾+c=0 (葬≠0) 与函数 y=葬曾2+b曾+c (葬≠0) 有什 么关系? 员援 已知二次函数 赠=-2曾2+4曾+6援 (1)求函数图象的顶点坐标、 对称轴和与坐标轴交点的坐标, 并画 出函数的大致图象. (2)自变量 曾 在什么范围内时, 赠 随 曾 的增大而增大? 何时 赠 随 曾 的 增大而减小? 并求函数的最大值或最小值援 员援 已知函数 赠=曾2-3曾-4援 (1)求函数图象的顶点坐标、 对称轴和与坐标轴交点的坐标, 并画 出函数的大致图象. (2)记当 曾1=1援5, 曾2=-2姨, 曾3=2姨时对应的函数值分别为 赠1, 赠2, 赠3, 试比较 赠1, 赠2, 赠3的大小援 圆援 求下列函数的最大值 (或最小值) 和对应的自变量的值. (1)赠=2曾2-8曾+1.(2)赠=-3曾2-5曾+1援 (-7, 32) (-15, 0) (1, 0) 韵 曾=-7 10 -10 20 30 图 1-15 曾 赠 510-5-10-15-20 0, 15 2 蓸蔀 22 第 1 章二次函数 在日常生活和生产实际中, 二次函数的性质有着许多应用援 圆援 求下列函数的最大值 (或最小值) 和对应的自变量的值. (1)赠=曾2-4曾+5.(2)赠=- 3 2 曾2- 1 4 曾+2援 猿援 已知 (-1, 赠1) ,(-2, 赠2) ,(-4, 赠3) 是抛物线 赠=-2曾2-8曾+皂 上的 点, 则 () (粤)赠1<赠2<赠3援(月)赠3<赠2<赠1援 (悦)赠2>赠1>赠3援(阅)赠2>赠3>赠1援 源援 求下列二次函数的图象与 曾 轴交点的坐标. (1)赠= 2 3 曾2-6曾.(2)赠=-2曾2-3曾+2援 缘援 根据下列条件, 分别求二次函数的表达式. (1)已知图象的顶点坐标为 (-1, -8) , 且过点 (0, -6) . (2)已知图象经过点 (3, 0) ,(2, -3) , 并以直线 曾=0 为对称轴援 远援 篮球运动员投篮后, 球运动的路线为 抛物线的一部分 (如图) , 抛物线的对 称轴为直线 曾=2援5援 求: (1)球运动路线的函数表达式和自变 量的取值范围. (2)球在运动中离地面的最大高度援 2援25皂 4皂 3援05皂 (第 6 题) 赠 曾 韵 用长为 8 米的铝合金制成如图窗框,问窗框的宽和高各多 少米时, 窗户的透光面积最大?最大面积是多少? 1 · 4 二次函数的应用 23 数学九年级上册 例1图 1-16 中窗户边框的上部分是由 4 个全等扇形组成的半圆, 下 部分是矩形 (图 1-17) . 如果制作一个窗户边框的材料的总长度为 6皂, 那 么如何设计这个窗户边框的尺寸, 使透光面积最大 (结果精确到 0援01皂) ? 解如图 1-17, 设半圆的半径为 曾(皂) , 窗框矩形部分的另一边长 为赠 (皂) , 根据题意, 有 5曾+仔曾+2曾+2赠=6, 即 赠=3- 1 2(仔+7) 曾援 疫赠>0, 亦3- 1 2(仔+7) 曾>0, 解得 0<曾< 6 仔+7 援 亦杂= 仔 2 曾2+2曾赠 = 仔 2 曾2+2曾 3- 1 2(仔+7) 曾 蓘蓡 = -π 2 -7蓸蔀曾2+6曾 0<曾< 6 仔+7 蓸蔀援 疫葬= -π 2 -7蓸蔀<0, 遭=6, 糟=0, 又 疫曾=- 遭 2葬= 6 仔+14 , 且 6 仔+14 在 0<曾< 6 仔+7 的范围内, 亦当 曾= 6 仔+14 ≈0援35 时, 杂最大值= 4葬糟-遭2 4葬 ≈1援05援 此时, 赠≈1援23援 答:当窗户半圆的半径约为 0援35皂,窗框矩形部分的另一边长约为 1援23皂 时, 窗户的透光面积最大, 最大值约为 1援05皂2援 图 1-17 单位: 皂 赠 图 1-16 24 第 1 章二次函数 -2曾12-1 1 1援5 -1 -2 (第 2 题) 3 3援4韵 赠 2 员援 求下列二次函数的最大值或最小值: (1)赠=曾2-4曾+7.(2)赠=-5曾2+8曾-1援 圆援 已知二次函数的图象 (0臆曾臆3援4) 如图援 关于该函数在所给自变量的取值范围 内, 下列说法正确的是 () (粤)有最大值 2, 无最小值援 (月)有最大值 2, 有最小值 1援5援 (悦)有最大值 2, 有最小值-2援 (阅)有最大值 1援5, 有最小值-2援 猿援 把一根长 1皂 的铅丝折成一个矩形, 并使矩形的面积最大, 应怎样 折? 最大面积是多少? 源援 如图, 隧道横截面的下部是矩形, 上部是半圆, 周长为 16皂援 求截面积 杂 (皂2) 关于底部宽 曾 (皂) 的函数表达式援 当底部宽为多少时, 隧道的截面 积最大 (结果精确到 0援01皂) ? 缘援 有一张边长为 10糟皂 的正三角形纸板,若要从 中剪一个面积最大的矩形纸板,应怎样剪? 最 大面积为多少? (第 4 题) 曾 员援 请解答本节节前语中的问题援 圆援 已知直角三角形的两直角边的和为 2, 求斜边长可能达到的最小值, 以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长援 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值, 首先应当求出函数表 达式和自变量的取值范围, 然后通过配方变形, 或利用公式求它的最大值或 最小值援 值得注意的是, 由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须 在自变量的取值范围内援 25 数学九年级上册 例2如图 1-18,月船位于粤船正东 26噪皂处援现在粤,月两船同时出 发,粤船以 12噪皂/澡的速度朝正北方向行驶,月船以 5噪皂/澡的速度朝正西方 向行驶援何时两船相距最近? 最近距离是多少? 分析设经过贼(澡) 后,粤,月两船分别到达粤忆,月忆处 (图 1-18) , 则两船 之间的距离为 粤忆月忆=粤月忆2+粤粤忆2姨 =(26-5贼) 2+ (12贼) 姨 2 =169贼2-260贼+676姨援 由此, 本题可化归为求 169贼2-260贼+676 的最小值援 解设经过贼(澡) 后,粤,月两船分别到达粤忆,月忆处, 则 粤忆月忆=粤月忆2+粤粤忆2姨= (26-5贼) 2+ (12贼)2 姨=169贼2-260贼+676姨 = (13贼-10) 2+576 姨(贼>0)援 当 13贼-10=0, 即贼=10 13时, (13贼-10) 2+576 有最小值 576, 所以当贼=10 13 澡时,粤忆月忆=576姨=24 (噪皂)援 答: 经过10 13 澡, 两船之间的距离最近, 最近距离为 24噪皂援 例3某超市销售一种饮料, 每瓶进价为9元援 经市场调查表明, 当售 价在10元到14元之间 (含10元,14元) 浮动时, 每瓶售价每增加0.5元, 日均销售量减少40瓶; 当售价为每瓶12元时, 日均销售量为400瓶. 问销 售价格定为每瓶多少元时, 所得日均毛利润 (每瓶毛利润=每瓶售价-每 瓶进价) 最大?最大日均毛利润为多少元? 分析如果我们能够建立起日均毛利润与销售价之间的函数关系, 那 么就可以根据函数的性质来确定何时日均毛利润达到最大, 这个最大值是 图 1-18 粤 粤忆 月忆月 北 下面我们再看几个运用有关二次函数知识解决实际问题的例子. 26 第 1 章二次函数 多少.如果设这种饮料的售价为每瓶曾元, 日均毛利润为y元, 根据题意就 有日均销售量为 400-40 [ (曾-12) ÷0.5] =1360-80曾, 亦y=(曾-9) (1360-80曾) . 这样问题就化归为求一个二次函数何时达到最大值, 最大值是多少的 问题. 解设售价为每瓶曾元时, 日均毛利润为赠元.由题意, 得 赠= (曾-9)(1360-80曾) =-80曾2+2 080曾-12240(10≤曾≤14)援 - b 2a =- 2 080 2× (-80) =13, 在 10≤曾≤14的范围内援 当曾=13 时, 赠最大值=-80×132+2 080×13-12 240=1 280 (元). 答: 售价定为每瓶13 元时, 所得日均毛利润最大,最大日均毛利润为 1280元援 某大棚内种植西红柿, 经过试验, 其单位面积的产量与这个单位 面积种植的株数构成一种函数关系援 每平方米种植 4 株时, 平均单 株产量为 2噪早; 以同样的栽培条件, 每平方米种植的株数每增加 1 株, 单株产量减少 1 4 噪早援 问每平方米种植多少株时, 能获得最大的产量? 最大产量为多少? 员援 一个斜抛物体的水平运动距离记为 曾 (皂) , 对应的高度记为 澡 (皂) , 澡 是关于 曾 的二次函数援 已知当 曾=0 时, 澡=2; 当 曾=30 时, 澡=0; 当 曾=10 时, 澡=22援 (1)求 澡 关于 曾 的函数表达式和自变量的取值范围. (2)求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离 (精确 到 1皂) 援 27 数学九年级上册 圆援 汽车刹车后, 还会继续向前滑行一段距离, 这段距离称为 “刹车距 离” 援 刹车距离 赠 (m) 与刹车时的车速曾 (噪皂/澡) 有以下关系式: 赠=葬曾2+遭曾(葬, 遭 为常数, 且 葬≠0) 援对某辆车测试结果如下: 当车速 为 100 噪皂/澡 时, 刹车距离 赠 为 21皂; 当车速为 150 噪皂/澡 时, 刹车 距离 赠 为 46援5皂援 该车在限速 120噪皂/澡 的高速公路上行驶时出了 事故, 事后测得它的刹车距离为 40援6皂援问该车是否超速行驶? 猿援 已知 曾=2t-5, y=10-t, S=xy援 求 S 的最大值或最小值, 以及相应 t 的值. 源援 上午 8: 00, 某台风中心在 粤 城正南方向的 200噪皂 处, 以 25噪皂/澡的 速度向 粤 城移动.此时有一辆卡车从 粤 城以 100噪皂/澡 的速度向正 西方向行驶.问何时这辆卡车与台风中心的距离最近?当距离最近 时台风中心与这辆卡车分别位于何处? 缘
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