1、4.3.2等比数列的前n项和公式 (1) 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习等比数列的前n项和公式数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。课程目标学科素养A.掌握等比数列的前n项和公式及其应用
2、B会用错位相减法求数列的和C能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.数学抽象：等比数列的前n项和公式2.逻辑推理：等比数列的前n项和公式的推导3.数学运算：等比数列的前n项和公式的运用4.数学建模：等比数列的前n项和公式重点：等比数列的前n项的运用难点：等比数列的前n项和公式的推导多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 新知探究 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子
3、.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016-2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式.是等比数列,首项是1，公比是2，共64项. 通项公式为an=2n-1问题2：请将发明者的要求表述成数学问题.求这个等比数列的前64项的和，即：1+2+22+23+263=？ 问题3：如何求解该问题.回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程.等差数列 a1,a2, a3, an的前 n项
4、和是Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an根据等差数列的定义an+1-an= dSn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 + 得，2Sn=n(a1+an).所以Sn=n(a1+an).2问题4：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？在等比数列中a1+ana2+an-1a3+an-2，所以2Snn(a1+an). 对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.问题5：求和的根本目的是什么？思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.Sn=a1+a1q+a2q2+
5、a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 问题6：观察 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？an=an-1q(n2,q0)问题7：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？Sn=a1+a1q+a2q2+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a2q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn 设等比数列 an 的首项为a1 ，公比为q ，则an 的前n项和是SnSn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an根据等比数列的通项公式，Sn=a1+a1q+a2q2+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a2q3+a1qn-
6、2+a1qn-1+a1qn - 得, Sn -qSn=a1 -a1qn即Sn(1 -q)=a1( 1-qn)问题8：要求出Sn，是否可以把上式两边同时除以(1 -q) ？Sn(1 -q)=a1( 1-qn)当1 -q=0 时，即 q=1 时，Sn=na1当1 -q0 时，即 q1 时， Sn=a1(1-qn)1-q等比数列的前n项和公式已知量首项a1、公比q(q1)与项数n首项a1、末项an与公比q(q1)首项a1、公比q1求和公式Sn Sn Sn ; na1 问题3的解决： “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数
7、都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”1+2+22+23+263a1=1,q=2，n=64S64=1(1-264)1-2 =264 -11.841019一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.不能实现！二、典例解析例1.已知数列是等比数列.（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求.解：（1）因为，所以.（2）由，可得，即.又由，得 .所以 .（3）把，代入，得，整理，得 ，解得.例2 已知等比数列的首项为，前项和为，若，求公比.解：若，则，所以.当时,由得，.整理，得 ，即 .所以 .在等比数列an的五
8、个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用跟踪训练1. 已知等比数列an满足a312，a8，记其前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)若Sn93，求n.解：(1)设等比数列an的公比为q，则解得所以ana1qn148n1.(2)Sn96.由Sn93，得9693，解得n5.例3 已知等比数列的公比，前项和为.证明，成等比数列，并求这个数列的公比.证明:(方法一)当时，所以，成等比数列，公比为1.当时，所以 .
9、因为为常数,所以，成等比数列，公比为.(方法二) ， ， .所以 .因为为常数，所以，成等比数列，公比为.结论：等比数列的公比，前项和为，则，成等比数列，公比为.注：当时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立.以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生探究欲望。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。增强应用意识。通过典型例题，加深对等比数列求和公式的理解和运用，体会等差与等比数列的内在联系。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。通过典型例题，加深学生对
10、等比数列求和公式的综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素三、达标检测1等比数列an中，a11，公比q2，当Sn127时，n()A8 B7C6 D5B解析：由Sn，a11，q2.当Sn127时，则127，解得n7.故选B.2等比数列an的前n项和为Sn，若a2S30，则公比q()A1 B1C2 D2 A解析：a2S3a2(a1a2a3)0，a12a2a3a1(12qq2)a1(1q)20.又a10，q1.故选A3已知等比数列an的公比为2，且Sn为其前n项和，则()A5 B3C5 D3C解析：由题意可得：1(2)25，故选C4已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1
11、3，S39，则S4()A12 B15C12或15 D12或15C解析：因为a13，S39，当q1时，满足题意；故可得S44a112；当q1时，S39，解得q2，故S415.综上所述S412或15.故选C5等比数列an中，公比为q，前n项和为Sn.(1)若a18，a32，求S4；(2)若S6315，q2，求a1.解：(1)由题意可得q2，所以q或q.当q时，S45；当q时，S415.综上所述，S415或S45.(2)S6315，解得a15.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结（1）等比数列前项和公式，对于公比未知的等比数
12、列，应用等比数列的前项和公式时，需讨论公比是否为1；（2）等比数列前项和公式的推导：错位相减法；（3）数学思想方法的应用:方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；分类讨论思想：由等比数列前项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景-建立模型-求解-解释-应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
