1、第三章 阶段复习课 【答案速填】f(a)f(b)0 x轴 有零点 实数x二分法 x轴交点 越来越慢 爆炸式类型 一 函数的零点与方程的根1.函数零点、方程的根、函数图象与x轴的交点之间的关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点y=f(x)有零点.2.确定函数零点个数的方法(1)解方程f(x)=0得几个解即函数有几个零点.(2)利用图象找y=f(x)的图象与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数.(3)利用f(a)f(b)与0的关系进行判断.【典例1】定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)=2012x+log2012x，则函数f(x)的零点的个数为( )A
2、.1 B.2 C.3 D.2006【解析】选C.因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0,因为所以所以，当x0时，f(x)=2 012x+log2 012x,函数在区间(0, )内存在零点，又f(x)在(0，+)上为增函数，因此在(0,+)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-,0)内有且仅有一个零点，从而函数在R上零点的个数为3，故选C.12 0122 0121log1,2 0121,2 01212 0122 01211f() 2 012log0,2 0122 01212 012 二分法求方程的近似解(或函数的零点)的方法 1.二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，转化为求
3、函数的零点.(2)明确精确度和函数的零点所在区间(最好区间左、右端点相差1).(3)利用二分法求函数的零点.(4)归纳结论.2.使用二分法的注意事项(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小.(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.(3)二分法在具体使用时有一定的局限性.首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得.【典例】设函数f(x)=x3+3x-5，其图象在(-,+)上是连续不断的.先求值：f(0)_，f(1)_，f
4、(2)_，f(3)_.所以f(x)在区间_内存在一个零点x0，填下表，结论：x0等于多少.(精确度0.1)区间区间 中点中点m m f(m)f(m)符号符号 区间长度区间长度【解析】f(0)5，f(1)1，f(2)9，f(3)31,初始区间为(1，2).|1.187 5-1.125|=0.062 50.1,x0=1.125(不唯一).区间区间中点中点m mf(m)f(m)符号符号 区间长度区间长度(1,2)(1,2)1.51.5+ +1 1(1,1.5)(1,1.5)1.251.25+ +0.50.5(1,1.25)(1,1.25)1.1251.125- -0.250.25(1.125,1.2
5、5)(1.125,1.25)1.187 51.187 5+ +0.1250.125(1.125,1.187 5)(1.125,1.187 5) 1.156 251.156 25+ +0.062 50.062 5类型 二 函数模型的建立建立函数模型要遵循的原则(1)简化原则.建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则.建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则.建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象
6、中去解决问题.【典例2】某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好，为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：y=ax+b,y=ax2+bx+c，y=a +b,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？x【解析】由题知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).设模拟函数为y=ax+b,将B，C两点的坐标代入函数式，有 解得所以得y=0.1x+
7、1.此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000件，这是不可能的.3a b 1.3,2a b 1.2, a 0.1,b 1.设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有 解得所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.由此法计算第4个月份产量为1.3万件，比实际产量少700件，而且，由二次函数性质可知，产量自第4个月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴x=3.5)，不符合实际.a b c 1,4a 2b c 1.2,9a 3b c 1.3, a0.05,b 0.35,c 0.7.设y=a +b，将A，B两点的坐标代入，有 解得所以y=0.48 +0.52.把x=3和
8、4代入，分别得到y1.35和1.48，与实际产量差距较大.xa b 1,2a b 1.2, a 0.48,b 0.52,x设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得 解得所以y=-0.80.5x+1.4,把x=4代入得y=-0.80.54+1.4=1.35.23ab c 1,abc 1.2,abc 1.3, a0.8,b 0.5,c 1.4.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳.一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量
9、必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这样的趋势.因此，选用y=-0.80.5x+1.4模拟比较接近客观实际.类型 三 函数与方程思想1.函数思想的实质：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想.2.应用函数思想解题的两个步骤(1)由题目意思建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题.(2)根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题.3.方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程(或方程组)，通过解方程(或方程组)求出它们，这就是方程思想.【典例3】若函数f(x
10、)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x- )12【解析】选A.由f(x)=4x-1=0得,函数的零点为 由g(x)=4x+2x-2得,g(0)=-1,g(1)=4，所以其零点在区间(0,1)内.又g( )=1，故零点在区间(0, )内，继续求得所以g(x)=4x+2x-2的零点在区间( )内，所以函数f(x)=4x-1的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25.同理可得函数f(x)=(x-1)2,f(x)=ex-1,f(x)=
11、ln(x- )的零点分别为:1,0, 通过验证，这三个函数的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值都超过0.25，故选项B，C，D错误.14，1212411g( )42 042 ，1 1,4 2123,2类型 四 分类讨论思想1.需分类讨论的情形:(1)涉及的数学概念是分类定义的.(2)运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的.(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能的.(4)数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果.(5)较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略.2.分类讨论的步骤：(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全体.(2)合理分
12、类，统一标准，不重不漏.(3)逐段逐类讨论，分级进行.(4)归纳总结，得出整个题目的结论.【典例4】试讨论函数f(x)=x2-2|x|-1-a(aR)的零点个数.【解析】令f(x)=0,即x2-2|x|-1=a,令g(x)=x2-2|x|-1,h(x)=a,则问题转化为求函数g(x)与h(x)交点的个数.如图:当a-1时，g(x)的图象与直线h(x)=a有两个交点，方程x2-2|x|-1=a有两个实根，故函数f(x)有两个零点.当-2a-1时，g(x)的图象与直线h(x)=a有四个交点，方程x2-2|x|-1=a有四个实根，故函数f(x)有四个零点.当a=-1时，g(x)的图象与直线h(x)=
13、a有三个交点，方程x2-2|x|-1=a有三个实根，故函数f(x)有三个零点.综上所述，当a-1时，有2个零点；当-2a0,m1)有两个不同实数根，则m的取值范围是( )A.m1 B.0m0 D.m2【解析】选A.方程mx-x-m=0有两个不同实数根，等价于函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的交点显然当m1时，如图(1)有两个不同交点.当0m0，f(0.2)=0.2-1-lg0.2=0.2-lg20.f(0.3)=0.3-1-lg0.3=0.3-lg30.f(0.4)=0.4-1-lg0.4=0.4-lg40.f(0.5)=0.5-1-lg0.5=0.5-lg50.故必有一个根的区间是(
14、0.1,0.2).5.函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1的一个零点是0，则m的值为_.【解析】由f(0)=2m-1=0得m=答案：1.2126.函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为_.【解析】当a0时，y=3x+1的图象与x轴只有一个交点；当a0时，由=(3-a)2-4a=0,得a=1或9.答案：0,1,97.某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低多少元？【解析】设每件降价0.1x元，则每件获利4-0.1x元，每天卖出商品件数为(1 000+100 x).经济效益：y=(4-0.1x)(1 000+100 x)=-10 x2+300 x+4 000=-10(x-15)2+6 250.x=15时，y=6 250.即单价降低1.5元，可获得最好的经济效益.
