1、3.4函数的应用(一)1.1.一次函数模型一次函数模型形如形如y=kx+by=kx+b的函数为一次函数模型的函数为一次函数模型, ,其中其中k0.k0.2.2.二次函数模型二次函数模型(1)(1)一般式一般式:y=ax:y=ax2 2+bx+c(a0).+bx+c(a0).(2)(2)顶点式顶点式:y= (a0).:y= (a0).(3)(3)两点式两点式:y=a(x-x:y=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0).)(a0).22b4ac ba(x)2a4a3.3.幂函数型模型幂函数型模型(1)(1)解析式解析式:y=ax:y=ax+b(a,b,+b(a,b,为常数为常数,a0
2、,1).,a0,1).(2)(2)单调性单调性: :其增长情况由其增长情况由x x中的中的 的取值而定的取值而定. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)在选择实际问题的函数模型时在选择实际问题的函数模型时, ,必须使所有采集的必须使所有采集的数据都适合函数模型的解析式数据都适合函数模型的解析式. .( () )(2)(2)实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解析式唯一确定析式唯一确定. .( () )(3)(3)利用函数模型得到数据后利用函数模型得到数据后, ,要用该数
3、据解释需要解要用该数据解释需要解决的实际问题决的实际问题. .( () )提示提示: :(1)(1). .只要大部分数据适合就可以只要大部分数据适合就可以. .(2)(2). .由解析式、自变量的实际意义共同确定由解析式、自变量的实际意义共同确定. .(3).(3).建立数学模型是为解决实际问题服务的建立数学模型是为解决实际问题服务的, ,得出的得出的数据要能解释实际问题数据要能解释实际问题. .2.2.某商品进货价格为某商品进货价格为3030元元, ,按按4040元一个销售元一个销售, ,能卖能卖4040个个; ;若销售价格每涨若销售价格每涨1 1元元, ,销量减少销量减少1 1个个, ,要
4、获得最大利润要获得最大利润, ,此此商品的售价应是商品的售价应是 ( () )A.55A.55B.50B.50C.56C.56D.48D.48【解析解析】选选A.A.设售价为设售价为x x元元, ,总利润为总利润为W W元元, ,则则W=(x-W=(x-30)40-130)40-1(x-40)=-x(x-40)=-x2 2+110 x-2400=-(x-55)+110 x-2400=-(x-55)2 2+625,+625,所以所以x=55x=55时时, ,获得最大利润为获得最大利润为625625元元. .3.3.甲同学家到乙同学家的途中有一公园甲同学家到乙同学家的途中有一公园, ,甲同学家到公
5、甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.2 km.如图表示如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)y(km)与时间与时间x(min)x(min)的关系的关系, ,其中甲在公园休息的时间是其中甲在公园休息的时间是10 min,10 min,那么那么y=f(x)y=f(x)的解析式为的解析式为_._. 解析解析】由题图知所求函数是一个分段函数由题图知所求函数是一个分段函数, ,且各段均是且各段均是直线直线, ,可用待定系数法求得可用待定系数法求得y=f(x)= y=f(x)= 1x(0 x 30),152 30
6、 x 40 ,1 x 2(40 x 60).10 答案答案: :y=f(x)= y=f(x)= 1x(0 x 30),152 30 x 40 ,1x 2(40 x 60)10 类型一一次函数模型类型一一次函数模型【典例典例】李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择户选择: :方案一方案一: :每户每月收管理费每户每月收管理费2 2元元, ,月用电不超过月用电不超过3030度度, ,每每度度0.40.4元元, ,超过超过3030度时度时, ,超过部分按每度超过部分按每度0.50.5元元. .方案二方案二: :不收管理费不收管理费, ,每度每度0.480.
7、48元元. .(1)(1)求方案一收费求方案一收费L(x)L(x)元与用电量元与用电量x(x(度度) )间的函数关系间的函数关系. .(2)(2)小李家九月份按方案一交费小李家九月份按方案一交费3434元元, ,问小李家该月用问小李家该月用电多少度电多少度? ?(3)(3)小李家月用电量在什么范围时小李家月用电量在什么范围时, ,选择方案一比选择选择方案一比选择方案二更好方案二更好? ?世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】利用两个方案的解析式解决相应的问题利用两个方案的解析式解决相应的问题. .【解析解析】(1)(1)当当0 x300 x30时时,L(x)=2+0.4x;,L(x)=2
8、+0.4x;当当x30 x30时时,L(x)=2+30,L(x)=2+300.4+(x-30)0.4+(x-30)0.50.5=0.5x-1,=0.5x-1,所以所以L(x)= L(x)= (2)(2)当当0 x300 x30时时,L(x)L(30)=14,L(x)L(30)=14,故小李家九月份用电超过故小李家九月份用电超过3030度度, ,由由0.5x-1=340.5x-1=34得得x=70,x=70,故小李家该月用电故小李家该月用电7070度度. .2 0.4x 0 x 30,0.5x 1 x 30. ，(3)(3)方案二收费方案二收费E(x)=0.48x,x0,E(x)=0.48x,x
9、0,令令L(x)E(x),L(x)E(x),当当0 x300 x30时时,2+0.4x0.48x,2+0.4x0.48x,解得解得25x30,2530 x30时时,0.5x-10.48x,0.5x-10.48x,解得解得30 x50,30 x0a0时为增函数时为增函数, ,当当a0a0时为时为减函数减函数, ,另外另外, ,要结合题目理解要结合题目理解(0,b)(0,b)和和 这些特殊这些特殊点的实际意义点的实际意义. .b(,0)a【习练习练破破】已知已知A,BA,B两地相距两地相距150150千米千米, ,某人开汽车以某人开汽车以6060千米千米/ /小小时的速度从时的速度从A A地到达地
10、到达B B地地, ,在在B B地停留地停留1 1小时后再以小时后再以5050千米千米/ /小时的速度返回小时的速度返回A A地地, ,把汽车离开把汽车离开A A地的距离地的距离x x表示为时表示为时间间t t的函数的函数, ,表达式为表达式为_._.【解析解析】由题意得由题意得A,BA,B两地相距两地相距150150千米千米, ,某人开汽车以某人开汽车以6060千米千米/ /时的速度从时的速度从A A地到达地到达B B地地, ,需要需要2.52.5小时小时, ,以以5050千千米米/ /时的速度返回时的速度返回A A地地, ,需要需要3 3小时小时; ;所以当所以当0t2.50t2.5时时,x
11、=60 t,x=60 t,当当2.5t3.52.5t3.5时时,x=150,x=150,当当3.5t6.53.5t6.5时时,x=150-50(t-3.5),x=150-50(t-3.5),所以所以x= x= 答案答案: :x= x= 60t 0 t2.51502.5 t3.5150 50 t 3.53.5 t6.5. ，（），60t 0 t2.51502.5 t3.5150 50 t 3.53.5 t6.5. ，（），【加练加练固固】 为响应绿色出行号召为响应绿色出行号召, ,越来越多市民选择租用共越来越多市民选择租用共享单车出行享单车出行. .已知某共享单车公司为市民提供了手机支已知某共享
12、单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式付和会员卡支付两种支付方式, ,如图描述了两种方式应如图描述了两种方式应支付金额支付金额y(y(元元) )与骑行时间与骑行时间x(x(时时) )之间的函数关系之间的函数关系, ,根据根据图象回答下列问题图象回答下列问题: :(1)(1)求手机支付金额求手机支付金额y y1 1( (元元) )与骑行时间与骑行时间x(x(时时) )的函数关的函数关系式系式. .(2)(2)李老师经常骑行共享单车李老师经常骑行共享单车, ,请根据不同的骑行时间请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算帮他确定选择哪种支付方式比较合算. .【解析解析】(1
13、)(1)设手机支付金额设手机支付金额y y1 1( (元元) )与骑行时间与骑行时间x(x(时时) )的函数关系式为的函数关系式为y y1 1=kx+b,=kx+b,把把(0.5,0),(1,0.5)(0.5,0),(1,0.5)代入关系式得代入关系式得 解得解得 所以所以y y1 1=x-0.5.=x-0.5.0 0.5k b,0.5 k b, k 1,b0.5,(2)(2)会员卡支付金额会员卡支付金额y y2 2( (元元) )与骑行时间与骑行时间x(x(时时) )的函数关的函数关系式系式y y2 2=0.75x,=0.75x,两关系式联立组成方程组两关系式联立组成方程组 解得解得 分类讨
14、论分类讨论: :x2x2x2时时, ,选择会员卡支付比较合算选择会员卡支付比较合算. .y x 0.5,y 0.75x, x2,y 1.5,类型二二次函数模型类型二二次函数模型【典例典例】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力国际市场上颇具竞争力, ,其中香菇远销日本和韩国等地其中香菇远销日本和韩国等地. .上市时上市时, ,外商李经理按市场价格外商李经理按市场价格1010元元/ /千克在本市收购千克在本市收购了了2 0002 000千克香菇存放入冷库中千克香菇存放入冷库中. .据预测据预测, ,香菇的市场价香菇的市场价格每天每千克将上
15、涨格每天每千克将上涨0.50.5元元, ,但冷库存放这批香菇时但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计每天需要支出各种费用合计340340元元, ,而且香菇在冷库中而且香菇在冷库中最多保存最多保存110110天天, ,同时同时, ,平均每天有平均每天有6 6千克的香菇损坏不千克的香菇损坏不能出售能出售. .(1)(1)若存放若存放x x天后天后, ,将这批香菇一次性出售将这批香菇一次性出售, ,设这批香菇设这批香菇的销售总金额为的销售总金额为y y元元, ,试写出试写出y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式. .(2)(2)李经理如果想获得利润李经理如果想获得利润22 50022
16、 500元元, ,需将这批香菇存需将这批香菇存放多少天后出售放多少天后出售? ?(3)(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润润? ?最大利润是多少最大利润是多少? ?世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】(1)(1)销售金额销售金额= =售价售价销售量销售量. .(2)(2)表示出利润表示出利润= =销售总金额销售总金额- -收购成本收购成本- -各种费用各种费用, ,再求再求存放时间存放时间. .(3)(3)对利润的表达式配方求最值对利润的表达式配方求最值. .【解析解析】(1)(1)由题意由题意y y与与x x之间的函数关系式
17、为之间的函数关系式为y=(10+0.5x)(2 000-6x)y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x=-3x2 2+940 x+20 000(1x110,+940 x+20 000(1x110,且且x x为整数为整数).).(2)(2)由题意由题意, ,令令-3x-3x2 2+940 x+20 000-10+940 x+20 000-102 000-340 x=2 000-340 x=22 500,22 500,解方程得解方程得:x:x1 1=50,x=50,x2 2=150(=150(不合题意不合题意, ,舍去舍去),),故需将这批香菇存放故需将这批香菇存放5050天后出售天后出
18、售. .(3)(3)设利润为设利润为w,w,由题意得由题意得w=-3xw=-3x2 2+940 x+20 000-10+940 x+20 000-102 000-340 x2 000-340 x=-3(x-100)=-3(x-100)2 2+30 000,+30 000,因为因为a=-30,a=-30,xNx(x0,xN* *) )之间的函数关系式之间的函数关系式. .(2)(2)当公司参加培训的员工为多少人时当公司参加培训的员工为多少人时, ,培训机构可获培训机构可获得最大利润得最大利润? ?并求最大利润并求最大利润. . 世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】(1)(1)以以3030
19、为分界分段列函数关系式为分界分段列函数关系式. .(2)(2)分段求最大值分段求最大值, ,取其中最大的即为最大利润取其中最大的即为最大利润. .【解析解析】(1)(1)参加培训的员工人数为参加培训的员工人数为x x人人, ,每位员工的培每位员工的培训费为训费为y y元元, ,培训机构的利润为培训机构的利润为Q Q元元, ,当当1x301x30且且xNxN时时,y=850,y=850,当当30 x6030 x60且且xNxN时时,y=850-10(x-30),y=850-10(x-30)=1 150-10 x,=1 150-10 x,所以所以y= y= 8501 x 30 x N1150 10
20、 x 30 x 60 x N. ，且，且(2)(2)当当1x301x30且且xNxN时时,Q=850 x-12 000,Q,Q=850 x-12 000,Qmaxmax= 850 = 850 30-12 000=13 500(30-12 000=13 500(元元),),当当30 x6030 x60且且xNxN时时,Q=-10 x,Q=-10 x2 2+1 150 x-12 000,+1 150 x-12 000,其对称其对称轴为轴为x= =57.5,x= =57.5,故当故当x=57x=57或或5858时时,Q,Qmaxmax=21 060=21 060元元, ,1152所以当公司参加培训的
21、员工为所以当公司参加培训的员工为5757人或人或5858人时人时, ,培训机构培训机构可获得最大利润可获得最大利润, ,最大利润为最大利润为21 06021 060元元. .【素养素养探探】在解决实际问题时在解决实际问题时, ,常常用到核心素养中的数学建模常常用到核心素养中的数学建模, ,根据题意建立恰当的数学模型根据题意建立恰当的数学模型, ,再对数学模型进行处理再对数学模型进行处理, ,从而解决实际问题从而解决实际问题. .本例中本例中, ,若公司有临时紧急事务若公司有临时紧急事务, ,最最多只能安排多只能安排4040人参加培训人参加培训, ,则培训机构可获得的最大利则培训机构可获得的最大
22、利润是多少润是多少? ?【解析解析】当当1x301x30且且xNxN时时,Q=850 x-12 000,Q=850 x-12 000,Q Qmaxmax=850=85030-12 000=13 500(30-12 000=13 500(元元),),当当30 x40,30 x40,且且xNxN时时,Q=-10 x,Q=-10 x2 2+1 150 x-12 000,+1 150 x-12 000,其对其对称轴为称轴为x= =57.5,x= =57.5,所以所以Q(x)Q(x)在区间（在区间（3030，4040上是增函数上是增函数, ,1152所以当所以当x=40 x=40时时, ,取得最大值取得
23、最大值Q Qmaxmax=18 000=18 000元元; ;所以当公司参加培训的员工为所以当公司参加培训的员工为4040人时人时, ,培训机构可获得培训机构可获得最大利润最大利润, ,最大利润为最大利润为18 00018 000元元. .角度角度2 2最小值问题最小值问题【典例典例】经市场调查经市场调查, ,某商品在过去的某商品在过去的2020天内的价格天内的价格f(t)(f(t)(单位单位: :元元) )与销售量与销售量g(t)(g(t)(单位单位: :件件) )均为时间均为时间t(t(单单位位: :天天) )的函数的函数, ,且价格满足且价格满足f(t)=20- |t-10|,f(t)=
24、20- |t-10|,销售量销售量满足满足g(t)=80-2t,g(t)=80-2t,其中其中0t20,tN.0t20,tN.12(1)(1)请写出该商品的日销售额请写出该商品的日销售额y(y(单位单位: :元元) )与时间与时间t(t(单位单位: :天天) )的函数解析式的函数解析式. .(2)(2)求该商品的日销售额的最小值求该商品的日销售额的最小值. .【思维思维引引】(1)(1)去绝对值符号去绝对值符号, ,分段求解析式分段求解析式. .(2)(2)分段求最小值分段求最小值, ,取其中最小值取其中最小值, ,即为商品日销售额的即为商品日销售额的最小值最小值. .【解析解析】(1)y=f
25、(t)g(t)= (1)y=f(t)g(t)= (80-2t)(80-2t)= = (2)(2)当当0t10,tN0t10,tN时时, ,其对称轴其对称轴t=50,10),t=50,10),当当t=0t=0时时,y,y取最小值且取最小值且y yminmin=1 200;=1 200;当当10t20,tN10t20,tN时时, ,其对称轴其对称轴t=45,t=45,1(20t 10)222t10t 12000 t 10t90t 200010 t20. ，所以当所以当t=20t=20时时,y,y取最小值且取最小值且y yminmin=600,=600,综上所述综上所述, ,在第在第2020天天,
26、,日销售额日销售额y y取最小值取最小值600600元元. .【类题【类题通】通】应用分段函数时的三个注意点应用分段函数时的三个注意点(1)(1)分段函数的分段函数的“段段”一定要分得合理一定要分得合理, ,不重不漏不重不漏. .(2)(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集并集. .(3)(3)分段函数的值域求法分段函数的值域求法: :逐段求函数值的范围逐段求函数值的范围, ,最后求最后求函数值范围的并集函数值范围的并集. .【习练【习练破】破】乔经理到老陈的果园里一次性采购一乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果种水果, ,他俩商定
27、他俩商定: :乔经理的采购价乔经理的采购价y (y (元元/ /吨吨) )与采购量与采购量x (x (吨吨) )之间函数关系的图象如图中的折线段之间函数关系的图象如图中的折线段ABCABC所示所示( (不包含端点不包含端点A,A,但包含端点但包含端点C).C).已知老陈种植水果的成已知老陈种植水果的成本是本是2 8002 800元元/ /吨吨, ,那么乔经理的采购量为那么乔经理的采购量为_时时, ,老陈在这次买卖中所获的利润老陈在这次买卖中所获的利润W W最大最大.【解析】【解析】根据图象可知根据图象可知, ,当当0 x200 x20时时,y=8 000,y=8 000,当当20 x4020
28、x40时时, ,设设y=kx+b,y=kx+b,因为因为B(20,8 000),C(40,4 000)B(20,8 000),C(40,4 000)在图象上在图象上, ,则有则有 解得解得 所以所以y=-200 x+12 000,y=-200 x+12 000,8000 20k b4000 40k b，k200b 12000，综上可得综上可得,y= ,y= 当当0 x200 x20时时,W=(8 000-2 800)x=5 200 x,W=(8 000-2 800)x=5 200 x,因为因为W=5 200 xW=5 200 x在在(0,20(0,20上是单调递增函数上是单调递增函数, ,所以
29、当所以当x=20 x=20时时,W,W取得最大值为取得最大值为104 000;104 000;80000 x 20200 x 1200020 x 40. ，当当20 x4020104 000,105 800104 000,所以当所以当x=23x=23时时,W,W取得最大值为取得最大值为105 800,105 800,故乔经理的采购量为故乔经理的采购量为2323吨时吨时, ,老陈在这次买卖中所获的老陈在这次买卖中所获的利润利润W W最大最大. .答案答案: :2323吨吨类型四物理中的分段函数问题类型四物理中的分段函数问题【物理情境物理情境】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图, ,假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为为2 020 km,2 020 km,试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数和时间之间的变化关系数和时间之间的变化关系. .【转化模板】【转化模板】
