1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 选修 45 不等式选讲 第 1 课时 绝对值不等式 1. 解不等式 12 时 ， 不等式化为 x 1 x 22x. 解：原不等式等价于 x2 2x 42x . 解 得解集为 ?， 解 得解集为 x|x R 且 x2 原不等式的解集为 x|x R 且 x2 4. 解不等式 x2 |x| 20) (1) 当 a 1 时 ， 求此不等式的解集； (2) 若此不等式的解集为 R， 求实数 a 的取值范围 解： (1) 当 a 1 时 ， 得 2|x 1|1, 即 |x 1| 12， 解得 x 32或 x 12， 不等式的解集为 ? ? ， 12 ? ?32， . (2
2、) |ax 1| |ax a|a 1|， 原不等式解集为 R 等价于 |a 1|1. a 2 或 a0. a0， a 2. 实数 a 的取值范围是 2， ) 10. 设函数 f(x) |2x 1| |x 2|. (1) 求不等式 f(x)2 的解集； (2) ? x R， f(x)t 2 112t， 求实数 t 的取值范围 解： (1) f(x)? x 3， x2， x2， x1， 12， x 1， x 2. 综上所述 ， 不等式 f(x) 2 的解集为 x|x1 或 xa 成立 ， 求实数 a 的取值范围 解： (1) 当 x 1 时 ， 由 f(x) x 20 得 x2 ， 所以 x ?；
3、 当 112时 ， 由 f(x) x 20 得 x2 ， 所以 12x 2. 综上 ， 不等式 f(x)0 的解集 D x|0x2 (2) 3x 2 x 3 x 2 x， 由柯西不等式得 ( 3 x 2 x)2 (3 1)x (2 x) 8， 3x 2 x 2 2， 当且仅当 x 32时取 “ ” ， a 的取值范围是 ( ，2 2) 第 2 课时 不等式证明的基本方法 1. 已知 x1 ， y 1， 求证： x2y xy2 1x 2y2 x y. 证明：左边右边 (y y2)x2 (y2 1)x y 1 (1 y)yx2 (1 y)x 1 (1y)(xy 1)(x 1)， x 1， y 1，
4、 1 y0 ， xy 10 ， x 10. 从而左边右边 0 ， x2y xy2 1x 2y2 x y. 2. (2017 苏州期末 )已知 a， b， x， y 都是正数 ， 且 a b 1， 求证： (ax by)(bx ay)xy. 证明：因为 a， b， x， y 都是正数 ， 所以 (ax by)(bx ay) ab(x2 y2) xy(a2 b2) ab 2xy xy(a2 b2) (a b)2xy. 又 a b 1， 所以 (ax by)(bx ay)xy. 当且仅当 x y 时等号成立 3. 已知 x， y， z R， 且 x 2y 3z 8 0.求证： (x 1)2 (y 2
5、)2 (z 3)2 14. 证明：因为 (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2(12 22 32) (x 1) 2(y 2) 3(z 3)2 (x 2y 3z 6)2 142， 当且仅当 x 11 y 22 z 33 ， 即 x z 0， y 4 时 ， 取等号 ， 所以 (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 14. 4. 已知函数 f(x) |2x 1| |x 1|， 函数 g(x) f(x) |x 1|的值域为 M. (1) 求不等式 f(x)3 的解集； (2) 若 tM ， 求证： t2 1 3t 3t. (1) 解：依题意 ， 得 f(x)? 3x， x 1.2 x， 1 x
6、12，3x， x 12，于是得 f(x) 3?x 1， 3x3 或? 1 x 12，2 x3或?x 12，3x 3，解得 1 x 1.即不等式 f(x)3 的解集为 x| 1x1 (2) 证明： g(x) f(x) |x 1| |2x 1| |2x 2|2x 1 2x 2| 3， 当且仅当 (2x 1)(2x 2)0 时 ， 取等号 ， M 3， ) 原不等式等价于 t2 3t 1 3t t3 3t2 t 3t （ t 3）（ t2 1）t . =【 ;精品教育资源文库 】 = t M， t 30 ， t2 1 0. （ t 3）（ t2 1）t 0. t2 1 3t 3t. 5. (2017
7、 苏、锡、常、镇 二模 )已知 a， b， c 为正实数 ， 求证： b2ac2ba2c a b c. 证明： a ， b， c 为正实数 ， a b2a 2b， bc2b 2c， ca2c 2a， 将上面三个式子相加得 a b c b2ac2ba2c 2a 2b 2c， b2ac2ba2c a b c. 6. 设 a1， a2， a3均为正数 ， 且 a1 a2 a3 1， 求证： 1a1 1a2 1a3 9. 证明： 因为 a1， a2， a3均为正数 ， 且 a1 a2 a3 1， 所以 1a1 1a2 1a3 (a1 a2 a3)? ?1a1 1a2 1a3 3(a1a2a3)13 3
8、? ?1a1 1a2 1a313 9(当且仅当 a1 a2 a3时等号成立 )， 所以 1a1 1a2 1a3 9. 7. 已知正数 x， y， z 满足 x 2y 3z 1， 求 1x 2y 3z的最小值 解： 1x 2y 3z ? ?1x 42y 93z (x 2y 3z) 1 4 9 2yx 3zx 4x2y 12z2y 9x3z 18y3z 14 2 2yx 4x2y 2 3zx 9x3z 2 12z2y 18y3z 36， 当且仅当 x y z 16时等号成立 ， 1x 2y 3z的最小值为 36. 8. 已知 x 0， y 0， z 0 且 xyz 1， 求证： x3 y3 z3
9、xy yz zx. 证明： x 0， y 0， z 0， x3 y3 z3 3xyz. 同理 x3 y3 13xy ， y3 z3 13yz ， x3 z3 13xz. 将以上各式相加 ， 得 3x3 3y3 3z3 33xyz 3xy 3yz 3zx. xyz 1， x3 y3 z3 xy yz zx. 9. 已知 a， b， c 均为正数 ， 且 a 2b 4c 3.求 1a 1 1b 1 1c 1的最小值 ， 并指出取得最小值时 a， b， c 的值 解： a 2b 4c 3， (a 1) 2(b 1) 4(c 1) 10. a， b， c 为正数 ， 由柯西不等式得 (a 1) 2(b
10、 1) 4(c 1) ? ?1a 1 1b 1 1c 1 (1 22)2. 当且仅当 (a 1)2 2(b 1)2 4(c 1)2时 ， 等式成立 1a 1 1b 1 1c 1 11 6 210 ， 2(c 1) 2 2(c 1) 4(c 1) 10， =【 ;精品教育资源文库 】 = c 8 5 27 ， b 15 2 177 ， a 23 10 27 . 10. 已知 a b c 1， a， b， c 0.求证： (1) abc 127； (2) a2 b2 c2 3 abc. 证明： (1) a b c3 3 abc， 而 a b c 1?abc 127， 当且仅当 a b c 13时取
11、等号 (2) 由柯西不等式得 a2 b2 c2 13(a b c)2 13， 由 (1)知 3 abc 13， a2 b2 c2 3 abc， 当且仅当 a b c 时取等号 11. 已知函数 f(x) 3x 6， g(x) 14 x.若存在实数 x 使 f(x) g(x) a 成立 ， 求实数 a 的取值范围 解：存在实数 x 使 f(x) g(x) a 成立 ， 等价于 f(x) g(x)的最大值大于 a. f(x) g(x) 3x 6 14 x 3 x 2 1 14 x， 由柯西不等式得 ， ( 3 x 2 1 14 x)2 (3 1)(x 2 14 x) 64， f(x) g(x) 3x 6 14 x 8， 当且仅当 x 10 时取等号 故实数 a 的取值范围是 ( ， 8)
