1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 4 二次函数与幂函数 知识梳理 1二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式： f(x) ax2 bx c(a0) 顶点式： f(x) a(x m)2 n(a0) 两根式： f(x) a(x x1)(x x2)(a0) (2)二次函数的图象和性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y x 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数 (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 诊断自测 1概念思辨 (1)当 0 恒成立的充要条件是? a0，b2 4
2、ac0 恒成立，即函数的定义域为 ( ， ) 设 t x2 3x 10，则 y t 1是 (0， ) 上的减函数， 根据复合函数单调性的性 质， 要求函数 y (x2 3x 10) 1的递增区间， 即求 t x2 3x 10 的单调递减区间， t x2 3x 10 的单调递减区间是 ? ? ， 32 ， 所求函数的递增区间为 ? ? ， 32 .故选 C. (2)(必修 A1P78探究 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 若四个幂函数 y xa， y xb， y xc， y xd在同一坐标系中的图象如图，则 a， b， c， d的大小关系是 ( ) A dcba B abcd C dcab
3、D abdc 答案 B 解析 幂函数 a 2， b 12， c 13， d 1 的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内， x 1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以 abcd.故选B. 3小题热身 (1)(2017 济南诊断 )已知幂函数 f(x) k x 的图象过点 ? ?12， 22 ，则 k ( ) A.12 B 1 C.32 D 2 答案 C 解析 由幂函数的定义知 k 1.又 f? ?12 22 ，所以 ? ?12 22 ，解得 12，从而 k 32.故选 C. (2)函数 f(x) x2 ax a 在 0,2上的最大值为 1，则 实数 a 等于 ( ) A
4、1 B 1 C 2 D 2 答案 B 解析 解法一： (分类讨论 )当对称轴 x a21 ，即 a2 时， f(x)max f(2) 4 3a 1，解得 a 1 符合题意；当 a2 时， f(x)max f(0) a 1，解得 a 1(舍去 )综上所述，实数 a 1，故选 B. 解法二： (代入法 )当 a 1 时， f(x) x2 x 1 在 0,2上的最大值为 f(2) 71 ，排除 A；当 a 1 时， f(x) x2 x 1 在 0,2上的最大值为 f(2) 1， B 正确；当 a 2 时，f(x) x2 2x 2 在 0,2上的最大值为 f(2) 101 ，排除 C；当 a 2 时，
5、 f(x) x2 2x2 在 0,2上的最大值为 f(0) f(2) 21 ，排除 D，故选 B. 题型 1 幂函数的图象与性质 典例 1 (2017 长沙模拟 )已知函数 f(x) x12，则 ( ) A ? x0 R，使得 f(x)f(x2) 根据幂函数性质逐项验证 答案 B 解析 由函数 f(x) x12，知： 在 A 中， f(x)0 恒成立，故 A 错误； 在 B 中， ? x 0， ) ， f(x)0 ，故 B 正确； 在 C 中， ? x1， x2 0， ) ， x1 x2，都有 f?x1? f?x2?x1 x2 0，故 C 错误； 在 D 中，当 x1 0 时，不存在 x2 0
6、， ) 使得 f(x1)f(x2)，故 D 不成立故选 B. 典例 2 (2018 荣城检测 )已知函数 f(x)? 2x， x2 ，?x 1?3， x0)， g(x) logax 的图象可能是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 因为 a0，所以 f(x) xa在 (0， ) 上为增函数，故 A 错误；在 B 中，由 f(x)的图象知 a1，由 g(x)的图象知 01，矛盾 ，故 C 错误；在 D 中，由 f(x)的图象知 01 时，函数 f(x) x2 2ax 1 a 在区间 0,1上是增函数， f(x)max f(1) 1 2a 1 a a， a 2. 综上可知，
7、a 1 或 a 2.故选 D. 2若二次函数 f(x) ax2 bx c(a0) ，满足 不等式 f(x) 2x0 的解集为x|10 的解集为 (1,3)，设 f(x) 2x a(x 1)(x 3)，且 a0 的解集为 x| 20 的解集为 x| 2x k 在区间 3， 1上恒成立，试求 k 的范围 用转化法 解 (1)由题意得 f( 1) a b 1 0， a0 ， 且 b2a 1， a 1， b 2. f(x) x2 2x 1， 单调减区间为 ( ， 1，单调增区间为 1， ) (2)解法一： f(x)x k 在区间 3， 1上恒成立， 转化为 x2 x 1k 在区间 3， 1上恒成立 设
8、 g(x) x2 x 1， x 3， 1， 则 g(x)在 3， 1上递减 g(x)min g( 1) 1. kx k 在区间 3， 1上恒成立，转化为 x2 x 1 k0 在区间 3， 1上恒成立，设 g(x) x2 x 1 k，则 g(x)在 3， 1上单调递减， g( 1)0，得 k1. 角度 4 二次函数的零点问题 典例 已知二次函数 f(x) x2 2bx c(b， c R) (1)若 f(x)0 的解集为 x| 1 x1 ，求实数 b， c 的值； (2)若 f(x)满足 f(1) 0，且关于 x 的方程 f(x) x b 0 的两个实数根分别在区间 (3， 2)， (0,1)内，求实数 b 的取值范围 用数形结合法 解 (1)设 x1， x2是方程 f(x) 0 的两个根由根与系数的关系得? x1 x2 2b，x1x2 c， 即? 2b 0，c 1. 所以 b 0， c 1. (2)由题，知 f(1) 1 2b c 0，所以 c 1 2b. 记 g(x) f(x) x b x2 (2b 1)x b c x2 (2b 1)x b 1，则
