1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.2 平面向量基本定理及坐标表示 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1已知向量 a， b 不共线， c ka b(k R)， d a b.如果 c d，那么 ( ) A k 1 且 c 与 d 同向 B k 1 且 c 与 d 反向 C k 1 且 c 与 d 同向 D k 1 且 c 与 d 反向 答案 D 解析 c d， (ka b) (a b)， 存在 使 ka b (a b)， ? k ，1 ? k 1， 1. c a b， c 与 d 反向故选 D. 2 (2018 襄樊一模 )已知 OA (1， 3)， OB (2， 1)， OC (k 1， k
2、 2)，若 A， B，C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是 ( ) A k 2 B k 12 C k 1 D k 1 答案 C 解析 若点 A， B， C 不能构成三角形，则向量 AB与 AC共线因为 AB OB OA (2， 1) (1， 3) (1,2)， AC OC OA (k 1， k 2) (1， 3) (k， k 1)所以 1( k 1) 2k 0，解得 k 1，故选 C. 3 (2018 怀化 一模 )设向量 a (1， 3)， b ( 2,4)， c ( 1， 2)，若表示向量4a,4b 2c,2(a c)， d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d ( )
3、 A (2,6) B ( 2,6) C (2， 6) D ( 2， 6) 答案 D 解析 设 d (x， y)，由题意知 4a (4， 12)， 4b 2c ( 6,20)， 2(a c) (4，2)，又 4a 4b 2c 2(a c) d 0，所以 (4， 12) ( 6,20) (4， 2) (x， y) (0,0)，解得 x 2， y 6，所以 d ( 2， 6)故选 D. 4 (2017 河南高三质检 )在 ABC 中， BAC 60 ， AB 5， AC 4， D 是 AB 上一点，且 AB CD 5，则 |BD|等于 ( ) A 6 B 4 C 2 D 1 答案 C =【 ;精品教
4、育资源文库 】 = 解析 设 AD AB， CD AD AC， AB CD AB( AD AC) AB2 AB AC 5，可得 25 15， 35， |BD| 25|AB| 2，故选 C. 5在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，设向量 OA a， OB b，其中 a (3,1)， b (1,3)若OC a b，且 0 1 ，则 C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 ( ) 答案 A 解析 由题意知 OC (3 ， 3 )，取特殊值， 0， 0，知所求区域包含原点，排除 B；取 0， 1，知所求区域包含 (1,3)，排除 C， D，故选 A. 6 (2018 茂名检测 )已知向量 a (
5、3， 2)， b (x， y 1)且 a b，若 x， y 均为正数，则 3x 2y的最小值是 ( ) A 24 B 8 C.83 D.53 答案 B 解析 a b， 2x 3(y 1) 0，即 2x 3y 3，又 x， y0， 3x 2y ? ?3x 2y 13(2x 3y) 13? ?6 9yx 4xy 6 13? ?12 2 9yx 4xy 8，当且仅当 2x 3y 32时，等号成立 3x 2y的最小值是 8.故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 7 (2017 济南二模 )如图所示，两个非共线向量 OA、 OB的夹角为 ， N 为 OB 中点， M为 OA 上靠近 A 的三等分
6、点，点 C 在直线 MN 上，且 OC xOA yOB(x， y R)，则 x2 y2的最小值为 ( ) A.425 B.25 C.49 D.23 答案 A 解析 因为点 C， M， N 共线，则 OC OM ON 23 OA 12 OB， 1， 由 OC xOA yOB， x 23 ， y 12 12(1 )， x2 y2 ? ?23 2 14(1 )2 2536 2 2 14， 设 g( ) 2536 2 2 14， 由二次函数的性质可知 ：当 925时， g( )取最小值， 最小值为 g? ?925 425， 所以 x2 y2的最小值为 425，故选 A. 8 (2017 河南中原名校联
7、考 )如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O， E 为 AO 的中点，若 DE AB AD( ， 为实数 )，则 2 2 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.58 B.14 C 1 D.516 答案 A 解析 DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14(DA AB) 14AB 34AD，所以 14， 34，故 2 2 58.故选 A. 9 (2018 安徽十校联考 )已知 A， B， C 三点不共线，且 AD 13AB 2AC，则 S ABDS ACD ( ) A.23 B.32 C 6 D.16 答案 C 解析 如图，取 AM 13AB， AN 2AC，以
8、 AM， AN 为邻边作平行四边形 AMDN， 此时 AD 13AB 2AC. 由图可知 S ABD 3S AMD， S ACD 12S AND， 而 S AMD S AND， S ABDS ACD 6.故选 C. 10如图所示，在四边形 ABCD 中， AB BC CD 1，且 B 90 ， BCD 135 ，记向量 AB a， AC b，则 AD ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. 2a ? ?1 22 b B 2a ? ?1 22 b C 2a ? ?1 22 b D. 2a ? ?1 22 b 答案 B 解析 根据题意可得 ABC 为等腰直角三角形，由 BCD 135 ，得
9、 ACD 135 45 90. 以 B 为原点， AB 所在直线为 x 轴， BC 所在直线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作 DE y 轴于点 E，则 CDE 也为等腰直角三角形由 CD 1，得 CE ED 22 ，则 A(1,0)，B(0,0)， C(0,1)， D? ?22 ， 1 22 ， AB ( 1,0)， AC ( 1,1)， AD ? ?22 1， 1 22 .令 AD AB AC，则有? 22 1， 1 22 ，得? 2， 1 22 ， AD 2a?1 22 b.故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 二、填空题 11在梯形 ABCD 中， AB CD，且 DC
10、2AB，三个顶点 A(1， 2)， B(2,1)， C(4,2)，则点D 的坐标为 _ 答案 (2,4) 解析 在梯形 ABCD 中， DC 2AB， AB CD， DC 2AB.设点 D 的坐标为 (x， y)，则 DC(4 x,2 y)， AB (1， 1)， (4 x,2 y) 2(1， 1)， 即 (4 x,2 y) (2， 2)， ? 4 x 2，2 y 2， 解得 ? x 2，y 4， 故点 D 的坐标为 (2,4) 12在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，设向量 p (a c， b)， q (b a， c a)，若 p q，则角 C 的大小为 _
11、答案 60 解析 由 p q，得 (a c)(c a) b(b a)，整理， 得 b2 a2 c2 ab. 由余弦定理，得 cosC a2 b2 c22ab 12. 又 0 C180 ， C 60. 13 (2017 太原三模 )在 ABC 中， AB 3， AC 2， BAC 60 ，点 P 是 ABC 内一点 (含边界 )，若 AP 23AB AC，则 |AP|的最大值为 _ 答案 2 133 解析 以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系， AB 3， AC 2， BAC 60 ， A(0,0)， B(3,0)， C(1， 3)， 设点 P 为 (x， y)，
12、 0 x3 ， 0 y 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = AP 23AB AC， (x， y) 23(3,0) (1， 3) (2 ， 3 )， ? x 2 ，y 3 y 3(x 2)， 直线 BC 的方程为 y 32 (x 3)， 联立 ，解得? x 73，y 33 ，此时 |AP|最大， |AP| 499 13 2 133 . 14 (2018 江西南 昌一模 )已知三角形 ABC 中， AB AC， BC 4， BAC 120 ， BE 3EC，若点 P 是 BC 边上的动点，则 AP AE的取值范围是 _ 答案 ? ? 23， 103 解析 因为 AB AC， BC 4， BAC
13、 120 ，所以 ABC 30 ， AB 4 33 .因为 BE 3EC，所以 BE 34BC. 设 BP tBC，则 0 t1 ，所以 AP AB BP AB tBC，又 AE AB BE AB 34BC， 所以 AP AE (AB tBC)?AB 34BC AB2 tBC AB 34BC AB 34tBC2 163 t4 4 33 cos150 344 4 33 cos150 34t4 2 4t 23， 因为 0 t1 ，所以 234 t 23 103 ， 即 AP AE的取值范围是 ? ? 23， 103 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 三、解答题 15给定两个长度为 1 的平面向
14、量 OA和 OB，它们的夹角为 23 . 如图所示，点 C 在以 O 为圆心的 上运动若 OC xOA yOB，其中 x， y R，求 x y的最大值 解 以 O 为坐标原点， OA所在的 直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)， B? ? 12， 32 . 设 AOC ? ? ? ?0， 23 ， 则 C(cos ， sin )， 由 OC xOA yOB，得? cos x 12y，sin 32 y，所以 x cos 33 sin ， y 2 33 sin ， 所以 x y cos 3sin 2sin? ? 6 ， 又 ? ?0， 23 ，所以当 3 时， x y 取得最大值 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 16 (2018 湖北襄阳阶段测试 )在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)和点B( 1， 0)， |OC| 1，且 AOC x，其中 O 为坐标原点 (1)若 x 34 ，设点 D 为线段
