1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 4 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理 1直线与圆的位置关系 设直线 l： Ax By C 0(A2 B20) ， 圆： (x a)2 (y b)2 r2(r0)， d 为圆心 (a， b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 . 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 d r 0 相离 dr 0)， 圆 O2 (x a2)2 (y b2)2 r22(r20) 方法位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1， r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 dr1 r2 无解 外切 d r1 r2
2、一组实数解 相交 |r1 r2|0)相交于 A， B 两点，且 AOB 120( O 为坐标原点 )，则 r _. 答案 2 解析 如图，过 O 点作 OD AB 于 D 点，在 Rt DOB 中， DOB 60 ， DBO 30 ， 又 |OD| |30 40 5|5 1， r 2|OD| 2. 题型 1 直线与圆的位置关系 典例 (2017 豫南九校联考 )直线 l： mx y 1 m 0 与圆 C： x2 (y 1)2 5 的位置关系是 ( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 代数法，几何法 答案 A 解析 由? mx y 1 m 0，x2 ?y 1?2 5 消去 y，整理得 (1 m
3、2)x2 2m2x m2 5 0， 则 4m4 4(1 m2)(m2 5) 16m2 20 0，所以直线 l 与圆 C 相交故选 A. 方法技巧 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1几何法：利用 d 与 r 的关系见典例 1，典例 2 答案解法二 2 代数法：联立方程之后利用 判断见典例 2 答案解法一 3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 冲关针对训练 直线 y 33 x m 与圆 x2 y2 1 在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范围是( ) A (
4、3， 2) B ( 3， 3) C.? ?33 ， 2 33 D.? ?1， 2 33 答案 D 解析 当直线经过点 (0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m 1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d |m|1 ? ?33 2 1，解得 m 2 33 (切点在第一象限 )，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则 13， 所以 (a b)29，即 a b3 或 a b1， 所以直线 x y 1 0 与圆 (x a)2 (y b)2 1 相离 方法技巧 判断圆与圆的 位置关系的步骤 1.确定两圆的圆心坐标和半径长； 2.利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1 r2，
5、 |r1 r2|； 3.比较 d， r1 r2， |r1 r2|的大小，写出结论 冲关针对训练 已知圆 C1： x2 y2 2mx 4y m2 5 0 与圆 C2： x2 y2 2x 2my m2 3 0，若圆 C1与圆 C2相外切，则实数 m ( ) A 5 B 5 或 2 C 6 D 8 答案 B 解析 对于圆 C1与圆 C2的方程，配方得圆 C1： (x m)2 (y 2)2 9，圆 C2： (x 1)2(y m)2 4，则圆 C1的圆心 C1(m， 2)，半径 r1 3，圆 C2的圆心 C2( 1， m)，半径 r2 2.如果圆 C1与圆 C2相外切，那么有 |C1C2| r1 r2，
6、即 ?m 1?2 ?m 2?2 5，则 m2 3m 10 0，解得 m 5 或 m 2，所以当 m 5 或 m 2 时，圆 C1与圆 C2相外切故选 B. 题型 3 直线与圆的综合问题 角度 1 直线与圆的相切问题 典例 (2014 江西高考 )在平面直角坐标系中， A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若 以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ( ) A.45 B.34 C (6 2 5) D.54 设 AB 的中点为 C， C 为圆心， D 为切点， |OC| |CD| r，要使 r 最小，则需 2r |OC| |CD|最小 答案 A =
7、【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意得以 AB 为直径的圆 C 过原点 O，圆心 C 为 AB 的中点，设 D 为切点，要使圆 C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需 OC CD 最小，其最小值为 OE(过原点 O 作直线 2x y 4 0 的垂线，垂足为 E)的长度由点到直线的距离公式，得 OE 45 . 圆 C 面积的最小值为 ? ?25 2 45 .故选 A. 角度 2 与圆有关的弦长问题 典例 (2016 全国卷 )已知直线 l： mx y 3m 3 0 与圆 x2 y2 12 交于 A， B两点，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点若 |AB| 2
8、 3，则 |CD| _. 答案 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意可知直线 l 过定点 ( 3， 3)，该定点在圆 x2 y2 12 上，不妨设点 A(3， 3)，由于 |AB| 2 3， r 2 3，所以圆心到直线 AB 的距离为 d ?2 3?2 ? 3?2 3，又由点到直线的距离公式可得 d |3m 3|m2 1 ，所以 |3m 3|m2 1 3， 解得 m 33 ，所以直线 l 的斜率 k m 33 ，即直线 l 的倾斜角为 30. 如图，过点 C 作 CH BD，垂足为 H，所以 |CH| 2 3，在 Rt CHD 中， HCD 30 ，所以 |CD| 2 3cos3
9、0 4. 角度 3 直线与圆位置关系的最值 (或范围 )问题 典例 (2017 河北石家庄一模 )若 a， b 是正数，直线 2ax by 2 0 被圆 x2 y2 4截得的 弦长为 2 3，则 t a 1 2b2取得最大值时 a 的值为 ( ) A.12 B. 32 C. 34 D.34 答案 D 解析 由已知可得圆心到直线 2ax by 2 0 的距离 d 24a2 b2，则直线被圆截得的弦长为 2 4 44a2 b2 2 3，化简得 4a2 b2 4. t a 1 2b2 12 2(2 2a) 1 2b2 14 2(2 2a)2 ( 1 2b2)2 14 2(8a22b2 1) 94 2
10、，当且仅当? 8a2 1 2b2，4a2 b2 4 时等号成立，即 t 取最大值，此时 a34(舍负 )故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法技巧 直线与圆综合问题的 求法 1圆与直线 l 相切的情形：圆心到 l 的距离等于半径，圆心到切点的连线垂直于 l.见角度 1 典例 2圆与直线 l 相交的情形 (1)圆心到 l 的距离小于半径，过圆心而垂直于 l 的直线平分 l 被圆截得的弦见角度2 典例 (2)连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦见角度 3 典例 (3)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径 冲关针对训练 (2018 甘肃兰州双基测试
11、)已知 AC， BD 为圆 O： x2 y2 4 的两条相互垂直的弦，垂足为 M(1， 2)，则四边形 ABCD 的 面积的最大值为 ( ) A 5 B 10 C 15 D 20 答案 A 解析 由题意知圆心为 O(0,0)，半径为 2.设圆心 O 到 AC、 BD 的距离分别为 d1， d2，作OE AC， OF BD，垂足分别为 E， F，则四边形 OEMF 为矩形，连接 OM，则有 d21 d22 OM2 3. 由平面几何知识知 |AC| 2 4 d21， |BD| 2 4 d22， S 四边形 ABCD 12|AC| BD| 2 4 d21 4 d22(4 d21) (4 d22) 8
12、 (d21 d22) 5，即四边形 ABCD 的面积的最大值为 5.故选 A. 1.(2017 全国卷 )若双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线被圆 (x 2)2 y2 4 所截得的弦长为 2，则 C 的离 心率为 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D.2 33 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 A 解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y bax， 圆的圆心为 (2,0)，半径为 2， 由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离为 22 12 3. 根据点到直线的距离公式得 |2b|a2 b2 3， 解得 b2 3a2. 所以 C 的离心率 e ca c2a2 1b2
13、a2 2.故选 A. 2 (2018 安徽芜湖六校联考 )在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y 2x 4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上若圆 C 上存在点 M，使 |MA| 2|MO|，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 125 B 0,1 C.? ?1， 125 D.? ?0， 125 答案 A 解析 因为圆心在直线 y 2x 4 上， 所以圆 C 的方程为 (x a)2 y 2(a 2)2 1. 设点 M(x， y)，因为 |MA| 2|MO|，所以 x2 ?y 3?2 2 x2 y2，化简得 x2 y2 2y 3 0，即 x2
14、 (y 1)2 4，所以点 M 在以 D(0， 1)为圆心， 2 为半径的圆上 由题意，点 M(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则 |2 1| CD2 1，即1 a2 ?2a 3?23. 由 a2 ?2a 3?21 得 5a2 12a 80 ，解得 a R； 由 a2 ?2a 3?23 得 5a2 12a0 ，解得 0 a 125. 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 ? ?0， 125 .故选 A. 3 (2015 江苏高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0)为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程 为
15、_ 答案 (x 1)2 y2 2 解析 由 mx y 2m 1 0 可得 m(x 2) y 1，易知该直线过定点 (2， 1)，从而点(1,0)与直线 mx y 2m 1 0 的距离的最大值为 ?2 1?2 ? 1 0?2 2，故所求圆的标准方程为 (x 1)2 y2 2. 4 (2017 广东五校协作体一模 )两圆 x2 y2 2ax a2 4 0 和 x2 y2 4by 1 4b2 0 恰有三条公切线，若 a R， b R 且 ab0 ，则 1a2 1b2的最小值为 _ 答案 1 解析 将 x2 y2 2ax a2 4 0 和 x2 y2 4by 1 4b2 0 化为标准方程得 (x a)2=【 ;精品教育资源文库 】 = y2 4， x2 (y 2b)2 1，依题意得两圆相外切， 故 a2 4b2 1 2 3，即 a2 4b2 9， 所以 1a2 1b2 ? ?a294b29 ?1a21b2 19 a29b24b29a24959 2a29b24b29a2 1， 当且仅当 a29b2
