1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.8 函数与方程 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2017 临汾三模 )已知函数 f(x)、 g(x)： 则函数 y fg(x)的零点是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 由题意， g(x) 1， x 1，故选 B. 2 (2017 衡水调研 )方程 |x2 2x| a2 1(a0)的解的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 a0， a2 11，而 y |x2 2x|的图象如图， y |x2 2x|的图象与 y a21 的图象总有两 个交点故选 B. 3若函数 f(x) 2ax2 x 1 在 (0,1)
2、内恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( 1,1) B 1， ) C (1， ) D (2， ) 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 当 a 0 时，函数的零点是 x 1，不合题意当 a0 时，若 0， f(0) f(1)1. 若 0，即 a 18，函数的零点是 x 2，不合题意，故选 C. 4 (2017 浙江嘉兴测试 )已知函数 f(x) ? ?14 x cosx，则 f(x)在 0,2 上的零点个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 函数 f(x) ? ?14 x cosx 的零点个数为 ? ?14 x cosx 0? ?14 x c
3、osx 的根的个数，即函数 h(x) ? ?14 x与 g(x) cosx 的图象的交点个 数如图所示，在区间 0,2 上交点个数为 3，故选 C. 5 (2017 河南新乡三模 )若函数 f(x) log2(x a)与 g(x) x2 (a 1)x 4(a 5)存在相同的零点，则 a 的值为 ( ) A 4 或 52 B 4 或 2 C 5 或 2 D 6 或 52 答案 C 解析 g(x) x2 (a 1)x 4(a 5) (x 4)x (a 5)，令 g(x) 0，得 x 4 或 x a 5，则 f( 4) log2( 4 a) 0 或 f(a 5) log2(2a 5) 0，解得 a
4、5 或 a 2.故选 C. 6 (2017 河南十所名校联考 )设函数 f(x) 13x ln x，则函数 y f(x)( ) A在区间 ? ?1e， 1 ， (1， e)内均有零点 B在区间 ? ?1e， 1 ， (1， e)内均无零点 =【 ;精品教育资源文库 】 = C在区间 ? ?1e， 1 内有零点，在区间 (1， e)内无零点 D在区间 ? ?1e， 1 内无零点，在区间 (1， e)内有零点 答案 D 解析 令 f(x) 0 得 13x ln x作出函数 y 13x 和 y ln x 的图象，如图，显然 y f(x)在 ? ?1e， 1 内无零点，在 (1， e)内有零点，故选
5、D. 7 (2017 东城区期末 )已知 x0是函数 f(x) 2x 11 x的一个零 点若 x1 (1， x0)， x2 (x0， ) ，则 ( ) A f(x1)0 C f(x1)0， f(x2)0， f(x2)0 答案 B 解析 设 g(x) 11 x，由于函数 g(x) 11 x 1x 1在 (1， ) 上单调递增，函数 h(x) 2x在 (1， ) 上单调递增，故函数 f(x) h(x) g(x)在 (1， ) 上单调递增，所以函数f(x)在 (1， ) 上只有唯一的零点 x0，且在 (1， x0)上 f(x1)0，故选 B. 8 (2017 江西赣州一模 )函数 f(x)， g(x
6、)满足：对任意 x R，都有 f(x2 2x 3) g(x)，若关于 x 的方程 g(x) sin 2 x 0 只有 5 个根，则这 5 个根之和为 ( ) A 5 B 6 C 8 D 9 答案 A 解析 由 f(x2 2x 3) g(x)及 y x2 2x 3 的图象关于直线 x 1 对称知 g(x)的图象关于直线 x 1 对称，由 g(x) sin 2x 0，知 g(x) sin 2x，因为 y sin 2x 的图象也关于直线 x 1 对称， g(x) sin 2x 0 有 5 个根，故必有一个根为 1，另外 4 个根的和为 4.所以原方程所有根之和为 5.故选 A. 9 (2017 山东
7、济宁模拟 )定义在 ? ?1 ， 上的函数 f(x)满足 f(x) =【 ;精品教育资源文库 】 = f? ?1x ，且当 x ? ?1 ， 1 时， f(x) ln x，若函数 g(x) f(x) ax 在 ? ?1 ， 上有零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.? ? ln ， 0 B ln ， 0 C.? ? 1e， ln D.? ? e ， 1 答案 B 解析 令 x 1， ，则 1x ? ?1 ， 1 ，因为 f(x) f? ?1x ，且当 x ? ?1 ， 1 时， f(x) ln x，所以 f(x) f? ?1x ln x，则 f(x) ? ln x， x?1 ， 1 ，
8、ln x， x 1， ，在坐标系中画出函数 f(x)的图象如图： 因为函数 g(x) f(x) ax 在 ? ?1 ， 上有零点，所以直线 y ax 与函数 f(x)的图象有交点由图得，当 a 取满足题意的最小值时，直线 y ax 与 f(x)的图象相交于点?1 ， ln ，此时 ln a ?a ln ，由图可得，实数 a 的取值范围是 ln ， 0，故选 B. 10 (2016 天津高考 )已知函数 f(x)? x2 a x 3a， x0，且 a1) 在 R 上单调递 减，且关于 x 的方程 |f(x)| 2 x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 23 B
9、.? ?23， 34 C.? ?13， 23 ? ?34 D.? ?13， 23 ? ?34 答案 C 解析 要使函数 f(x)在 R 上单调递减， =【 ;精品教育资源文库 】 = 只需? 3 4a2 0 ，00 时有一个交点；当直线 y 2 x 与 y x2 (4a 3)x 3a(x0，故 f(3) f(4)0 的零点个数是 _ 答案 2 解析 当 x0 时，令 x2 2 0，解得 x 2(正根舍 )，所以在 ( ， 0上有一个零点当 x0 时， f( x) 2 1x0 恒成立，所以 f(x)在 (0， ) 上是增函数又因为 f(2) 2 ln 20，所以 f(x)在 (0， ) 上有一个
10、零点，综上，函数 f(x)的零点=【 ;精品教育资源文库 】 = 个数为 2. 13已知 a 是实数，函数 f(x) 2a|x| 2x a，若函数 y f(x)有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ( ， 1) (1， ) 解析 由题意易知 a0 ，令 f(x) 0，即 2a|x| 2x a 0，变形得 |x| 12 1ax， 分别作出函数 y1 |x| 12， y2 1ax 的图象，如图所示 由图易知，当 01 时， y1和 y2的图象有两个不同的交点，所以当 a1 时，函数 y f(x)有且仅有两个零点，即实数 a 的取值范围是 ( ， 1) (1， ) 14已知函数 y
11、f(x)(x R)对函数 y g(x)(x I)，定义 g(x)关于 f(x)的 “ 对称函数 ” 为函数 y h(x)(x I)， y h(x)满足：对任意 x I，两个点 (x， h(x)， (x， g(x)关于点 (x， f(x)对称若 h(x)是 g(x) 4 x2关于 f(x) 3x b 的 “ 对称函数 ” ，且 h(x)g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围是 _ 答案 (2 10， ) 解析 函数 g(x)的定义域是 2,2，根据已知得 h x g x2 f(x)，所以 h(x)2f(x) g(x) 6x 2b 4 x2.h(x)g(x)恒成立，即 6x 2b 4 x2 4 x
12、2恒成立，即3x b 4 x2恒成立，令 y 3x b， y 4 x2，则只要直线 y 3x b 在半圆 x2 y2 4(y0)上方即可，由 |b|102，解得 b2 10(舍去负值 )，故实数 b 的取值范围是 (2 10， ) 三 、解答题 15已知二次函数 f(x) x2 (2a 1)x 1 2a. (1)判断命题： “ 对于任意的 a R，方程 f(x) 1 必有实数根 ” 的真假，并写出判断过程； (2)若 y f(x)在区间 ( 1,0)及 ? ?0， 12 内各有一个零点，求实数 a 的取值范围 解 (1)“ 对于任意的 a R，方程 f(x) 1 必有实数根 ” 是真命题 依题
13、意， f(x) 1 有实根，即 x2 (2a 1)x 2a 0 有实根，因为 (2a 1)2 8a(2a 1)20 对于任意的 a R 恒成立，即 x2 (2a 1)x 2a 0 必有实根，从而 f(x) 1 必=【 ;精品教育资源文库 】 = 有实根 (2)依题意，要使 y f(x)在区间 ( 1,0)及 ? ?0， 12 内各有一个零点， 只需? f ，f ，f? ?12 0，即? 3 4a0，1 2a0，解得 120) (1)若 g(x) m 有实数根，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 解 (1) x0 时， g(x) x e
14、2x2 xe2x 2e， 等号成立的条件是 x e，故 g(x)的值域是 2e， ) ， 因而只需 m2e ，则 y g(x) m 就有零点 m 的取值范围是 2e， ) (2)若 g(x) f(x) 0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点， 作出 g(x) x e2x(x0)的大致图象 f(x) x2 2ex m 1 (x e)2 m 1 e2， 其图象的对称轴为 x e，开口向下，最大值为 m 1 e2. 故当 m 1 e22e，即 m e2 2e 1 时， g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，即 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 m 的取值范围是 ( e2 2e 1， )
