1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4 2 平面向量基本定理及坐标表示 知识梳理 1平面向量基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有 一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解 2平面向量的坐标运算 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1 x2， y1 y2)， a (x 1， y 1)， |a| x21 y21， |a b| ?x
2、2 x1?2 ?y2 y1?2. 3平面向量共线的坐标表示 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b?x1y2 x2y1 0. 诊断自测 1概念思辨 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ( ) (2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示 ( ) (3)设 a， b 是平面内的一组基底，若实数 1， 1， 2， 2满足 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2.( ) (4)若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b 的充要条件可表示成 x1x2 y1y2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4)
3、 2教材衍化 (1)(必修 A4P119T11)已知 |OA | 1， |OB | 3， OA OB ，点 C 在线段 AB 上， AOC 30.设 OC mOA nOB (m， n R)，则 mn等于 ( ) A.13 B 3 C. 33 D. 3 答案 B 解析 依题意，以 O 为原点， OA、 OB 分别为 x， y 轴建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B(0， 3)，设 C(x， y)，由 OC mOA nOB 得 x m， y 3n，又 AOC 30 ，知 yx 33 ，故=【 ;精品教育资源文库 】 = mn 3，选 B. (2)(必修 A4P101A 组 T5)已知向量 a
4、(2,3)， b ( 1,2)，若 ma nb 与 a 2b 共线，则mn _. 答案 12 解析 解法一：由已知条件可得 ma nb (2m,3m) ( n,2n) (2m n,3m 2n)， a2b (2,3) ( 2,4) (4， 1) ma nb 与 a 2b 共线， 2m n4 3m 2n 1 ，即 n 2m12m 8n， mn 12. 解法二：注意到向量 a (2,3)， b ( 1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而 ma nb 与 a 2b 共线的本质是对应的坐标 (系数 )成比例，于是有 m1 n 2?mn 12. 3小 题热身 (1)已知向量 a (1,2)， b (1
5、,0)， c (3,4)若 为实数， (a b) c，则 ( ) A.14 B.12 C 1 D 2 答案 B 解析 a b (1 ， 2)，由 (a b) c，得 (1 )4 32 0， 12.故选B. (2)(2014 福建高考 )在下列向量组中，可以把向量 a (3,2)表示出来的是 ( ) A e1 (0,0)， e2 (1,2) B e1 ( 1,2)， e2 (5， 2) C e1 (3,5)， e2 (6,10) D e1 (2， 3)， e2 ( 2,3) 答案 B 解析 设 a k1e1 k2e2， A 选项， (3,2) (k2,2k2)， ? k2 3，2k2 2， 无解
6、 B 选项， (3,2) ( k1 5k2,2k1 2k2)， ? k1 5k2 3，2k1 2k2 2， 解之得 ? k1 2，k2 1. 故 B 中的 e1， e2可把 a 表示出来 同理， C， D 选项同 A 选项，无解故选 B. 题型 1 平面向量基本定理及应用 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 (2015 北京高考 )在 ABC 中，点 M， N 满足 AM 2MC ， BN NC .若 MN xAB yAC ，则 x _， y _. 运用向量的线性运算对待求向量不断进行转化，直到用基底表示 答案 12 16 解析 由 AM 2MC 知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点，
7、由 BN NC ，知 N 为 BC 的中点，作出草图如 下 ： 则有 AN 12(AB AC )，所以 MN AN AM 12(AB AC ) 23 AC 12AB 16AC ，又因为 MN xAB yAC ，所以 x 12， y 16. 方法技巧 应用平面向量基本定理的关键点 1平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量 2选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来 3强调几何性质在向量运算中的作用，用 基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等如典例 冲关针对训练 设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD
8、 12AB， BE 23BC.若 DE 1AB 2AC ( 1， 2为实数 )，则 1 2的值为 _ 答案 12 解析 DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23(AC AB ) 16AB 23AC ， DE 1AB 2AC ， 1 16， 2 23，故 1 2 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型 2 平面向量共线的坐标表示及应用 角度 1 求点的坐标 典例 已知 A(2,3)， B(4， 3)，点 P 在线段 AB 的延长线上，且 |AP|32|BP|，则点P 的坐标为 _ 方程组法 答案 (8， 15) 解析 设 P(x， y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上，且
9、 AP 32BP ，得 (x 2， y 3) 32(x 4， y 3)， 即? x 2 32?x 4?，y 3 32?y 3?.解得? x 8，y 15. 所以点 P 的坐标为 (8， 15) 角度 2 研究点共线问题 典例 (2018 佛山质检 )设 OA (1， 2)， OB (a， 1)， OC ( b,0)， a0， b0，O 为坐标原点，若 A， B， C 三点共线，则 1a 2b的最小值是 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 用到均值不等式、向量问题实数化 答 案 D 解析 由题意可得， OA (1， 2)， OB (a， 1)， OC ( b,0)，所以 AB OB OA (
10、a 1,1)， AC OC OA ( b 1， 2) 又 A， B， C 三点共线， AB AC ， 即 (a 1)2 1( b 1) 0， 2a b 1， 又 a0， b0， 1a 2b ? ?1a 2b (2a b) 4 ? ?ba 4ab 4 4 8，当且仅当 ba 4ab 时，取 “ ” 故选 D. 方法技巧 1利用两向量共线求点的坐标 利用向量共线的坐标表示构造所求点的坐标的方程组，解方程组即可注意方程思想的=【 ;精品教育资源文库 】 = 应用如角度 1 典例 2研究点 (向量 )共线问题 两平面向量共线的充要条件有两种形式 (1)若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，
11、则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y1 0.如角度 2 典例 (2)若 a b(b0) ，则 a b. 冲关针对训练 1 (2017 许昌二模 )已知 ABC 的三个顶点的坐标为 A(0， 1)， B(1,0)， C(0， 2)， O为坐 标原点，动点 M 满足 |CM | 1，则 |OA OB OM |的最大值是 ( ) A. 2 1 B. 7 1 C. 2 1 D. 7 1 答案 A 解析 设点 M 的坐标是 (x， y)， C(0， 2)，且 |CM | 1， x2 ?y 2?2 1，则 x2 (y 2)2 1， 即动点 M 的轨迹是以 C 为圆心、 1 为半径的圆， A(0,1)
12、， B(1,0)， OA OB OM (x 1， y 1)， 则 |OA OB OM | ?x 1?2 ?y 1?2，几何意义表示：点 M(x， y)与点 N( 1， 1)之间的距离，即 圆 C 上的点与点 N( 1， 1)的距离， 点 N( 1， 1)在圆 C 外部， |OA OB OM |的最大值是 |NC| 1 ?0 1?2 ? 2 1?2 1 2 1.故选 A. 2 (2018 湖北武昌调考 )已知点 P( 1,2)，线段 PQ 的中点 M 的坐标为 (1， 1)若向量 PQ 与向量 a ( ， 1)共线，则 _. 答案 23 解析 点 P( 1,2)，线段 PQ 的中点 M 的坐标为
13、 (1， 1)， 向量 PQ 2PM 2(1 1， 1 2) (4， 6) 又 PQ 与向量 a ( ， 1)共线， =【 ;精品教育资源文库 】 = 41 6 0，即 23. 1 (2016 全国卷 )已知向量 a (1， m)， b (3， 2)，且 (a b) b，则 m ( ) A 8 B 6 C 6 D 8 答 案 D 解析 由题可得 a b (4， m 2)，又 (a b) b， 43 2( m 2) 0， m 8.故选 D. 2 (2018 福州一中模拟 )已知 ABC和点 M满足 MA MB MC 0.若存在实数 m使得 AB AC mAM 成立，则 m ( ) A 2 B 3
14、 C 4 D 5 答案 B 解析 由 MA MB MC 0，知点 M 为 ABC 的重心，设点 D 为边 BC 的中点，则 AM 23AD 2312(AB AC ) 13(AB AC )，所以 AB AC 3AM ，故 m 3.故选 B. 3 (2017 福建四地六校联考 )已知 A(1,0)， B(4,0)， C(3,4)， O 为坐标原点，且 OD 12(OA OB CB )，则 |BD |等于 _ 答案 2 2 解析 由 OD 12(OA OB CB ) 12(OA OC )，知点 D 是线段 AC 的中点，故 D(2,2)，所以BD ( 2,2)，故 |BD | ? 2?2 22 2 2. 4 (2017 湘中名校联考 )已知在 ABC 中， AB AC 6， BAC 120 ， D 是 BC 边上靠近点 B 的四等分点， F 是 AC 边的中点，若点 G 是 ABC 的重心，则 GD AF _. 答案 214 解析 连接 AD， AG，如图 依题意，有 AD AB BD AB 14BC AB 14(AC AB ) 34AB 14AC ， AF 12AC ， GD AD AG =【 ;精品教育资源文库 】 = AD 23 12(
