1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.2 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2018 唐山模拟 )已知点 ( 3， 1)和点 (4， 6)在直线 3x 2y a 0 的两侧，则a 的取值范围为 ( ) A ( 24,7) B ( 7,24) C ( ， 7)(24 ， ) D ( ， 24)(7 ， ) 答案 B 解析 根据题意知 ( 9 2 a)(12 12 a)0，x m0表示的平面区域内存在点 P(x0， y0)，满足 x0 2y0 2，则 m 的取值范围是 ( ) A.? ? ， 43 B.? ? ， 13 C.? ? ， 23 D.
2、? ? ， 53 答案 C 解析 图中阴影部分表示可行域， 要求可行域内包含 y 12x 1 上的点，只需要可行域的边界点 ( m， m)在 y 12x 1 下方，也就是 m 12m 1，即 m 23.故选 C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 (2017 山东日照一模 )已知变量 x， y 满足? 2x y0 ，x 2y 30 ，x0 ，则 z ( 2)2x y的 最大值为 ( ) A. 2 B 2 2 C 2 D 4 答案 D 解析 作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令 m 2x y，则当 m 取得最大值时，z ( 2)2x y取得最大值由图知直线 m 2x y 经过点 A(1,
3、2)时， m 取得最大值，所以 zmax ( 2)21 2 4，故选 D. 4已知实数 x， y 满足条件? 3x y 70 ，x 3y 130 ，x y 10 ，则 z |2x 3y 4|的最大值为 ( ) A 3 B 5 C 6 D 8 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 不等式组 ? 3x y 70 ，x 3y 130 ，x y 10表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中 A(2,1)， B(1， 4)设t 2x 3y，平移直线 y 23x，则直线经过点 B 时， t 2x 3y 取得最小值 10，直线经过点A 时， t 2x 3y 取得最大值 1，所以 6 t 45 ，所
4、以 0 z6. 所以 z 的 最大值为 6，故选 C. 5 (2018 石家庄质检 )若 x， y 满足? x y1 ，mx y0 ，3x 2y 20 ，且 z 3x y 的最大值为 2，则实数 m 的值为 ( ) A.13 B.23 C 1 D 2 答案 D 解析 若 z 3x y 的最大值为 2，则此时目标函数为 y 3x 2，直线 y 3x 2 与 3x2y 2 0 和 x y 1 分别交于 A(2,4)， B? ?34， 14 ， mx y 0 经过其中一点，所以 m 2 或 m 13，当 m 13时，经检验不符合题意，故 m 2，选 D. 6若变量 x， y 满足约束条件? x y
5、20 ，x 2y 60 ，x2 ，则 z (x 1)2 y2的最大值为 ( ) A 4 B. 17 C 17 D 16 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 z (x 1)2 y2表示点 (x， y)与点 P(1,0)间距离的平方画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知 P(1,0)与 A(2,4)间的距离最大，因此 zmax (2 1)2 42 17.故选 C. 7 (2017 邢台模拟 )当 x， y 满足不等式组? x 2y2 ，y 4 x，x 7y2时， 2 kx y2 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ( ) A 1,1 B 2,0 C.? ? 15， 35
6、D.? ? 15， 0 答案 D 解析 作出不等式组表示的平面区域 ， 如图中阴影部分所示 ， 设 z kx y， 由? x 2y 2，y 4 x， 得 ? x 2，y 2， 即 B( 2,2)， 由? x 2y 2，x 7y 2， 得 ? x 2，y 0， 即 C(2,0)， 由 ? y 4 x，x 7y 2， 得? x 5，y 1， 即 A( 5 ， 1) ， 要使不等式 2 kx y2 恒成立 ， 则=【 ;精品教育资源文库 】 = ? 2 2k 22 ， 22 k2 ， 2 5k 12 ，即? 2 k0 ， 1 k1 ， 15 k 35，所以 15 k0 ， 故选 D. 8 (2018
7、 南昌十校一模 )已知不等式组? 2x y 20 ，3x y 80 ，x 2y 10 ，则 z yx 1的最大值与最小值的比值为 ( ) A 2 B 12 C 83 D 13 答案 C 解析 如图所示 ， 不等式组? 2x y 20 ，3x y 80 ，x 2y 10所表示的平面区域为图中的阴影部分 ，易知 z yx 1表示平面区域内的点与定点 P( 1,0)连线的斜率由? 3x y 8 0，2x y 2 0， 可得? x 2，y 2， 故 A(2,2)， 由 ? 3x y 8 0，x 2y 1 0， 可得 ? x 3，y 1， 故 B(3， 1)， 数形结合知 AP的斜率最大 ， 此时 z
8、yx 1最大 ， 故 zmax 23； BP 的斜率最小 ， zmin 14.故 z yx 1的最大值=【 ;精品教育资源文库 】 = 与最小值的比值为 83， 故选 C. 9 (2017 江西模拟 )某农户计划种植黄瓜和韭菜，种 植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量 /亩 年种植成本 /亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润 (总利润总销售收入总种植成本 )最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积 (单位：亩 )分别为 ( ) A 50,0 B 30,2
9、0 C 20,30 D 0,50 答案 B 解析 设种植黄瓜 x 亩，种植韭菜 y 亩，因此，原问题转化为在条件 ? x y50 ，1.2x 0.9y54 ，x0 ，y0下， 求 z 0.554 x 0.36 y 1.2x 0.9y x 0.9y 的最大值画出可行域如图利用线性规划知识可知，当 x， y 取? x y 50，1.2x 0.9y 54 的交点 B(30,20)时， z 取得最大值故选B. 10 (2018 石家庄质检 )在平面直角坐标系中，不等式组? x y0 ，x y0 ，x2 y2 r2(r 为常数 )表示的平面区域的面积为 ，若 x， y 满足上述约束条件，则 z x y
10、1x 3 的最小值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 1 B 5 2 17 C.13 D 75 答案 D 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知 14 r2 ，解得 r2.z x y 1x 3 1 y 2x 3，表示可行域内的点与点 P( 3,2)连线的斜率加上 1，由图知当可行域内的点与点 P 的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为 y 2 k(x 3)，即 kx y 3k 2 0，则有 |3k 2|k2 1 2，解得 k 125 或 k 0(舍去 )，所以 zmin 1 125 75，故选 D. 二、填空题 11 (2018 银川质检 )设 x， y
11、满足约束条件? x y 70 ，x 3y 10 ，3x y 50 ，则 z 2x y 的最大值为 _ 答案 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 画出不等式组 ? x y 70 ，x 3y 10 ，3x y 50表示的可行域，如图中阴影部分所示，将 z 2x y 化为 y 2x z， z 是直线 y 2x z 的纵截距，由 ? x y 7 0，x 3y 1 0 得 ? x 5，y 2， B 的坐标为 (5,2)，则 y 2x z 过点 B(5,2)时， z 2x y 有最大值 10 2 8. 12 (2018 广州模拟 )已知 x， y 满足约束条件? 2x y 20 ，x 2y 20
12、，x y 20 ，若 z x ay(a 0)的最大值为 4，则 a _. 答案 3 解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则 A(2,0)， B( 2， 2)显=【 ;精品教育资源文库 】 = 然直线 z x ay 过 A 时不能取得最大值 4，若直线 z x ay 过点 B 时取得最大值 4，则 2 2a 4，解得 a 3，此时，目标函数为 z x 3y，作出直线 x 3y 0，平移该直线，当直线经过点 B 时，截距最小，此时， z 的最大值为 4，满足条件 13 (2017 山西五校 3 月联考 )不等式组? y 10 ，x y 20 ，x 4y 80表示的平面区域为 ，直线
13、 x a(a 1)将平面区域 分成面积之比为 1 4 的两部分，则目标函数 z ax y 的最大值为 _ 答案 9 解析 如图，平面区域 为 ABC 及其内部，作直 线 x a(1a4)交 BC， AC 分别于点 E，F.由题意可知 S EFC 15S ABC，则 12(4 a) ? ? 14a 2 1 15 1251 12，可得 a 2，所以目标函数 z ax y 即为 z 2x y，易知 z 2x y 在点 C(4,1)处取得最大值，则 zmax 9. 14 (2017 河北衡水中学 3 月模拟 )已知点 P(x， y)的坐标满 足? x0 ，y x，y 2x 1，则x yx2 y2的取值
14、范围为 _ 答案 ( 2， 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 解法一：作出不等式组? x0 ，y x，y 2x 1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中 B( 1， 1)， C(0,1) 设 A(1,1)， P(x， y)，向量 OA ， OP 的夹角为 ， OA OP x y， |OP | x2 y2， cos OA OP|OA |OP | x y2 x2 y2 22 x yx2 y2， 由图可知 AOC AOB， 即 45 180 ， 1 cos 22 ， 即 1 22 x yx2 y2 22 ， 2 x yx2 y21. 解法二：作出不等式组 ? x0 ，y x，y 2x 1表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 其中 B( 1， 1)， C(0,1)， 设 P(x， y)， POx，则 xx2 y2 cos ，yx2 y2 sin . ?2 ，54 ， x yx2 y2 cos sin 2sin? ? 4 .
