1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 2 两条直线的位置关系 知识梳理 1两直线的平行、垂直与其斜率的关系 2三种距离 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3常用的直线系方程 (1)与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By m 0(m R 且 m C) (2)与直线 Ax By C 0 垂直的直线系方程是 Bx Ay m 0(m R) (3)过直线 l1： A1x B1y C1 0 与 l2： A2x B2y C2 0 的交点的直线系方程为 A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0( R)，但不包括 l2. 诊断自测 1概念思辨 (1)如果两条直线 l1与 l2垂直，
2、则它们的斜率之积一定等于 1.( ) (2)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交 ( ) (3)已知直线 l1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0(A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数 )，若直线 l1 l2，则 A1A2 B1B2 0.( ) (4)若点 A， B 关于直线 l： y kx b(k0) 对称，则直线 AB 的斜率等于 1k，且线段 AB的中点在直线 l 上 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A2P89A 组 T1)若直线 l 经过点 (a 2， 1)和 ( a 2,1)，且与经过点 (
3、 2,1)、斜率为 23的直线垂直，则实数 a 的值是 ( ) A 23 B 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.23 D.32 答案 A 解析 由于直线 l 与经过点 ( 2,1)的斜率为 23的直线垂直，可知 a 2 a 2.因为直线 l 的斜率 k1 1 ? 1? a 2 ?a 2? 1a，所以 1a ? ? 23 1，所以 a 23.故选 A. (2)(必修 A2P101A 组 T11)已知直线 l： x y 1 0， l1： 2x y 2 0，若直线 l2与 l1关于 l 对称，则 l2的方程是 ( ) A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C x y 1 0 D x
4、2y 1 0 答案 B 解析 求出两条直线的交点坐标为 (1,0)，任取 l1上一点 (2,2)，求出其关于直线 x y 1 0 的对称点为 (3,1)，之后利用两点式求出 l2的方程为 x 2y 1 0.故选 B. 3小题热身 (1)设 a R，则 “ a 1” 是 “ 直线 l1： ax 2y 1 0 与直线 l2： x (a 1)y 4 0 平行 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当 l1 l2时，得 a2 1a 1，解得 a 1 或 a 2，代入检验符合，当 a 1 时，易知 l1 l2， “ a 1” 是 “
5、l1 l2” 的充分不必要 条件，故选 A. (2)(2017 广州模拟 )直线 x 2y 1 0 关于 x 1 对称的直线方程是 ( ) A x 2y 1 0 B 2x y 1 0 C 2x y 3 0 D x 2y 3 0 答案 D 解析 由题意得直线 x 2y 1 0 与 x 1 的交点坐标为 (1,1)，又直线 x 2y 1 0上的点 ( 1,0)关于直线 x 1 对称的点为 (3,0)，所以由直线方程两点式，得 y 01 0 x 31 3，即 x 2y 3 0.故选 D. 题型 1 两直线的平行与垂直 典例 1 已知两条直线 l1： (a 1)x 2y 1 0， l2： x ay 3
6、 0 平行，则 a 等于 ( ) A 1 B 2 C 0 或 2 D 1 或 2 分类讨论法 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 若 a 0，两直线方程分别为 x 2y 1 0 和 x 3，此时两直线相交，不平行，所以 a0 ； 当 a0 时，两直线平行，则有 a 11 2a 13，解得 a 1 或 2.故选 D. 典例 2 已知经过点 A( 2,0)和点 B(1,3a)的直线 l1与经过点 P(0， 1)和点 Q(a， 2a)的直线 l2互相垂直，则实数 a 的值为 _ 分类讨论法 答案 1 或 0 解析 l1的斜率 k1 3a 01 ? 2? a. 当 a0 时， l2的斜率
7、 k2 2a ? 1?a 0 1 2aa . 因为 l1 l2， 所以 k1k2 1，即 a 1 2aa 1，解得 a 1. 当 a 0 时， P(0， 1)， Q(0,0)， 这时直线 l2为 y 轴， A( 2， 0)， B(1,0)，直线 l1为 x 轴，显然 l1 l2. 综上可知，实数 a 的值为 1 或 0. 方法技巧 研究两直线平行与垂直关系的解题策略 1已知两直线的斜率存在 (1)两直线平行 ?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直 ?两直线的斜率之积等于 1. 2当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到
8、斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件 冲关针对训练 1 (2018 宁夏银川九中 模拟 )已知 b 0，直线 (b2 1)x ay 2 0 与直线 x b2y 1 0 垂直，则 ab 的最小值为 ( ) A 1 B 2 C 2 2 D 2 3 答案 B 解析 由已知两直线垂直，得 (b2 1) ab2 0，即 ab2 b2 1，又 b 0， ab b 1b.由基本不等式得 b 1b2 b 1b 2，当且仅当 b 1 时等号成立， (ab)min 2.故选 B. 2 (2017 西安模拟 )已知 a， b 为正数， 且直线 ax by 6 0 与直线 2x
9、 (b 3)y 5=【 ;精品教育资源文库 】 = 0 平行，则 2a 3b 的最小值为 _ 答案 25 解析 由两直线平行可得， a(b 3) 2b，即 2b 3a ab， 2a 3b 1.又 a， b 为正数，所以 2a 3b (2a 3b) ? ?2a 3b 13 6ab 6ba 13 2 6ab 6ba 25，当且仅当 a b 5时取等号，故 2a 3b 的最小值为 25. 题型 2 两条直线相交及距离问题 典例 1 (2018 福建厦门联考 )“ C 5” 是 “ 点 (2,1)到直线 3x 4y C 0 的距离为3” 的 ( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既
10、不充分也不必要条件 直接求满足条件的 C 的取值再判定 答案 B 解析 点 (2,1)到直线 3x 4y C 0 的距离为 3 等价于 |32 41 C|32 42 3，解得 C5 或 C 25，所以 “ C 5” 是 “ 点 (2,1)到直线 3x 4y C 0 的距离为 3” 的充分不必要条件，故选 B. 典例 2 已知直线 y kx 2k 1 与直线 y12x 2 的交点位于第一象限，则实数 k的取值范围是 _ 画出直线 y 12x 2，分析直线系 y kx 2k 1 动态思考 答案 ? ? 16， 12 解析 如图，已知直线 y 12x 2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A(4， 0
11、)， B(0,2) 而直线方程 y kx 2k 1 可变形为 y 1 k(x 2)，表示这是一条过定点 P( 2,1)，斜率为 k 的动直线 两直线的交点在第一象限， =【 ;精品教育资源文库 】 = 两直线的交点必在线段 AB 上 (不包括端点 )， 动直线的斜率 k 需满足 kPAkkPB. kPA 16， kPB 12. （ 16， 12） . 方法技巧 求过两直线交点的直线方程的方 法 1直接法 (1)先求出两直线的交点坐标 (2)结合题设中的其他条件，写出直线方程 (3)将直线方程化为一般式 2直线系法 (1)设过两直线 A1x B1y C1 0， A2x B2y C2 0 交点的直
12、线方程为 A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0. (2)利用题设条件，求 的值，得出直线方程 (3)验证 A2x B2y C2 0 是否符合题意 (4)得出结论 冲关针对训练 (2017 钦州期末 )直线 l 过 P(1,2)，且 A(2,3)， B(4， 5)到 l 的距离相等，则直线 l的方程是 ( ) A 4x y 6 0 B x 4y 6 0 C 3x 2y 7 0 或 4x y 6 0 D 2x 3y 7 0 或 x 4y 6 0 答案 C 解析 设所求直线为 l， 由条件可知直线 l 平行于直线 AB 或过线段 AB 的中点， AB 的斜率为 3 52 4 4，当直线
13、 l AB 时， l 的方程是 y 2 4(x 1)，即 4x y 6 0. 当直线 l 经过线段 AB 的中点 (3， 1)时， l 的斜率为 2 11 3 32， l 的方程是 y 2 32(x 1)，即 3x 2y 7 0. 故所求直线的方程为 3x 2y 7 0 或 4x y 6 0. 故选 C. 题型 3 对称问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 (2017 沧州模拟 )已知直线 l： 2x 3y 1 0，点 A( 1， 2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A 的坐标为 _ 此类问题用方程组法 答案 ? ? 3313， 413 解析 设 A( x， y)，由已知条件得 ?
14、 y 2x 1 23 1，2 x 12 3 y 22 1 0，解得? x 3313，y 413. A ? ? 3313， 413 . 结论探究 1 本例中条件不变，求直线 l 关于点 A( 1， 2)对称的直线 l 的方程 解 l l ， 设 l 的方程为 2x 3y C 0(C1) 点 A( 1， 2)到两直线 l， l 的距离相等， 由点到直线的距离公式， 得 | 2 6 C|22 32 | 2 6 1|22 32 ，解得 C 9， l 的方程为 2x 3y 9 0. 结论探究 2 本例中条件不变，求直线 m： 3x 2y 6 0 关于直线 l 的对称直线 m的方程 解 在直线 m 上取一
15、点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M 必在直线 m 上 设对称点 M( a， b)，则 ? 2 ? ?a 22 3 ? ?b 02 1 0，b 0a 223 1，得 M ? ?613， 3013 . 设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则 由? 2x 3y 1 0，3x 2y 6 0， 得 N(4,3) 又 m 经过点 N(4,3)， 由两点式得直线 m 的方程为 9x 46y 102 0. 方法技巧 1中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点的对称 =【 ;精品教育资源文库 】 = 若点 M(x1， y1)及 N(x， y)关于 P(a， b)对称，则由中点坐标公式得? x 2a x1，y 2b y1， 进而求解
