1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.5 古典概型 知识梳理 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是 互斥 的 (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成 基本事件 的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 相等 3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的 概率 P(A) mn. 4古典概型的概率公式 P(A) A包含的基本事件的
2、个数 基本事件的总数 . 诊断自测 1概念思辨 (1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的 . ( ) (2)事件 A， B 至少有一个发生的概率一定比 A， B 中恰有一个发生的概率大 ( ) (3)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合 I，那么事件 A 的概率为 card?A?card?I?.( ) (4)利用古典概型的概率可求 “ 在边长为 2 的正方 形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1” 的概率 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A3P134A 组 T5)在平面直角坐标系中点 (x， y)
3、，其中 x， y 0,1,2,3,4,5，且x y，则点 (x， y)在直线 y x 的上方的概率是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.13 B.12 C.14 D.23 答案 B 解析 在平面直角坐标系中满足 x， y 0,1,2,3,4,5，且 x y 的点 (x， y)共有 66 6 30 个，而满足在直线 y x 的上方，即 yx 的点 (x， y)的基本事件共有 15 个，故所求概率为 P 1530 12.故选 B. (2)(必修 A3P133A 组 T1)已知 A， B， C， D 是球面上的四个点，其中 A， B， C 在同一圆周上，若 D 不在 A， B， C 所在
4、的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取 2 条，这两条直线是异面直线的概率等于 _ 答案 15 解析 A， B， C， D 四点可构成一个以 D 为顶点的三棱锥，共 6 条棱，则所有基本事件有： (AB， BC)， (AB， AC)， (AB， AD)， (AB， BD)， (AB， CD)， (BC， CA)， (BC， BD)， (BC，AD)， (BC， CD)， (AC， AD)， (AC， BD)， (AC， CD)， (AD， BD)， (AD， CD)， (BD， CD)，共 15个，其中满足条件的基本事件有： (AB， CD)， (BC， AD)， (AC， BD)，共 3
5、 个，所以所求概率P 315 15. 3小题热身 (1)(2016 全国卷 )为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中， 余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C 解析 解法一：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种有以下选法： (红黄 )、 (红白 )、 (红紫 )、 (黄白 )、 (黄紫 )、 (白紫 )，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛 (亦即黄色和白色的花不在同一花坛 )的选法有 4 种，所以所求事件的概率 P 46 23，故选 C. 解法二 ：设红
6、色和紫色的花在同一花坛为事件 A，则事件 A 包含 2 个基本事件：红紫与黄白，黄白与红紫由解法一知共有 6 个基本事件，因此 P(A) 26 13，从而红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 P(A) 1 P(A) 23.故选 C. (2)(2018 山西联考 )从 (40,30)， (50,10)， (20,30)， (45,5)， (10,10)这 5 个点中任取一个，这个点在圆 x2 y2 2016 内部的概率是 ( ) A.35 B.25 C.15 D.45 答案 B 解析 从 (40,30)， (50,10)， (20,30)， (45,5)， (10,10)这 5 个点中任取一个的基
7、本事=【 ;精品教育资源文库 】 = 件总数为 5， 这个点在圆 x2 y2 2016 内部包含的基本事件有 (20,30)， (10,10)，共 2 个， 这个点在圆 x2 y2 2016 内部的概率 P 25，故选 B. 题型 1 简单古典概型的求解 典例 1 (2016 北京高考 )从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为 ( ) A.15 B.25 C.825 D.925 答案 B 解析 设其他 3 名学生为丙、丁、戊，从中任选 2 人的所有情况有 (甲，乙 )， (甲，丙 )，(甲，丁 )， (甲，戊 )， (乙，丙 )， (乙，丁 )， (乙，戊 )， (丙，丁
8、 )， (丙，戊 )， (丁，戊 )，共 4 3 2 1 10 种 其中甲被选中的情况有 (甲，乙 )， (甲，丙 )， (甲，丁 )， (甲，戊 )，共 4 种，故甲被选中的概率为 410 25，或 P C11C14C25 25.故选 B. 典例 2 (2017 山西一模 )现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛，共有 2 道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 ( ) A.13 B.23 C.12 D.34 答案 C 解析 记两道题分别为 A， B，所有抽取的情况为 AAA， AAB， ABA， ABB， BAA， BAB，
9、BBA，BBB(其中第 1 个，第 2 个分别表示两个女教师抽取的题目，第 3 个表示男教师抽取的题目 )，共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为 ABA， ABB， BAA， BAB，共 4 种故所求事件的概率为 12.故选 C. 方法技巧 应用古典概型求某事件的步骤 第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； 第二步，分别 求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m； 第三步，利用公式 P(A) mn，求出事件 A 的概率见典例 1,2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 冲关针对训练 (2018 安徽名校模拟 )某车展展出甲、乙
10、两种最新款式的汽车，现从参观人员中随机选取 100 人对这两种汽车均进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格，由统计信息可知，甲种汽车被评价为优秀的频率为 35，良好的频率为 25；乙种汽车被评价为优秀的频率为 710，良好的频率是合格的频率的 5 倍 (1)求这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数； (2)如果从这 100 人中按甲种汽车的评价等级用分层抽样的方法抽取 5 人，再从其他对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取 1 人进行座谈会，会后从这 7 人中随机抽取 2 人，求选取的 2 人评价都是优秀的概率 解 (1)因为对乙种汽车评价优秀的频率为 710， 故评价良好或合格的
11、频率为 1 710 310. 设评价合格的频率为 x，则评价良好的频率为 5x，由题意可得 x 5x 310，解得 x 120. 所以这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数为 100 ? ?710 5 120 95. (2)因为对甲种汽车评价优秀的频率为 35，良好的频率为 25，则用分层抽样的方法抽取 5人，其中有 3 人评价优秀， 2 人评价良好 又从对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取 1 人，所以 7 人中评价优秀的 4 人，评价良好的 3 人 由题意得： P C24C2727. 题型 2 复杂古典概型的求解 典例 (2016 山东高考 )某儿童乐园在 “ 六一 ” 儿童节推出
12、了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x， y.奖励规则如下： =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 xy3 ，则奖励玩具一个； 若 xy8 ，则奖励水杯一个； 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动 (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮 获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 解 用数对 (x， y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集 S (x，y)|x N， y N,1 x4,1 y4 一一对应 因为 S 中元素的个数是 44 16
13、， 所以基本事件总数 n 16. (1)记 “ xy3” 为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即 (1,1)， (1,2)， (1,3)，(2,1)， (3,1) P(A) 516，即小亮获得玩具的概率为 516. (2)记 “ xy8” 为事件 B， “3516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 结论探究 本例中条件不变，试求小亮不能获得玩具的概率 解 由题意知当 xy 3 时 ，小亮不能获得玩具，此时包含基本事件共 11 个，即 (1,4)，(2,2)， (2,3)， (2,4)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)，
14、(4,4)，而基本事件总数共 16 个，所以此事件概率为 P 1116. 或根据对立事件求解： xy3 时包含事件个数为 5 个，故其获得玩具的概率为 516，则不能获得玩具的概率为 1 516 1116. =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法技巧 1复杂古典概型的求解策略 求较复杂事件的概率问题，解题关键 是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解 2基本事件个数的确定方法 冲关针对训练 (2018 成都诊断 )某市 A， B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中
15、学推荐了 3 名男生、2 名女生， B 中学推荐了 3 名男生、 4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队 (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，求参赛女生人数不少于 2人的概率 解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有 6 名 参赛学生全从 B 中学抽取 (等价于 A 中学没有学生入选代表队 )的概率为 C33C34C36C361100， 因此， A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 1100 99100. (2)设 “ 参赛的 4人中女生不少于 2人 ” 为事件 A，记 “ 参 赛女生有 2人 ” 为事件 B， “ 参赛女生有 3 人 ” 为事件 C. 则 P(B) C23C23C46 35， P(C)C33C13C46 15. 由互斥事件的概率加法， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 P(A) P(B) P(C) 35 15
