1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10 9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布 重点保分 两级优选练 A 级 一、选择题 1已知 的分布列为 1 0 1 P 12 13 16 则在下列式中： E( ) 13； D( ) 2327； P( 0) 13.正确的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 E( ) ( 1) 12 1 16 13，故 正确 D( ) ? ? 1 13 2 12 ? ?0 13 2 13 ? ?1 13 2 16 59，故 不正确由分布列知 正确故选 C. 2已知随机变量 X Y 8，若 X B(10,0.6)，则 E(Y)， D(Y)分别是 (
2、) A 6 和 2.4 B 2 和 2.4 C 2 和 5.6 D 6 和 5.6 答案 B 解析 由已知随机变量 X Y 8，所以 Y 8 X.因此，求得 E(Y) 8 E(X) 8 100.6 2， D(Y) ( 1)2D(X) 100.60.4 2.4.故选 B. 3 (2018 广东茂名模拟 )若离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P a2 a22 则 X 的数学期望 E(X) ( ) A 2 B 2 或 12 C.12 D 1 答案 C 解析 因为分布列中概率和为 1，所以 a2 a22 1，即 a2 a 2 0，解得 a 2(舍去 )或 a 1，所以 E(X) 12.故选
3、C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 (2017 青岛质检 )设随机变量 服从正态分布 N(1， 2)，则函数 f(x) x2 2x 不存在零点的概率为 ( ) A.12 B.23 C.34 D.45 答案 A 解 析 函数 f(x) x2 2x 不存在零点的条件是 22 41 1.又 N(1， 2)，所以 P( 1) 12，即所求事件的概率为 12.故选 A. 5 (2018 山东聊城重点中学联考 )已知服从正态分布 N( ， 2)的随机变量在区间 ( ， )， ( 2 ， 2 )和 ( 3 ， 3 )内取值的概率分别为 68.3%,95.4%和 99.7%.某校为高一年级 1000
4、名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高 (单位： cm)服从正态分布 (165,52)，则适合身高在 155 175 cm 范围内的校服大约要定制 ( ) A 683 套 B 954 套 C 972 套 D 997 套 答案 B 解析 P(1551.75，则 p 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 712 B.? ?0， 12 C.? ?712， 1 D.? ?12， 1 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为 p，即 P(X 1) p，发球二次的概率 P(X 2) p(1 p)，发球三次 的概率 P(X 3) (1 p)2，则 E(X) p
5、 2p(1 p) 3(1 p)2 p2 3p 3，依题意有 E(X)1.75，则 p2 3p 31.75，解得 p52或 p9) 0.15.故耗油量大于 9 升的汽车大约有 12000.15 180 辆 14 (2017 安徽蚌埠模拟 )赌博有陷阱某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9 的小球中随机摸取一个 (除数字不同外，其余均相同 )，将小球上的数字作为其赌金 (单位：元 )，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2 倍作为其奖金 (单位：元 )若随机变量 和 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则 E( ) E( ) _元 答案 3
6、 解析 的分布列为 5 6 7 8 9 P 15 15 15 15 15 E( ) 15(5 6 7 8 9) 7(元 ) 的分布列为 2 4 6 8 P 25 310 15 110 E( ) 2 25 4 310 6 15 8 110 4(元 )， E( ) E( ) 7 4 3(元 ) 故答 案为 3. B 级 三、解答题 15 (2018 湖北八校第二次联考 )某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取 100 名市民，按年龄 (单位：岁 )进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下： 分组 (岁 ) 频数 25,30) x 30,35) y 35,40) 35 40,45) 30
7、 45,50 10 =【 ;精品教育资源文库 】 = 合计 100 (1)求频率分布表中 x、 y 的值，并补全频率分布直方图； (2)在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这 20 人中 随机选取 2 人各赠送精美礼品一份，设这 2 名市民中年龄在 35,40)内的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 解 (1)由题意知， 25,30)内的频率为 0.015 0.05，故 x 1000.05 5.因 30,35)内的频率为 1 (0.05 0.35 0.3 0.1) 1 0.8 0.2，故 y 1000.2 20，且 30,35)
8、这组对应的 频率组距 0.25 0.04.补全频率分布直方图略 (2) 年龄从小到大的各层人数之间的比为 5 20 35 30 10 1 4 7 6 2，且共抽取 20 人， 抽取的 20 人中，年龄在 35,40)内的人数为 7. X 可取 0,1,2， P(X 0) C213C22078190， P(X 1) C113C17C220 91190， P(X 2) C27C22021190， 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 78190 91190 21190 故 E(X) 911901 211902 133190. 16新生儿 Apgar 评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一
9、个评估，主要从=【 ;精品教育资源文库 】 = 呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分， 评分在 8 10 分者为正常新生儿，评分在 4 7 分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在 4 分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在 7 10 分之间某医院 妇产科从 9 月份出生的新生儿中随机抽取了 16 名，表格记录了他们的评分情况 分数段 0,7) 7,8) 8,9) 9,10 新生儿数 1 3 8 4 (1)现从这 16 名新生儿中随机抽取 3 名，求至多有 1 名新生儿的评分不低于 9 分的概率； (2)用这 16 名新生儿的 Apgar 评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从
10、本年度新生儿中任选 3 名，记 X 表示抽到评分不低于 9 分的新生儿数，求 X 的分布列及数学期望 解 (1)设 Ai表示所抽取的 3 名新生儿中有 i 名的评分不低于 9 分， “ 至多有 1 名新生儿的评分不低于 9 分 ” 记为事件 A， 则由表格中数据可知 P(A) P(A0) P(A1) C312C316C14C212C316 121140. (2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选 1 名，评分不低于 9 分的概率为 416 14， 由题意知随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 P(X 0) ? ?34 3 2764； P(X 1) C13? ?14 1? ?34
11、2 2764； P(X 2) C23? ?14 2? ?34 1 964； P(X 3) C33? ?14 3 164. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 E(X) 0 2764 1 2764 2 964 3 164 0.75 ?或 E X 3 14 0.75 . 17 (2015 湖南高考 )某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖每次抽奖都是从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中各随机摸出 1 个球在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，
12、则不获奖 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的数学期望和方差 解 (1)记事件 A1 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 ， A2 从乙箱中摸出的 1 个球是红球 ， B1 顾客抽奖 1 次获一等奖 ， B2 顾客抽奖 1 次获二等奖 ， C 顾客抽奖 1 次能获奖 由题意， A1与 A2相互独立， A1 A2与 A1A2互斥， B1与 B2互斥，且 B1 A1A2， B2 A1 A2 A1A2，C B1 B2.因为 P(A1) 410 25， P(A2) 510 12，
13、 所以 P(B1) P(A1A2) P(A1)P(A2) 25 12 15， P(B2) P(A1 A2 A1A2) P(A1 A2) P(A1A2) P(A1)P(A2) P(A1)P(A2) P(A1)1 P(A2) 1 P(A1)P(A2)25 ?1 12 ?1 25 1212.故所求概率为 P(C) P(B1 B2) P(B1) P(B2)1512710. (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由 (1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 15， 所以 X B? ?3， 15 .故 X 的数学期望为 E(X) 3 15 35， 方差为 D(X) 3 15 45 1225.
14、 18 (2018 江淮十校联考 )某市级教研室对辖区内高三年级 10000 名学生的数 学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布 N(120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85 分到 145 分之间的 50 名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图 (1)试估算该校高三年级数学的平均成绩； (2)从所抽取的 50 名学生中成绩在 125 分 (含 125 分 )以上的同学中任意抽取 3 人，该 3人在全市前 13 名的人数记为 X，求 X 的期望 =【 ;精品教育资源文库 】 = 附：若 X N( ， 2)，则 P( 3 X 3 ) 0.9974. 解 (1)由频
15、率分布直方图可知 125,135)的频率为 1 10(0.01 0.024 0.03 0.016 0.008) 0.12， 该校高三年级数学的平均成绩为 900.1 1000.24 1100.3 1200.16 1300.12 1400.08 112(分 ) (2)由于 1310000 0.0013，由正态分布得 P(120 35 X120 35) 0.9974，故P(X135) 1 0.99742 0.0013，即 0.001310000 13， 所以前 13 名的成绩全部在 135 分以上，由频率分布直方图可知这 50 人中 成绩在 135 以上 (包括 135 分 )的有 500.08 4 人，而在 125,145)的学生有 50(0.12 0.08) 10 人，所以 X 的取值为 0,1,2,3， P(X 0) C36C31016， P(X 1)C26C14C310 12， P(X 2) C16C24C310 310， P(X 3)C34C310130
