1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 52 讲 抛物线 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 2了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景 3理解数形结合思想 . 2017 全国卷 ，10 2017 全国卷 ，16 2017 北京卷， 18 2016 浙江卷， 9 1.求解与抛物线定义有关的问题，利用抛物线的定义求轨迹方程，求抛物线的标准方程 2求抛物线的焦点和准线，求解与抛物线焦点有关的问题 (如焦点弦、焦半径等问题 ). 分值： 5 分 1抛物线的定义 平面内与一个定 点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)_距离相等 _的点的轨迹叫做
2、抛物线点 F 叫做抛物线的 _焦点 _，直线 l 叫做抛物线的 _准线 _ 2抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2 2px (p 0) y2 2px (p 0) x2 2py (p 0) x2 2py (p 0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O_(0,0)_ 对称轴 _y 0_ _x 0_ 焦点 F? ?p2， 0 F? ? p2， 0 F? ?0， p2 F? ?0， p2 离心率 e _1_ 准线 _x p2_ _x p2_ _y p2_ _y p2_ 范围 x0 ， y R x0 ， y R y0 ， x R y0 ， x R 开口方向 向右 向左
3、向上 向下 焦半径 (其中 P(x0，| |PF | |PF | |PF | |PF =【 ;精品教育资源文库 】 = y0) _x0p2_ _ x0p2_ _y0 p2_ _ y0 p2_ 3必会结论 抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y2 2px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 (1)x1x2 p24， y1y2 p2. (2)弦长 |AB| x1 x2 p 2psin2 ( 为弦 AB 的倾斜角 ) (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切 (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”
4、) (1)平面内与一个 定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)方程 y ax2(a0) 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ? ?a4， 0 ，准线方程是 x a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 ( ) 解析 (1)错误当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线； (2)错误方程 y ax2(a0) 可化为 x2 1ay 是 焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是?0， 14a ，准线方程是 y14a； (3)错误抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 2抛物线 y 2x2的准线方程是
5、 ( D ) A x 12 B x 18 C y 12 D y 18 解析 抛物线方程为 x2 12y， p 14，准线方程为 y 18. 3抛物线 y2 24ax(a 0)上有一点 M，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为 ( A ) A y2 8x B y2 12x =【 ;精品教育资源文库 】 = C y2 16x D y2 20x 解析 准线方程为 l： x 6a， M 到准线的距离等于它到焦点的距离，则 3 6a 5， a 13，抛物线方程为 y2 8x. 4若点 P 到直线 x 1 的距离比它到点 (2,0)的距离小 1，则点 P 的轨迹为 ( D ) A圆 B
6、椭圆 C双曲线 D抛物线 解析 由题 意知，点 P 到点 (2,0)的距离与 P 到直线 x 2 的距离相等，由抛物线定义得点 P 的轨迹是以 (2,0)为焦点、以直线 x 2 为准线的抛物线 5在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A(2,1)，若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y2 2px(p 0)的焦点，则该抛物线的准线方程是 _x 54_. 解析 线段 OA 的中垂线方程为 4x 2y 5 0， 令 y 0 得 x 54， 焦点 F? ?54， 0 ，准线方程为 x 54. 一 抛物线的定义及应用 抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离
7、的转化 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出 “ 两点之间线段最短 ” ，使问题得解 (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用 “ 与直线上所有点的连线中垂线段最短 ” 原理解决 【例 1】 (1)已知抛物线 x2 4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为 ( D ) A 34 B 32 C 1 D 2 (2)(2017 全国卷 )已知 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l1， l2，直线 l1与 C 交于 A， B 两点，直线 l2与 C 交于 D， E 两点，则 |AB| |DE
8、|的最小值为( A ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 16 B 14 C 12 D 10 解析 (1)由题意知，抛物线的准线 l： y 1，过点 A 作 AA1 l 垂足为点 A1，过点 B作 BB1 l 垂足为点 B1，设弦 AB 的中点为 M，过点 M 作 MM1 l 交 l 于点 M1，则 |MM1|AA1| |BB1|2 . 因为 |AB| AF| |BF|(F 为抛物线的焦点 )，即 |AF| |BF|6 ， 所以 |AA1| |BB1|6,2| MM1|6 ， |MM1|3. 故点 M 到 x 轴的距离 d2. (2)抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F(1,0)，由题意
9、可知 l1， l2的斜率存在且不为 0.不妨设直线 l1的斜率为 k，则 l1： y k(x 1)， l2： y 1k(x 1)，由? y2 4x，y k?x 1?， 消去 y 得k2x2 (2k2 4)x k2 0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2 2k2 4k2 24k2，由抛物线的定义可知， |AB| x1 x2 2 2 4k2 2 4 4k2.同理得 |DE| 4 4k2， |AB| |DE| 4 4k24 4k2 8 4? ?1k2 k2 8 8 16，当且仅当 1k2 k2，即 k 1 时取等 号，故 |AB| |DE|的最小值为 16，故选 A 二 抛物
10、线的标准方程及其几何性质 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p值即可 (2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程 (3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性 【例 2】 (1)已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的两条渐近线与抛物线 y2 2px(p 0)的准线分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为 3，则p ( C ) A 1 B 32 C 2 D
11、 3 (2)抛物线 x2 2py(p 0)的焦点为 F，其准线与双曲线 x23y23 1 相交于 A， B 两点，若=【 ;精品教育资源文库 】 = ABF 为等边三角形，则 p _6_. 解析 (1)因为双曲线的离心率 e ca 2，所以 b 3a，所以双 曲线的渐近线方程为 y 3x，与抛物线的准线 x p2相交于点 A? ? p2， 32 p ，点 B? ? p2， 32 p ，所以 AOB的面积为 12 p2 3p 3，又 p 0，所以 p 2. (2)在等边三角形 ABF 中， AB 边上的 高为 p， AB2 33 p，所以 B? ?33 p， p2 .又因为点 B在双曲线上，故p
12、233p243 1，解得 p 6. 三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点 ，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 | |AB x1 x2 p；若不过焦点，则必须用弦长公式 【例 3】 已知抛物线 C： y2 2px(p 0)的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 M， N 两点，且 | |MN 8. (1)求抛物线 C 的方程； (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线，且 l MN，点 P 为 l 上一点，求 PM PN 的
13、最小值 解析 (1)由题意可知 F? ?p2， 0 ，则该直线方程为 y x p2， 代入 y2 2px(p 0)，得 x2 3px p24 0， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， | |MN 8， x1 x2 p 8， 即 3p p 8，解得 p 2， 抛物线的方程为 y2 4x. (2)设直线 l 的方程为 y x b，代入 y2 4x，得 x2 (2b 4)x b2 0. 直线 l 为抛物线 C 的切线， 16(1 b) 0，解得 b 1， 直线 l 的方程为 y x 1.由 (1)可知： x1 x2 6， x1x2 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 P(m， m
14、 1)，则 PM (x1 m， y1 (m 1)， PN (x2 m， y2 (m 1)， PM PN (x1 m)(x2 m) y1 (m 1)y2 (m 1) x1x2 m(x1 x2) m2 y1y2 (m 1)(y1 y2) (m 1)2. x1 x2 6， x1x2 1， (y1y2)2 16x1x2 16， y1y2 4. y21 y22 4(x1 x2)， y1 y2 4 x1 x2y1 y2 4. PM PN 1 6m m2 4 4(m 1) (m 1)2 2(m2 4m 3) 2(m 2)2 7 14. 当且仅当 m 2 时，即点 P 的坐标为 (2,3)时， PM PN 取
15、最小值为 14. 1若动圆的圆心在抛物线 y 112x2上，且与直线 y 3 0 相切，则此圆恒过定点 ( C ) A (0,2) B (0， 3) C (0,3) D (0,6) 解析 直线 y 3 0 是抛物线 x2 12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线 y 3 的距离与到焦点 (0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点 (0,3) 2已知点 P是抛物线 x2 4y上的动点，点 P在 x轴上的射影是点 Q，点 A的坐标是 (8,7)，则 | |PA | |PQ 的最小值为 ( C ) A 7 B 8 C 9 D 10 解析 抛物线的焦点为 F(0,1)，准线方程为 y 1，根据抛物线的定义知， | |PF | |PM | |PQ 1. | |PA | |PQ | |PA | |PM 1 | |PA | |PF 1 | |AF 1 82 ?7 1?2 1 10 1 9， 当且仅当 A， P，
