1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 空间坐标系与空间向量 1下列等式中，使点 M 与点 A， B， C 一定共面的是 ( ) A.OM 3OA 2OB OC B.OM 12OA 13OB 15OC C.OM OA OB OC 0 D.MA MB MC 0 2 (人教 A 版选修 21P97 习题 A 组 T2 改编 )如图 X861，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若 AB a， AD b， AA 1 c，则下列向量与 BM 相等的向量是 ( ) 图 X861 A 12a 12b c B.12a 12b c C 12a 12b c D.1
2、2a 12b c 3已知空间四边形 ABCD 的每条边和 对角线的长都等于 1，点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，则 EF DC ( ) A.14 B 14 C. 34 D 34 4 (2015 年浙江 )如图 X862，三棱锥 ABCD 中， AB AC BD CD 3， AD BC 2，点M， N 分别是 AD， BC 的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是 _ 图 X862 5已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a， AM 12MC1 ，点 N 为 B1B 的中点，则 |MN| ( ) A. 216 a B. 66 a C. 156 a D. 153 a
3、 6 (2016 年山西太原模拟 )如图 X863， PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面， AB 2， E为 PB 的中点， cos DP ， AE 33 ，若以 DA， DC， DP 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 X863 A (1,1,1) B.? ?1， 1， 12 C.? ?1， 1， 32 D (1,1,2) 7正四面体 ABCD 的棱长为 2， E， F 分别为 BC， AD 中 点，则 EF 的长为 _ 8 (2016 年浙江 )如图 X864，已知平面四边形 ABCD， AB BC 3
4、， CD 1， AD 5， ADC 90. 沿直线 AC 将 ACD 翻折成 ACD ，直线 AC 与 BD 所成角的余弦的最大值是_ 图 X864 9如图 X865，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E， F， G 分别是 AB， AD， CD 的中点，计算： (1)EF BA ； (2)EG 的长； (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 图 X865 10 (2014 年新课标 )如图 X866，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB B1C. (1)证明： AC AB1； (2)若 AC AB1， CBB1 60 ， AB
5、BC，求二面角 AA1B1C1的余弦值 图 X866 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 空间坐标系与空间向量 1 D 解析： M， A， B， C 四点共面 ?OM xOA yOB zOC (x， y， z R)，且 x y z 1. MA MB MC 0?MA MB MC . 存在 x 1， y 1，使 MA xMB yMC . MA ， MB ，MC 共面 M 为公共点 M， A， B， C 四点共面 2 A 解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则， BM BB 1 B1M AA 1 12(AD AB ) c 12(b a) 12a 12b c. 3 B 解析： E， F 分
6、别是 AB， AD 的中点 EF BD 且 EF 12BD， EF 12BD . EF DC 12BD DC 12|BD | DC |cos BD ， DC 1211cos 120 14. 4.78 解析：如图 D153，连接 DN，取 DN 中点 P，连接 PM， PC，则可知 PMC 为异面直线 AN， CM 所成 的角，易得 PM 12AN 2， PC PN2 CN2 2 1 3， CM AC2 AM2 2 2， cos PMC 8 2 322 2 2 78，即异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是 78. 图 D153 5 A 解析： MN AN AM AN 13AC1 AB BN
7、 13( )AB AD AA1 23AB 16AA1 13AD . |MN | 49|AB |2 136|AA1 |2 19|AD |2 216 a. 6 A 解析：由已知得 D(0,0,0)， A(2,0,0)， B(2,2,0)， 设 P(0,0， a)(a0)，则 E? ?1， 1， a2 . 所以 DP (0,0， a)， AE ? ? 1， 1， a2 ， |DP | a， |AE | 2 12 ? ?a2 2 2 a248 a22 . 又 cos DP ， AE 33 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 01 a22a 8 a22 33 . 解得 a2 4，即 a 2.所以
8、 E(1,1,1) 7. 2 解析： |EF |2 EF 2 (EC CD DF )2 EC 2 CD 2 DF 2 2(EC CD EC DF CD DF ) 12 22 12 2(12cos 120 0 21cos 120) 2. |EF | 2. EF 的长为 2. 8. 66 解析：设直线 AC 与 BD 所成角为 .设 O 是 AC 中点，由已知，得 AC 6.如图 D154，以 OB 为 x 轴， OA 为 y 轴，过点 O 与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A? ?0， 62 ， 0 ， B? ?302 ， 0， 0 ， C? ?0， 62 ， 0 .
9、作 DH AC 于 H，翻折过程中， D H始终与 AC 垂直， CH CD2CA 1666 ，则 OH63 ， DH1 56 306 .因此可设D ? ?306 cos ， 63 ， 306 sin ，则 BD ? ?306 cos 302 ， 63 ， 306 sin ，与 CA 平行的单位向量 n (0,1,0)，所以 cos |cos BD ， n |?BD n|BD |n|639 5cos .所以 cos 1 时， cos 取最大值66 . 图 D154 9解：设 AB a， AC b， AD c. 则 |a| |b| |c| 1， a， b b， c c， a 60. (1)EF
10、12BD 12c 12a， BA a， DC b c， EF BA ? ?12c 12a ( a) 12a2 12a c 14. (2)EG EB BC CG 12a b a 12c 12b 12a 12b 12c， |EG |2 14a2 14b2 14c2 12ab 12b c 12c a 12， 则 |EG | 22 . (3)AG 12b 12c， CE CA AE b 12a， =【 ;精品教育资源文库 】 = cos AG ， CE AG CE|AG |CE | 23， 因为异面直线所成角的范围是 ? ?0， 2 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 23. 10 (
11、1)证明：如图 D155，连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO. 图 D155 因为侧面 BB1C1C 为菱形， 所以 B1C BC1，且 O 为 B1C 及 BC1的中点 又 AB B1C，所以 B1C 平面 ABO. 由于 AO?平面 ABO.故 B1C AO. 又 B1O CO，故 AC AB1. (2)解：因为 AC AB1，且 O 为 B1C 的中点， 所以 AO CO. 又因为 AB BC，所以 BOA BOC(SSS) 故 OA OB，从而 OA， OB， OB1两两垂直 以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向， |OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标
12、系 Oxyz. 因为 CBB1 60 ，所以 CBB1为等边三角形 又 OB 1，则 OB1 33 ， OA 33 . 故 A? ?0， 0， 33 ， B(1,0,0)， B1? ?0， 33 ， 0 ， C? ?0， 33 ， 0 . AB1 ? ?0， 33 ， 33 ， A1B1 AB ? ?1， 0， 33 ， B1C 1 BC ? ? 1， 33 ， 0 . 设 n (x， y， z)是平面 AA1B1的法向量， 则? n AB1 0，n A1B1 0，即? 33 y 33 z 0，x 33 z 0.所以可取 n (1， 3， 3) 设 m 是平面 A1B1C1的法向量， 则? m A1B1 0，m B1C1 0.同理可取 m (1， 3， 3) =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 cos n， m nm|n|m| 17. 所以结合图形知，二 面角 AA1B1C1的余弦值为 17.
