1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 56 讲 二项式定理 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能用计数原理证明二项式定理 2会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题 . 2017 全国卷 ， 6 2017 全国卷 ， 4 2017 山东卷， 11 2016 全国卷 ， 14 2016 天津卷， 10 2016 山东卷， 12 对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项及参数值利用二项式定理展开式的性质求有关系数等问题 . 分值： 5 分 1二项式定理 二项式定理 (a b)n _C0nan C1nan 1b ? Cknan kbk ? Cnnbn(nN )_ 二项式系数 二项式展
2、开式中各项系数 _Ckn_(k 0， 1， ? ， n) 二项式通项 Tk 1 _Cknan kbk_，它表示第 _k 1_项 2二项式系数的性质 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)在二项展开式中第 k 项为 Cknan kbk.( ) (2)通项 Cknan kbk中的 a 和 b 不能互换 ( ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 ( ) (4)(a b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a， b 无关 ( ) (5)(a b)n某项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号等构成，与该项的二项式系数不同 ( ) 解析
3、(1)错误在二项展开式中第 k 1 项为 Cknan kbk，而第 k 项应为 Ck 1n an k 1bk 1. (2)正确通 项 Cknan kbk中的 a 与 b 如果互换，则它将成为 (b a)n的第 k 1 项 (3)错误由二项展开式中某项的系数的定义知；二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项，而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项 (4)正确因为二项式 (a b)n的展开式中第 k 1 项的二项式系数为 Ckn，显然它与 a， b无关 (5)正确因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数 2已知 ? ?x 1x 7
4、的展开式的第 4 项等于 5，则 x ( B ) A 17 B 17 C 7 D 7 解析 ? ?x 1x 7的展开式中 T4 C37x4? ? 1x 3 5， 所以 x 17. 3化简： C12n C32n ? C2n 12n 的值为 _22n 1_. 解析 因为 C02n C12n ? C2n2n 22n， 所以 C12n C32n ? C2n 12n 22n2 22n 1. 4.? ?x2 2x3 5展开式中的常数项为 _40_. 解析 Tr 1 Cr5( x2)5 r ? ? 2x3 r Cr5( 2)r x10 5r， 令 10 5r 0，得 r 2，故常数项为 C25( 2)2 4
5、0. 5 (2017 山东卷 )已知 (1 3x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54，则 n _4_. 解析 由题意可知 C2n32 54， C2n 6，解得 n 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 一 二项展开式中的特定项或系数问题 (1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第 k 1 项，再由特定项的特点求出 k 值即可 (2)已知展开式中的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第 k 1 项，由特定项得出 k 值，最后求出其参数 【例 1】 (1)(2018 广东惠州模拟 )在二项式 ? ?x2 1x 5的展开式中，含 x4的项的系数是( A ) A 10 B 1
6、0 C 5 D 20 (2)?x 124 x8的展开式中的有理项共有 _3_项 解析 (1)Tr 1 Cr5( x2)5 r( x 1)r Cr5( 1)r x10 3r，令 10 3r 4，得 r 2，所以含 x4项的系数为 C25( 1)2 10，故选 A (2)展开式的通项为 Tr 1 Cr8( x)8 r? 124 xr? 12rCr8x16 3r4 (r 0,1,2， ? ， 8)，为使 Tr 1为有理项， r 必须是 4 的倍数， 所以 r 0,4,8，故共有 3 个有理项 二 多项展开式中的特定项或系数问题 (1)对于几个多项式和的展开式中的特定项 (系数 )问题，只需依据二项展
7、开式的通项，从每一项中 分别得到特定的项，再求和即可 (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏 (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决 【例 2】 (1)? ?x3 2x 4 ? ?x 1x 8的展开式中的常数项为 ( D ) A 32 B 34 C 36 D 38 (2)(2017 全国卷 )(x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为 ( C ) A 80 B 40 C 40 D 80 =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)(2017 全国卷 )? ?1 1x2 (1 x)6展
8、开式中 x2的系数为 ( C ) A 15 B 20 C 30 D 35 解析 (1)? ?x3 2x 4的展开式的通项为 Tm 1 Cm4(x3)4 m ? ? 2x m Cm4( 2)mx12 4m，令 12 4m 0，解得 m 3， ? ?x 1x 8的展开式的通项为 Tn 1 Cn8x8 n ? ?1x n Cn8x8 2n，令 8 2n 0，解得n 4， 所以所求常 数项为 C34( 2)3 C48 38. (2)当第一个括号内取 x 时，第二个括号内要取含 x2y3的项，即 C35(2x)2( y)3；当第一个括号内取 y 时，第二个括号内要取含 x3y2的项，即 C25(2x)3
9、( y)2，所以 x3y3的系数为 C252 3 C352 2 10(8 4) 40. (3)(1 x)6展开式的通项 Tr 1 Cr6xr，所以 ? ?1 1x2 (1 x)6的展开式中 x2的系数为 1C 261C 46 30，故选 C 三 二项式系数的和与性质 赋值法的应用 (1)形如 (ax b)n， (ax2 bx c)m(a， b， c R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x 1 即可 (2)对形如 (ax by)n(a， b R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y 1 即可 (3)若 f(x) a0 a1x a2x2 ? anxn，则 f(x)展开式
10、中各项系数之和为 f(1) 奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ? f?1? f? 1?2 ， 偶数项系数之和为 a1 a3 a5 ? f?1? f? 1?2 . 【例 3】 (1)设 m 为正整数， (x y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a， (x y)2m 1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a 7b，则 m ( B ) A 5 B 6 C 7 D 8 (2)若 (1 2x)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则 a1 a2 a3 a4 _0_. 解析 (1)由题意得： a Cm2m， b Cm2m 1，所以 13Cm2m 7Cm2m 1， 13 ?2m?！m！
11、m！ 7 ?2m 1?！m！ ?m 1?！ ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 7?2m 1?m 1 13，解得 m 6，经检验符合题意，选 B (2)令 x 1 可得 a0 a1 a2 a3 a4 1；令 x 0，可得 a0 1，所以 a1 a2 a3 a4 0. 四 二项式定理的应用 (1)整除问题的解题思路： 利用二项式定理找出某两个数 (或式 )之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断 (2)求近似值的基本方法： 利用二项式定理进行近似计算：当 n 不很大， |x|比较小时， (1 x)n1 nx. 【例 4】 (1)设
12、 a Z，且 0 a13，若 512 012 a 能被 13 整数，则 a ( D ) A 0 B 1 C 11 D 12 (2)1.028的 近似值是 _1.172_.(精确到小数点后三位 ) 解析 (1)512 012 a (52 1)2 012 a C02 01252 2 012 C12 01252 2 011 ? C2 0112 01252( 1)2 011 C2 0122 012( 1)2 012 a， C02 01252 2 012 C12 01252 2 011 ? C2 0112 01252( 1)2 011能被 13 整除，且 512 012 a 能被13 整除， C2 01
13、22 012( 1)2 012 a 1 a 也能被 13 整除，因此 a 的值为 12. (2)1.028 (1 0.02)8C 08 C180.02 C280.02 2 C380.02 31.172. 1 (2018 河南商丘检测 )在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中，含 x3的项的系数是 ( D ) A 74 B 121 C 74 D 121 解析 展开式中含 x3的项的系数为 C35( 1)3 C36( 1)3 C37( 1)3 C38( 1)3 121. 2 (2018 安徽安庆二模 )将 ? ?x 4x 4 3展开后，常数项是 _ 160_. 解析
14、 ? ?x 4x 4 3 ? ?x 2x 6展开后的通项是 Ck6( x)6 k ? ? 2x k ( 2)kC k6( x)6 2k. 令 6 2k 0，得 k 3.所以常数项是 C36( 2)3 160. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 (2018 广东广州综合测试 )已知 ? ?2x3 1x n的展开式的常数项是第 7 项，则正整数 n的值为 _8_. 解析 二项式 ? ?2x3 1x n的展开式的通项是 Tr 1 Crn(2 x3)n r ? ? 1x r Crn2 n r( 1)r x3n 4r， 依题意，有 3n 46 0，得 n 8. 4 C0n 3C1n 5C2n ? (
15、2n 1)Cnn _(n 1)2 n_. 解析 设 S C0n 3C1n 5C2n ? (2n 1)C n 1n (2n 1)Cnn， S (2n 1)Cnn (2n 1)Cn 1n ? 3C1n C0n， 2S 2(n 1)(C0n C1n C2n ? Cnn) 2(n 1)2 n， S (n 1)2 n. 易错点 不能灵活使用公式及其变形 错因分析：选择的公式不合适，造成解题错误 【例 1】 求 ? ?x 3 3x 1x2 5展开式中常数项 解析 x 3 3x 1x2 x3 3x2 3x 1x2 ?x 1?3x2 ， 原式 1x10(x 1)15，则常数项为 C515( 1)5 3 003. 【例 2】 求 9192被 100 除所得的余数 解析 (90 1)92 C09290 92 C19290 91 ? C909290 2 C919290 C9
