1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 38 讲 数学归纳法 考纲要求 考情分析 命题趋势 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 . 2015 陕西卷， 21 2014 重庆卷， 22 数学归纳法一般以数列、集合为背景，用 “ 归纳 猜想 证明 ” 的模式考查 . 分值： 0 5 分 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基 )证明当 n 取 n0(n0 N*)时命题成立； (2)(归纳递推 )假设 n k(k n0， k N*)时命题成立，证明当 n k 1 时命题也成立 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)用数学归纳法
2、证明问题时，第一步是验证当 n 1 时结论成立 ( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 ( ) (3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n k 到 n k 1 时，项数都增加了一项 ( ) (4)用数学归纳法证明不等式 “1 2 22 ? 2n 2 2n 3 1” ，验证 n 1 时，左边式子应该为 1 2 22 23.( ) 解析 (1)错误用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n 为初始值时结论成立，不一定是 n 1. (2)错误不一定 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 (3)错误不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n k 到
3、 n k 1 时，项数的增加根据题目而定 (4)正确用数学归纳法证明等式 “1 2 22 ? 2n 2 2n 3 1” ，验证 n 1 时，左边式子应为 1 2 22 23是正确的 2在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n?n 3?2 条时，第一步检验 n ( C ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验 n 3. 3用数学归 纳法证明 “1 2 22 ? 2n 1 2n 1(n N*)” 的过程中，第二步 n k 时等式成立，则当 n k 1 时，应得到 ( D ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 1 2 22 ? 2k 2 2k 1
4、 2k 1 1 B 1 2 22 ? 2k 2k 1 2k 1 2k 1 C 1 2 22 ? 2k 1 2k 1 2k 1 1 D 1 2 22 ? 2k 1 2k 2k 1 1 解析 由条件知，左边从 20,21到 2n 1都是连续的，因此当 n k 1 时，左边应为 1 2 22 ? 2k 1 2k，而右边应为 2k 1 1. 4用数学归纳法证 明 12 22 ? (n 1)2 n2 (n 1)2 ? 22 12 n?2n2 1?3 时，则从 n k 到 n k 1 时，等式左边应添加的式子是 ( B ) A (k 1)2 2k2 B (k 1)2 k2 C (k 1)2 D 13(k
5、1)2(k 1)2 1 解析 由 n k 到 n k 1 时，左边增加 (k 1)2 k2，故选 B 5用数学归纳法证明 “ 当 n 为正奇数时， xn yn能被 x y 整除 ” ，当第二步假设 n2k 1(k N*)时命题为真，进而需证 n _2k 1_时，命题亦真 解析 因为 n 为正奇数，所以与 2k 1 相邻的下一个奇数是 2k 1. 一 数学归纳法证明等式 数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要 “ 先看项 ” ，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0是多少 (2)注意点：由 n k 时等式成立，推出 n k 1 时等式成立，一
6、要找出等式两边的变化(差异 )，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法 【例 1】 求证： 12 22 32 42 ? (2n 1)2 (2n)2 n(2n 1)(n N*) 证明 当 n 1 时，左边 12 22 3，右边 3，等式成立 假设 n k(k1 ， k N*)时，等式成立，即 12 22 32 42 ? (2k 1)2 (2k)2k(2k 1) 当 n k 1 时， 12 22 32 42 ? (2k 1)2 (2k)2 (2k 1)2 (2k 2)2 k(2k1) (2k 1)2 (2k 2)2 k(2k 1
7、) (4k 3) (2k2 5k 3) (k 1)2(k 1)1，所以 n k 1 时，等式也成立由 得，等式对任意 n N*都成立 二 数学归纳法证明不等式 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法 (2)数学归纳法证明不等式的关键是由 n k 成立，推证 n k 1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差 (作商 )比较法、放缩法等方法证明 【例 2】 已知数列 an， an0 ， a1 0， a2n 1 an 1 1 a2n，求证：当 n N*时， an0， f(x) axa x，令
8、 a1 1， an 1 f(an)， n N*. (1)写出 a2， a3， a4的值，并猜想数列 an的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论 解析 (1) a1 1， a2 f(a1) f(1) a1 a； a3 f(a2) a2 a； a4 f(a3) a3 a.猜想an a?n 1? a(n N*) (2)证明： 易知， n 1 时，猜想正确 假设 n k(k N*)时猜想正确，即 ak a?k 1? a， 当 n k 1 时， ak 1 f(ak) a aka aka a?k 1? aa a?k 1? a a?k 1? a 1 a?k 1? 1 a. 这说明 n k 1 时猜想正
9、确 由 知，对于任意 n N*，都有 an a?n 1? a. =【 ;精品教育资源文库 】 = 1设 f(n) 1 12 13 ? 1n(n N*)，求证： f(1) f(2) ? f(n 1) nf(n)1(n2 ， n N*) 证明 当 n 2 时，左边 f(1) 1，右边 2? ?1 12 1 1， 左边右边，等式成立 假设 n k(k2 ， k N*)时，结论成立， 即 f(1) f(2) ? f(k 1) kf(k) 1， 那么，当 n k 1 时， f(1) f(2) ? f(k 1) f(k) kf(k) 1 f(k) (k1)f(k) k (k 1)? ?f?k 1? 1k
10、1 k (k 1)f(k 1) (k 1) (k 1)f(k 1) 1， 当 n k 1 时结论仍然成立 由 可知， f(1) f(2) ? f(n 1) nf(n) 1(n2 ， n N*) 2用数学归纳法证明 1 n21 12 13 ? 12n 12 n(n N*) 证明 当 n 1 时，左边 1 12，右边 12 1， 321 12 32，即命题成立 假设当 n k(k N*)时命题成立，即 1 k21 12 13 ? 12k 12 k， 则当 n k 1 时， 1 12 13 ? 12k 12k 1 12k 2 ? 12k 2k 1 k2 2k 12k 2k 1 k 12 ， 又 1
11、12 13 ? 12k 12k 1 12k 2 ? 12k 2k 12 k 2k 12k 12 (k 1)， 即 n k 1 时，命题成立 由 可知，命题对所有 n N*都成立 3将正整数作如下分组： (1)， (2,3)， (4,5,6)， (7,8,9,10)， (11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)， ? ，分别计算各组包含 的正整数的和如下，试猜测 S1 S3 S5 ? S2n 1的结果，并用数学归纳法证明 S1 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = S2 2 3 5， S3 4 5 6 15， S4 7 8 9 10 34， S5 11 12 13
12、 14 15 65， S6 16 17 18 19 20 21 111， ? 解析 由题意知，当 n 1 时， S1 1 14；当 n 2 时， S1 S3 16 24； 当 n 3 时， S1 S3 S5 81 34；当 n 4 时， S1 S3 S5 S7 256 44； 猜想： S1 S3 S5 ? S2n 1 n4.下面用数学归纳 法证明： 当 n 1 时， S1 1 14，等式成立 假设当 n k(k N*)时等式成立，即 S1 S3 S5 ? S2k 1 k4， 那么，当 n k 1 时， S1 S3 S5 ? S2k 1 S2k 1 k4 (2k2 k 1) (2k2 k 2)
13、? (2k2 k 2k 1) k4 (2k 1)(2k2 2k 1) k4 4k3 6k2 4k 1 (k 1)4， 所以当 n k 1 时，等式也成立 根据 和 ，可知对于任意的 n N*， S1 S3 S5 ? S2n 1 n4都成立 4已知函数 f(x) x xln x，数列 an满足 00，故 f(x)在 x (0,1)时为单调递增函数 下面用数学归纳法证明：对任意 n N*，不等式 0a10，且有 a2 f(a1) a1 a1ln a10，所以有 012， 1 12 131,1 12 13 ? 1732， 1 12 13 ? 1152， ? ，你能猜想得到一个怎样的一般不等式？用数学
14、归纳法证明你的结论 解析 根据给出的几个不等式： 112， 1 12 131,1 12 13 ? 1732， 1 12 13 ? 1152， ? ， 即一般不等式为 1 12 13 ? 12n 1n2. 用数学归纳法证明如下： 当 n 1 时， 112，猜想正确 假设 n k(k1 ， k N*)时猜想成立， 即不等式为 1 12 13 ? 12k 1k2， 则当 n k 1 时， 1 12 ? 12k 1 12k 12k 1 12k 2 ? 12k 1 1k2 12k 12k 1 ? 12k 1 1k2 12k 1 12k 1 ? 12k 1 k2 2k2k 1k212k 12 ， 即当 n k 1 时，猜想也成立， 所以对任意的 n N*，不等式成立 【跟踪训练 1】 设 a1 1， an 1 a2n 2an 2 1(n N*)，求 a2， a3， an，并用数学归纳法证明你的结论 解析 a2 2， a3 2 1， 可写为 a1 1 1 1， a2 2 1 1， a3 3 1 1. 因此猜想 an n 1 1. 下面用数学归纳法证明上式： 当 n 1 时结论显然成立假设 n k 时结论成立， 即 ak k 1 1， 则 ak 1 ?ak 1?2 1 1 ?k 1? 1 1 ?k 1? 1 1. 这就是说，当 n k 1
