1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 34 讲 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 解密考纲 考查线性规划以选择题或填空题的形式出现 一、选择题 1已知实数 x， y 满足? x0 ，y0 ，x y2 ，则 z 4x y 的最大值为 ( B ) A 10 B 8 C 2 D 0 解析 画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点 A(2,0)时， z 4x y 取得最大值 8. 2设变量 x， y 满足约束条件? x 2y2 ，2x y4 ，4x y 1，则目标函数 z 3x y 的取值范围是( A ) A ? ? 32， 6 B ? ? 32， 1 C 1,6 D ? ? 6，
2、 32 解析 不等式组? x 2y2 ，2x y4 ，4x y 1表示的平面区域如图中阴影部分所示由图可知，当直线 z 3x y 过点 A(2,0)时， z 取得最大值 6，过点 B? ?12， 3 时， z 取得最小值 32，故选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 3设变量 x， y 满足约束条件? x y1 ，x y2 ，y2 ，则目标函数 z x2 y2 的取值范围为( C ) A 2,8 B 4,13 C 2,13 D ? ?52， 13 解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得 zmin |OA|2 ? ?|0 0 2|12 12
3、 2 2， zmax |OB|2 32 22 13.故 z 2,13 4若实数 x， y 满足? x y 20 ，kx y 2 0，y0 ，且 z y x 的最小值为 2，则 k ( B ) A 1 B 1 C 2 D 2 解析 当 k0 时，直线 z y x 不存在最小值， k 0.当 k 0 时，当有且仅当直线 z y x 经过 kx y 2 0 与 x 轴的交点， ( 2k，0)时， z 取得最小值 2， 2 2k，即 k 1. 5若关于 x， y 的不等式组? x y 10 ，x 10 ，ax y a为常数所表示的平面区域 的面积等于 2，则 a ( A ) A 3 B 6 C 5 D
4、 4 解析 先作出不等式组? x y 10 ，x 10 对应的区域，如图因为直线 ax y 1 0 过定点 (0,1)，且不等式 ax y 10 表示的区域在直线 ax y 1 0 的下方，所以 ABC 为=【 ;精品教育资源文库 】 = 不等式组? x y 10 ，x 10 ，ax y 10对应的平面区域 因为 A 到直线 BC 的距离为 1，所以 S ABC 121 BC 2， 所以 BC 4.当 x 1 时， yC 1 a，所以 yC 1 a 4， 解得 a 3. 6设实数 x, y 满足? x y 20 ，x 2y 50 ，y 20 ，则 z yx xy的取值范围是 ( D ) A ?
5、 ?13， 103 B ? ?13， 52 C ? ?2， 52 D ? ?2， 103 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示解方程组得可行域的顶点分别为 A(3,1)， B(1,2)， C(4,2)由于 yx表示可行域内的点 (x， y)与原点 (0,0)的连线的斜率，则 kOA 13， kOB 2， kOC 12，所示 yx ? ?13， 2 .结合对勾函数的图象，得 z ? ?2， 103 ，故选 D 二、填空题 7 (2016 全国卷 )若 x， y 满足约束条件? x 10 ，x y0 ，x y 40 ，则 yx的最大值为 _3_. 解析 由约束条件画出可行域，如图 =【
6、 ;精品教育资源文库 】 = yx的几何意义是可行域内的点 (x， y)与原点连线的斜率，所以yx的最大值即为直线 OA 的斜率，又由? x 1 0，x y 4 0 得点 A 的坐标为 (1,3)，于是 ?yx max kOA 3. 8已知实数 x， y 满足 x2 (y 2)2 1，则 x 3yx2 y2的取值范围是 _1,2_. 解析 设 P(x， y)， M(1， 3)，则 cos OP ， OM x 3y2 x2 y2 2 ，过原点 O 作 C 的切线 OA， OB，切点为 A， B， 易知： MOx AOx 60 ， BOx 120 ， 0 OP ， OM 60 ， 12cos OP
7、 ， OM 1 ， 1 2. 9已知 a0，实数 x， y 满足约束条件? x1 ，x y3 ，y a x ，若 z 2x y 的最小值为 1，则 a 的值为 _12_. 解析 由题意得直线 y a(x 3)过 x 1 与 2x y 1 的交点 (1， 1)，因此 a 的值为 12. 三、解答题 10已知 D 是以点 A(4,1)， B( 1， 6)， C( 3,2)为顶点的三角 形区域 (包括边界与内部 )，如图所示 (1)写出表示区域 D 的不等式组； (2)设点 B( 1， 6)， C( 3,2)在直线 4x 3y a 0 的异侧，求 a 的取值范围 解析 (1)直线 AB， AC， B
8、C 的方程分别为 7x 5y 23 0， x 7y 11 0,4x y 100. =【 ;精品教育资源文库 】 = 原点 (0,0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为? 7x 5y 230 ，x 7y 110 ，4x y 100.(2)依题意 4( 1) 3( 6) a4( 3) 32 a0， 即 (14 a)( 18 a)0， 解得 18a14.故 a 的取值范围是 ( 18,14) 11变量 x， y 满足? x 4y 30 ，3x 5y 250 ，x1.(1)设 z yx，求 z 的最小值； (2)设 z x2 y2，求 z 的取值范围； (3)设 z x2 y2 6x 4y
9、13，求 z 的取值范围 解析 可行域如图阴影部分 由? x 1，3x 5y 25 0， 解得 A? ?1， 225 . 由? x 1，x 4y 3 0， 解得 C(1,1) 由? x 4y 3 0，3x 5y 25 0， 解得 B(5,2) (1)设 P(x， y)，则 z yx y 0x 0 kPO， 由图知 zmin kOB 25. (2)z x2 y2 |PO|2， |OC|2 2， |OB|2 29， 由图得 2 z29 ，即 z 2,29 (3)z x2 y2 6x 4y 13 (x 3)2 (y 2)2 的几何意义是可行域上的点到点 ( 3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上
10、的点到 ( 3,2)的距离中， dmin 1 ( 3) 4， dmax 3 2 2 8. =【 ;精品教育资源文库 】 = 16 z64 ，即 z 16,64 12某客运公司用 A， B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的 长途客运业务，每辆车每天往返一次 A， B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元 /辆和 2 400 元 /辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆若每天运送人数不少于 900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆？ 解析 设 A 型， B 型车分别为 x， y 辆， 相应营运成本为 z 元，则 z 1 600x 2 400y. 由题意，得 x， y 满足约束条件 ? x y21 ，y x 7，36x 60y900 ，x， y0 ， x， y N.作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12)， Q(7,14)，R(15,6) 由图可知，当直线 1 600x 2 400y z 经过可行域的点 P 时，直线 z 1 600x 2 400y在 y 轴上的截距 z2 400最小，即 z 取得最小值 故应配备 A 型车 5 辆， B 型车 12 辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小
