1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 42 讲 直线 、 平面垂直的判定及其性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能以立体几何中的定义 、 公理和定理为出发点 ， 认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理 2 能运用公理 、 定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题 . 2016 全国卷 ， 18 2016 全国卷 ， 19 2016 江苏卷， 16 2016 浙江卷， 18 与直线 、 平面垂直有关的命题判断 ， 线线 、 线面 、面面垂直的证明 ， 直线与平面所成的角的计算 ， 求解二面角大小 ， 由线面垂直或面面垂直探求动点的位置 . 分值： 5 6 分 1 直线
2、与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 内的 _任意一条 _直线都垂直 ， 就说直线 l 与平面 互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 _两条相交直线 _都垂直 ， 则该直线与此平面垂直 ?_a， b? _a b O_l a_l b_?l 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 _平行 _ ?_a _b _ ?a b 2 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交 ， 如果它们所成的二面角是 _直二面角 _， 就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判
3、定定一个平面过另一个平面的一条 _垂线 _， 则这两个平面互相 ?_l? _l _ ?=【 ;精品教育资源文库 】 = 理 垂直 性质定理 两个平面互相垂直 ， 则一个平面 内垂直于 _交线 _的直线与另一个平面垂直 错误 !?l 1 思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)直线 l 与平面 内无数条直线都垂直 ， 则 l .( ) (2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个 ( ) (3)若两条直线垂直 ， 则这两条直线相交 ( ) (4)若两平面垂直 ， 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面 ( ) (5)若平面 内的一条 直线垂直于平面 内的无数条直线 ， 则 .( )
4、解析 (1)错误直线 l 与 内两条相交直线都垂直才有 l . (2)正确过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线 ， 而这两条相交直线可确定一个平面 ， 此平面与直线垂直 (3)错误两条直线垂直 ， 这两条直线可能相交 ， 也可能异面 (4)错误两个平面垂直 ， 有一条交线 ， 一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 ， 而不是任意一条直线 (5)错误 内的一条直线如果与 内的两条相交直线都垂直才能线面垂直 ， 从而面面垂直 2 设平面 与平面 相交于直线 m， 直线 a 在平面 内 ， 直线 b 在平面 内 ， 且 b m， 则 “ ” 是 “ a b” 的 ( A ) A充分不必要条
5、件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由面面垂直的性质定理可知 ， 当 时 ， b . 又因为 a? ， 则 a b; 如果 a m， a b， 不能得到 ， 故 “ ” 是 “ a b” 的充分不必要条件故选 A 3 已知 m 和 n 是两条不同的直线 ， 和 是两个不重合的平面 ， 下面给出的条件中一定能推出 m 的是 ( C ) A 且 m? B 且 m C m n 且 n D m n， n? 且 解析 ， 且 m? ?m? 或 m 或 m 与 相交 ， 故 A 项不成立； ， 且 m ?m? 或 m 或 m 与 相交 ， 故 B 项不成立； m n， 且
6、n ?m .故 C 项成立； =【 ;精品教育资源文库 】 = m n， n? ， 且 ， 知 m 不成立 ， 故 D 项不成立 ， 故选 C 4 PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面 ， 连接 PB， PC， PA， AC， BD， 则一定互相垂直的平面有 _7_对 解析 平面 PAD、 平面 PBD、 平面 PCD 都垂直于平面 ABCD， 平面 PAD 平面 PCD， 平面 PCD 平面 PBC， 平面 PAD 平 面 PAB， 平面 PAC 平面 PBD， 共有 7 对 5 在三棱锥 P ABC 中 ， 点 P 在平面 ABC 内的射影为点 O. (1)若 PA PB PC， 则点
7、 O 是 ABC 的 _外 _心； (2)若 PA PB， PB PC, PC PA， 则点 O 是 ABC 的 _垂 _心 解析 (1)若 PA PB PC， 由勾股定理易得 OA OB OC， 故 O 是 ABC 的外心； (2)由 PA PB， PC PA， 得 PA 平面 PBC， 则 PA BC 又由 PO 平面 ABC 知 PO BC， 所以 BC 平面 PAO， 则 AO BC， 同理得 BO AC， CO AB，故 O 是 ABC 的垂心 一 直线与平面垂直的判定与性质 (1)证明直线和平面垂直的常用方法： 判定定理； 垂直于平面的传递性 (a b， a ?b )； 面面平行的
8、性质 (a ， ?a )； 面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直 ， 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此 ， 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 (3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直 【例 1】 如图 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， E 为棱 C1D1的中点 ， F 为棱 BC 的中点 (1)求证 ：直线 AE 直线 DA1； (2)在线段 AA1上求一点 G， 使得直线 AE 平面 DFG. 解析 (1)证明：由正方体的性质可知 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = DA1 AD1， DA1 AB， 又 AB AD1 A， DA1 平
9、面 ABC1D1， 又 AE?平面 ABC1D1， DA1 AE. (2)所求 G 点即为 A1点 ， 证明如下： 由 (1)可知 AE DA1， 取 CD 的中点 H， 连接 AH， EH， 由 DF AH， DF EH， AH EH H， 可证 DF 平面 AHE， AE?平面 AHE， DF AE. 又 DF A1D D， AE 平面 DFA1， 即 AE 平面 DFG. 二 平面与平面垂直的判定与性质 (1)判定面面垂直的方法： 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理 (a ， a? ? ) (2)在已知平面垂直时 ， 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 ， 转化为线面垂
10、直 ， 然后进一步转化为线线垂直 【例 2】 已知三棱柱 A1B1C1 ABC的侧棱与底面成 60 角 ， 底面是等边三角形 ， 侧面 B1C1CB是菱形且与底面垂直 ， 求证： AC1 BC 证明 过 C1作 C1H BC 于 H， 连接 AH， 又 侧面 B1C1CB 底面 ABC， 侧面 B1C1CB 底面 ABC BC， C1H 底面 ABC 侧棱 CC1与底面 ABC 所成角 ， 即为 C1CH 60 ， 在 Rt C1CH 中 ， CH 12CC1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 CC1 BC， CH 12BC， 即 H 为 BC 的中点 ， 在等边 ABC 中 ， AH
11、BC， 又 C1H BC， AH C1H H， BC 平面 AC1H， 又 AC1?平面 AC1H， AC1 BC 三 垂直关系中的探索性问题 解决垂直关系中的探索性问题的方法 同 “ 平行关系中的探索性问题 ” 的规律方法一样 ， 一般是先探求点的位置 ， 多为线 段的中点或某个等分点 ， 然后给出符合要求的证明 【例 3】 如图 ， 在三棱台 ABC DEF 中 ， CF 平面 DEF， AB BC (1)设平面 ACE 平面 DEF a， 求证： DF a； (2)若 EF CF 2BC， 试问在线段 BE 上是否存在点 G， 使得平面 DFG 平面 CDE？若存在 ，请确定 G 点的位
12、置；若不存在 ， 请说明理由 解析 (1)证明：在三棱台 ABC DEF 中 ， AC DF， AC?平面 ACE， DF?平面 ACE， DF平面 ACE. 又 DF?平面 DEF， 平面 ACE 平面 DEF a， DF a. (2)线段 BE 上存 在点 G， 且 BG 13BE， 使得平面 DFG 平面 CDE. 证明如下： 取 CE 的中点 O， 连接 FO 并延长交 BE 于点 G.连接 GD， CF EF， GF CE.在三棱台 ABC DEF 中 ， 由 AB BC 得 DE EF. 由 CF 平面 DEF， 得 CF DE. 又 CF EF F， DE 平面 CBEF， DE
13、 GF. 又 CE DE E， GF 平面 CDE. 又 GF?平面 DFG， 平面 DFG 平面 CDE. 此时 ， 如平面图所示 ， O 为 CE 的中点 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = EF CF 2BC， 易证 HOC FOE， HB BC 12EF. 由 HGB FGE 可知 BGGE 12， 即 BG 13BE. 1 (2018 山东青岛模拟 )设 a， b 是两条不同的直线 ， ， 是两个不同的平面 ， 则能得出 a b 的是 ( C ) A a ， b ， B a ， b ， C a? ， b ， D a? ， b ， 解析 对于 C 项 ， 由 ， a? 可得 a ，
14、又 b ， 得 a b， 故选 C 2 (2016 浙江卷 )已知互相垂直的平面 ， 交于 直线 l， 若直线 m， n 满足 m ，n ， 则 ( C ) A m l B m n C n l D m n 解析 l， l? ， n ， n l. 3如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， AB AD, AC CD， ABC 60 ， PA AB BC， E 是 PC 的中点 证明： (1) CD AE； (2)PD 平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 P ABCD 中 ， PA 底面 ABCD， CD?平面 ABCD， PA CD ACCD， PA AC A， CD 平面 PAC， 而 AE?平面 PAC， CD AE. (2)由 PA AB BC， ABC 60 ， 可得 AC PA E 是 PC 的中点 ， AE PC 由 (1)知 AE CD， 且 PC CD C， AE 平面 PCD 而 PD?平面 PCD， AE PD =【 ;精品教育资源文库 】 = PA 底面 ABCD， PA AB 又 AB AD 且 PA AD A， AB 平
