1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 43 讲 空间向量及其运算 解密考纲 空间向量及其应用的考查以解答题为主 ， 多作为解答题的第二种解法 (第一种解法为几何法 ， 第二种解法为向量法 )， 难度中等 一 、 选择题 1 点 M( 8,6,1)关于 x 轴的对称点的坐标是 ( A ) A ( 8， 6， 1) B (8， 6， 1) C (8， 6,1) D ( 8， 6,1) 解析 结合空间直角坐标中 ， 点关于 x 轴对称的点的坐标特点知选项 A 正确 2 O 为空间任意一点 ， 若 OP 34OA 18OB 18OC ， 则 A， B， C， P 四点 ( B ) A一定不共面 B一定
2、共面 C不一定共面 D无法判断 解析 OP 34OA 18OB 18OC ， 且 34 18 18 1， A， B， C， P 四点共面 3 已知 a (2,3， 4)， b ( 4， 3， 2)， b 12x 2a， 则 x ( B ) A (0,3， 6) B (0,6， 20) C (0,6， 6) D (6,6， 6) 解析 b 12x 2a， x 4a 2b 即 x (8,12， 16) ( 8， 6， 4) (0,6， 20) 4 已知 a (2,1， 3)， b ( 1,2,3)， c (7,6， )， 若 a， b， c 三向量共面 ， 则 ( B ) A 9 B 9 C 3
3、D 3 解析 由题意知 c xa yb， 即 (7,6， ) x(2,1， 3) y( 1,2,3)， 所以? 2x y 7，x 2y 6， 3x 3y ，解得 9. 5 若平面 ， 的法向量分别为 n1 (2， 3,5)， n2 ( 3,1， 4)， 则 ( C ) A B C ， 相交但不垂直 D以上均不正确 解析 由 n1 (2， 3,5)， n2 ( 3,1， 4)， n1和 n2不平行 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 与 不平行；又 n1n 2 6 3 20 290 ， 与 不垂直 6 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 ， 向量 AB ， AD ， AA1 两两夹角均为
4、 60 ， 且 |AB | 1， |AD| 2， |AA1 | 3， 则 |AC1 | ( A ) A 5 B 6 C 4 D 8 解析 由题可得 ， AC1 AB AD AA1 ， 故 AC1 2 AB 2 AD 2 AA1 2 2(AB AD AB AA1 AD AA1 ) 1 4 9 2(12 13 23) cos 60 25， 故 |AC1| 5. 二 、 填空题 7 在空间直角坐标系中 ， 点 P(1， 2， 3)， 过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ， 则垂足 Q的坐标为 _(0， 2， 3)_. 解析 依题意知 ， 垂足 Q 为点 P 在平面 yOz 上的投影 ， 则点 Q
5、的纵 、 竖坐标与点 P 的纵 、竖坐标相等 ， 横坐标为 0. 8 如图所示 ， 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 ， O 为 AC 的中点用 AB ， AD ， AA1 表示 OC1 ， 则OC1 _12AB 12AD AA1 _. 解析 由题意知 OC1 OC CC1 12AC CC1 12(AB AD ) AA1 12AB 12AD AA1 . 9 已知点 A(1,2,1)， B( 1,3,4)， D(1,1,1)， 若 AP 2PB ， 则 |PD | _ 773 _. 解析 设 P(x， y， z)， 故 AP (x 1， y 2， z 1)， PB ( 1 x,3 y,4
6、z)， 又 PA 2PB ， 则有? x 1 1 x ，y 2 y ，z 1 z ，解得? x 13，y 83，z 3， P( 13， 83， 3)， |PD | ? ? 13 1 2 ? ?83 1 2 2 773 . 三 、 解答题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10 如图 ， 在棱长为 a 的正方体 OABC O1A1B1C1中 ， E， F 分别是棱 AB， BC 上的动点 ，且 AE BF x， 其中 0 x a， 以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. (1)写出点 E， F 的坐标； (2)求证： A1F C1E； (3)若 A1， E， F， C1四点共面 ， 求证：
7、 A1F 12A1C1 A1E . 解析 (1)E(a， x,0)， F(a x， a,0) (2)证明： A1(a,0， a)， C1(0， a， a)， A1F ( x， a， a)， C1E (a， x a， a)， A1F C1E ax a(x a) a2 0， A1F C1E ， A1F C1E. (3)证明： A1， E， F， C1四点共面 ， A1E ， A1C1 ， A1F 共面 选 A1E 与 A1C1 为一组基向量 ， 则存在唯一实数对 ( 1， 2)， 使 A1F 1A1C1 2A1E ， 即 ( x， a， a) 1( a， a,0) 2(0， x， a) ( a 1
8、， a 1 x 2， a 2)， ? x a 1，a a 1 x 2， a a 2，解得 1 12， 2 1. 于是 A1F 12A1C1 A1E . 11 如图 ， 在底面是矩形的四棱锥 P ABCD 中 ， PA 底面 ABCD， E， F 分别是 PC， PD的中点 ， PA AB 1， BC 2. (1)求证： EF 平面 PAB； (2)求证：平面 PAD 平面 PDC 证明 以 A 为原点 ， AB 所在直线为 x 轴 ， AD 所在直线为 y 轴 ， AP 所在直线为 z 轴 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,2,0)， D
9、(0,2,0)， P(0,0,1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = E? ?12， 1， 12 ， F? ?0， 1， 12 ， EF ? ? 12， 0， 0 ， PB (1,0， 1)， PD (0,2， 1)， AP (0,0,1)， AD (0,2,0)， DC (1,0,0)， AB (1,0,0) (1) EF 12AB ， EF AB ， 即 EF AB 又 AB? 平面 PAB， EF?平面 PAB， EF 平面 PAB (2) AP DC (0,0,1)(1,0,0) 0， AD DC (0,2,0)(1,0,0) 0， AP DC ， AD DC . 即 AP DC，
10、AD DC 又 AP AD A， DC 平面 PAD DC?平面 PDC， 平面 PAD 平面 PDC 12 在四棱锥 P ABCD 中 ， PD 底面 ABCD， 底面 ABCD 为正方形 ， PD DC， E， F 分别是AB， PB 的中点 (1)求证： EF CD； (2)在平面 PAD 内是否存在一点 G， 使 GF 平面 PCB 若存在 ， 求出点 G 的坐标；若不存出 ， 试说明理由 解析 (1)证明：如图 ， 以 DA， DC， DP 所在直线分别为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴建立空间直角坐标系 ， 设 AD a， 则 D(0,0,0)， A(a,0,0)， B(a， a,
11、0)， C(0， a,0)， E? ?a， a2， 0 ， P(0,0， a)， F? ?a2， a2， a2 .EF ? ? a2， 0， a2 ， DC (0， a,0) EF DC 0， EF DC ， 即 EF CD (2)假设存在满足条件的点 G， 设 G(x,0， z)， 则 FG ? ?x a2， a2， z a2 . 若使 GF 平面 PCB， 则由 FG CB ? ?x a2， a2， z a2 ( a,0,0) a? ?x a2 0， 得 x a2； 由 FG CP ? ?x a2， a2， z a2 (0 ， a， a) =【 ;精品教育资源文库 】 = a22 a?z a2 0， 得 z 0. G 点的坐标为 ? ?a2， 0， 0 ， 即存在满足条件的点 G， 且点 G 为 AD 的中点
