1、 1 / 16 20142014 年中考数学分类汇编年中考数学分类汇编 与特殊四边形有关的填空压轴题与特殊四边形有关的填空压轴题 2014 年与特殊四边形（正多边形）有关的填空压轴题，题目展示涉及：折叠问题；旋 转问题；三角形全等问题；平面展开最短路径问题；动点问题的函数图象问题.知识点涉 及：全等三角形的判定与性质；正方形的判定和性质；解直角三角形，勾股定理，正多边形 性质；锐角三角函数.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；方程思想. 现选取部分省市的 2014 年中考题展示，以飨读者. 【题 1】(2014.年河南省第题)如图矩形 ABCD 中，AD=5，AB=7，点 E 为 DC 上一个动
2、 点， 把ADE 沿 AE 折叠， 当点 D 的对应点 D落在ABC 的角平分线上时， DE 的长为 【考点】 ： 翻折变换（折叠问题） 【分析】 ： 连接 BD，过 D作 MNAB，交 AB 于点 M，CD 于点 N，作 DPBC 交 BC 于点 P，先利用勾股定理求出 MD，再分两种情况利用勾股定理求出 DE 【解答】 ： 解： 如图， 连接 BD， 过 D作 MNAB， 交 AB 于点 M， CD 于点 N， 作 DPBC 交 BC 于点 P， 点 D 的对应点 D落在ABC 的角平分线上， MD=PD， 设 MD=x，则 PD=BM=x， AM=ABBM=7x， 又折叠图形可得 AD=
3、AD=5， x2+（7x）2=25，解得 x=3 或 4， 2 / 16 即 MD=3 或 4 在 RTEND中，设 ED=a， 当 MD=3 时，DE=53=2，EN=7CNDE=73a=4a， a2=22+（4a）2， 解得 a= ，即 DE= ， 当 MD=4 时，DE=54=1，EN=7CNDE=74a=3a，来源:163文库 a2=12+（3a）2，来源:学|科|网 解得 a= ，即 DE= 故答案为： 或 【点评】 ： 本题主要考查了折叠问题， 解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应 相等的 【题 2】(2014 年四川省绵阳市第 17 题)如图，在正方形 ABCD 中，E、
4、F 分别是边 BC、 CD 上的点，EAF=45 ，ECF 的周长为 4，则正方形 ABCD 的边长为 【考点】 ： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 【分析】 ： 根据旋转的性质得出EAF=45，进而得出FAEEAF，即可得出 EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4，得出正方形边长即可 【解答】 ： 解：将DAF 绕点 A 顺时针旋转 90 度到BAF位置， 由题意可得出：DAFBAF， DF=BF，DAF=BAF， EAF=45， 在FAE 和EAF中 ， FAEEAF（SAS） ， 3 / 16 EF=EF， ECF 的周长为 4， EF+EC
5、+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4， 2BC=4， BC=2 故答案为：2 【点评】 ： 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 FAEEAF是解题关键 【题 3】 (2014 年湖北随州第 16 题)如图 1，正方形纸片 ABCD 的边长为 2，翻折B、 D， 使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P、 EF、 GH 分别是折痕 （如图 2） 设 AE=x （0x2） ，给出下列判断： 当 x=1 时，点 P 是正方形 ABCD 的中心； 当 x= 时，EF+GHAC； 当 0x2 时，六边形 AEFCHG 面积的最大值是； 当 0x2 时，六边形
6、AEFCHG 周长的值不变 其中正确的是 （写出所有正确判断的序号） 【考点】 ： 翻折变换（折叠问题） ；正方形的性质来源:学科网 ZXXK 4 / 16 【分析】 ： （1）由正方形纸片 ABCD，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，得出BEF 和三 DGH 是等腰直角三角形，所以当 AE=1 时，重合点 P 是 BD 的中点，即点 P 是正方形 ABCD 的中心； （2）由BEFBAC，得出 EF= AC，同理得出 GH= AC，从而得出结论 （3）由六边形 AEFCHG 面积=正方形 ABCD 的面积EBF 的面积GDH 的面积得 出函数关系式，进而求出最大值
7、（4）六边形 AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH） 求解 【解答】 ： 解： （1）正方形纸片 ABCD，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角 线 BD 上一点 P， BEF 和三 DGH 是等腰直角三角形， 当 AE=1 时，重合点 P 是 BD 的中点， 点 P 是正方形 ABCD 的中心； 故结论正确， （2）正方形纸片 ABCD，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P， BEFBAC， x= ， BE=2 = ， =，即 =， EF= AC， 同理，GH= AC， EF+GH=AC， 故结论错误，
8、（3）六边形 AEFCHG 面积=正方形 ABCD 的面积EBF 的面积GDH 的面积 AE=x， 5 / 16 六边形 AEFCHG 面积=22 BEBF GDHD=4 （2x） （2x） xx=x2+2x+2= （x1）2+3， 六边形 AEFCHG 面积的最大值是 3， 故结论错误， （4）当 0x2 时， EF+GH=AC， 六边形 AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH） =2+2+2=4+2 故六边形 AEFCHG 周长的值不变， 故结论正确 故答案为： 【点评】 ： 考查了翻折变换（折叠问题） ，菱形的性质，本题关键是
9、得到 EF+GH=AC，综 合性较强，有一定的难度来源:Z*xx*k.Com 【题 4】（2014 江西第 13 题）如图，是将菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向分别 旋转 90 ， 180 ， 270 后形成的图形。 若60BAD， AB=2， 则图中阴影部分的面积为_. 【考点】【考点】 菱形的性质，勾股定理，旋转的性质 【分析】【分析】 连接 AC、BD，AO、BO，AC 与 BD 交于点 E，求出菱形对角线 AC 长，根据旋 转的性质可知 AOCO。在 RtAOC 中，根据勾股定理求出 AO=CO= 22 (2 3) 6 22 AC ， 从而求出 RtAOC 的面积，再减去A
10、CD 的面积得阴影部分 AOCD 面积，一共有四个这样 的面积，乘以 4 即得解。 【解答】【解答】 解：连接 BD、AC，相交于点 E，连接 AO、CO。 因为四边形 ABCD 是菱形， AC BD，ABAD2。 6 / 16 BAD60 ， ABD 是等边三角形，BDAB2， BAE 1 2 BAD30 ，AE 1 2 AC，BE=DE= 1 2 BD=1， 在 RtABE 中，AE 2222 231ABBE， AC23。 菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向旋转 90 ，180 ，270 ， AOC 1 4 360 90 ，即 AOCO，AOCO 在 RtAOC 中，AO=CO=
11、 22 (2 3) 6 22 AC 。 SAOC= 1 2 AO CO= 1 2 66=3，SADC= 1 2 AC DE 1 2 23 13, S 阴影SAOC SADC=4 （33）1243 所以图中阴影部分的面积为 1243。 【题 5】 (2014 年河南省第 14 题)如图，在菱形 ABCD 中，AB=1，DAB=60 ，把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30 得到菱形 ABCD，其中点 C 的运动路径为，则图中阴影 部分的面积为 【考点】 ： 菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质 【分析】 ： 连接 BD，过 D作 DHAB，则阴影部分的面积可分为 3 部分，再根据菱形 的
12、性质，三角形的面积公式以及扇形的面积公式计算即可 【解答】 ： 解：连接 BD，过 D作 DHAB， 在菱形 ABCD 中，AB=1，DAB=60 ，把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30 得到菱形 ABCD， DH= ， SABD=1 = ，来源:学+科+网 7 / 16 图中阴影部分的面积为+ ， 故答案为：+ 【点评】 ： 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换只 改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键 【题 6】 （2014泰州第 16 题）如图，正方向 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点， DAE=30 ，M 为 AE 的中
13、点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若 PQ=AE， 则 AP 等于 cm 【考点】: 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形 【专题】 ： 分类讨论 【分析】 ： 根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到 AD=DC=PN，在直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而 利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到三角 形 ADE 与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到 DE=NQ， DAE=NPQ=30 ， 再由 PN 与
14、DC 平行， 得到PFA=DEA=60 ， 进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长，再利用对称性确定出 AP的长即可 【解答】 ： 解：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N， 四边形 ABCD 为正方形， AD=DC=PN， 在 RtADE 中，DAE=30 ，AD=3cm， 8 / 16 tan30 =，即 DE=cm， 根据勾股定理得：AE=2cm， M 为 AE 的中点， AM= AE=cm， 在 RtADE 和 RtPNQ 中， ， RtADERtPNQ（HL） ， DE=NQ，DAE=NPQ
15、=30 ， PNDC， PFA=DEA=60 ， PMF=90 ，即 PMAF， 在 RtAMP 中，MAP=30 ，cos30 =， AP=2cm； 由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm， 综上，AP 等于 1cm 或 2cm 故答案为：1 或 2 【点评】 ： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判 定与性质是解本题的关键 【题 7】 (2014 年重庆市第 18 题)如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、 BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长
16、为 9 / 16 【考点】 ： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质 【分析】 ： 在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG，证明OBGOCF，则 OG=OF， BOG=COF，得出等腰直角三角形 GOF，在 RTBCE 中，根据射影定理求得 GF 的长， 即可求得 OF 的长来源:Z_xx_k.Com 【解答】 ： 解：如图，在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG， RTBCE 中，CFBE， EBC=ECF， OBC=OCD=45 ， OBG=OCF， 在OBG 与OCF 中 OBGOCF（SAS） OG=OF，BOG=COF， OGOF， 在 RTBCE 中，BC=DC
17、=6，DE=2EC， EC=2， BE=2， BC2=BFBE， 则 62=BF，解得：BF=， EF=BEBF=， CF2=BFEF， CF=， 10 / 16 GF=BFBG=BFCF=， 在等腰直角OGF 中 OF2= GF2， OF= 【点评】 ： 本题考查了全等三角形的判定和性质， 直角三角形的判定以及射影定理、 勾股 定理的应用 【题 8】 (2014 年宁夏第 15 题)如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AB=CD=2，BC=5， BAD 的平分线交 BC 于点 E，且 AECD，则四边形 ABCD 的面积为 【考点】 ： 平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质 【
18、分析】 ： 根据题意可以判定ABE 是等边三角形，求得该三角形的高即为等腰梯形 ABCD 的高所以利用梯形的面积公式进行解答来源:163文库 【解答】 ： 解：如图，过点 A 作 AFBC 于点 F ADBC， DAE=AEB， 又BAE=DAE， BAE=AEB， AECD， AEB=C， ADBC，AB=CD=2， 四边形是等腰梯形， 11 / 16 B=C， ABE 是等边三角形， AB=AE=BE=2，B=60 ， AF=ABsin60 =2=， ADBC，AECD， 四边形 AECD 是平行四边形， AD=EC=BCBE=52=3， 梯形的面积= （AD+BC） AF= （3+5）=
19、4 【点评】 ： 本题考查了等边三角形的判定和性质， 平行四边形的判定和性质， 等腰梯形的 性质等 【题 9】 （2014宁波第 11 题）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上， BC=1，CE=3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是 【考点】： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理 【分析】： 连接 AC、 CF， 根据正方形性质求出 AC、 CF， ACD=GCF=45 ， 再求出ACF=90 ，然后利用勾股定理列式求出 AF，再根据直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可 【解答】： 解：如图，连接 AC、CF， 正方形 ABCD
20、 和正方形 CEFG 中，BC=1，CE=3， 12 / 16 AC=，CF=3， ACD=GCF=45 ， ACF=90 ， 由勾股定理得，AF=2， H 是 AF 的中点， CH= AF= 2= 【点评】： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 正 方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角 形是解题的关键 【题 10】（2014武汉第 16 题）如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3， ABC=ACB=ADC=45 ，则 BD 的长为_ 【考点】： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 【分析】： 根据等式的性质，可得BAD 与CAD
21、的关系，根据 SAS，可得BAD 与 CAD的关系，根据全等三角形的性质，可得 BD 与 CD的关系，根据勾股定 理，可得答案 【解答】： 解：作 ADAD，AD=AD，连接 CD，DD，如图：， BAC+CAD=DAD+CAD， 即BAD=CAD， 在BAD 与CAD中， 13 / 16 ， BADCAD（SAS）， BD=CD DAD=90 由勾股定理得 DD=， DDA+ADC=90 由勾股定理得 CD=， BD=CD=， 故答案为： 【点评】： 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股 定理，作出全等图形是解题关键 【题 11】 （2014苏州第 17 题）
22、如图，在矩形 ABCD 中，= ，以点 B 为圆心，BC 长 为半径画弧，交边 AD 于点 E若 AEED= ，则矩形 ABCD 的面积为 来源:学科 网 14 / 16 【考点】 ： 矩形的性质；勾股定理 【分析】 ： 连接 BE，设 AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出 AE=4x，DE=x，求出 x 的值， 求出 AB、BC，即可求出答案 【解答】 ： 解：如图，连接 BE，则 BE=BC 设 AB=3x，BC=5x， 四边形 ABCD 是矩形， AB=CD=3x，AD=BC=5x，A=90 ， 由勾股定理得：AE=4x， 则 DE=5x4x=x， AEED= ， 4xx= ， 解得
23、：x=（负数舍去） ， 则 AB=3x=，BC=5x=， 矩形 ABCD 的面积是 AB BC=5， 故答案为：5 【点评】 ： 本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出 x 的值，题目 比较好，难度适中 【题 129】（2014枣庄第 18 题）图所示的正方体木块棱长为 6cm，沿其相邻三个面 的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从 顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为_cm 15 / 16 【考点】： 平面展开最短路径问题；截一个几何体 【分析】： 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之 间线段最短”得出结果
24、来源:Z。xx。k.Com 【解答】： 解：如图所示： BCD 是等腰直角三角形，ACD 是等边三角形， 在 RtBCD 中，CD=6cm， BE= CD=3cm， 在 RtACE 中，AE=3cm， 从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为（3+3）cm 故答案为：（3+3） 【点评】： 考查了平面展开最短路径问题，本题就是把图的几何体表面展开成平面 图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题 【题 13】 (2014 年江苏徐州第 18 题)如图，在正方形 ABCD 中，点 P 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动；同时，点 Q 沿边 AB、BC 从
25、点 A 开始向点 C 以 2cm/s 的速度移动当点 P 移动到点 A 时，P、Q 同时停止移动设点 P 出发 xs 时，PAQ 的面 积为 ycm2， y 与 x 的函数图象如图， 则线段 EF 所在的直线对应的函数关系式为 16 / 16 【考点】 ：动点问题的函数图象 【分析】 ：根据从图可以看出当 Q 点到 B 点时的面积为 9，求出正方形的边长，再利用三 角形的面积公式得出 EF 所在的直线对应的函数关系式 【解答】 ：解：点 P 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动；点 Q 沿边 AB、BC 从点 A 开始向点 C 以 2cm/s 的速度移动 当 P 点到 AD 的中点时，Q 到 B 点， 从图可以看出当 Q 点到 B 点时的面积为 9， 9= （ AD）AB， AD=AB， AD=6，即正方形的边长为 6， 当 Q 点在 BC 上时，AP=6x，APQ 的高为 AB， y= （6x） 6，即 y=3x+18 故答案为：y=3x+18 【点评】 ：本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长
