1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示 1 (2015 年辽宁沈阳质检 )已知在 ?ABCD 中， AD (2,8)， AB ( 3,4)，则 AC ( ) A ( 1， 12) B ( 1,12) C (1， 12) D (1,12) 2在下列向量组中，可以把向量 a (3,2)表示出来的是 ( ) A e1 (0,0)， e2 (1,2) B e1 ( 1,2)， e2 (5， 2) C e1 (3,5)， e2 (6,10) D e1 (2， 3)， e2 ( 2,3) 3如图 X421，在 OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， OP xOA yO
2、B ，且 BP 2PA ，则( ) 图 X421 A x 23， y 13 B x 13， y 23 C x 14， y 34 D x 34， y 14 4若向量 ， 是一组基底，向量 x y (x， y R)，则称 (x， y)为向量 在基底 ， 下的坐标，现已知向量 a 在基底 p (1， 1)， q (2,1)下的坐标为 ( 2,2)，则 a 在另一组基底 m ( 1,1)， n (1,2)下的坐标为 ( ) A (2,0) B (0， 2) C ( 2,0) D (0,2) 5 (2016 年湖南怀化一模 )如图 X422，在 ABC 中， D 为 AB 的中点， F 在线段 CD 上
3、，设 AB a， AC b， AF xa yb，则 1x 2y的最小值为 ( ) 图 X422 A 8 2 2 B 8 C 6 D 6 2 2 6 (2016 年山西晋中四校联考 )在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 AC AE AF ，其中 ， R，则 _. 7 (2017 年江苏 )如图 X423，在同一个平面内，向量 OA ， OB ， OC 的模分别为 1,1， 2，OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan 7， OB 与 OC 的夹角为 45. 若 OC mOA nOB (m， n R), 则 m n _. 图 X423 8如图 X424，
4、A， B 分别是射线 OM， ON 上的点，给出下列以 O 为起点的向量： OA =【 ;精品教育资源文库 】 = 2OB ； 12OA 13OB ； 34OA 13OB ； 34OA 15OB ； 34OA BA 23OB .其中终点落在阴影区域内的向量的序号是 _(写出满足条件的所有向量的序号 ) 图 X424 9如图 X425，已知点 A(1,0)， B(0,2)， C( 1， 2)，求以 A， B， C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 图 X425 10 (2016 年广西南宁模拟 )如图 X426，已知 OCB 中， A 是 CB 的中点， D 是将 OB 分成 2 1
5、的一个内分点， DC 和 OA 交于点 E，设 OA a， OB b. (1)用 a 和 b 表示向量 OC ， DC ； (2)若 OE OA ，求实数 的值 图 X426 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示 1 B 解析：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AC AB AD ( 1,12) 2 B 解析：由题意知， A 选项中 e1 0， C， D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件故选 B. 3 A 解析：由题意知， OP OB BP .又 BP 2PA ，所以 OP OB 23BA OB 23(OA OB ) 23OA 13OB .所以 x
6、 23， y 13. 4 D 解析： a 在基底 p， q 下的坐标为 ( 2,2)， 即 a 2p 2q (2,4) 令 a xm yn ( x y， x 2y)， ? x y 2，x 2y 4， 即 ? x 0，y 2. a 在基底 m， n 下的坐标为 (0,2) 5 B 解析：因为 D 为 AB 的中点，所以 AB 2AD .因为 AF xa yb，所以 AF 2xAD yAC . 因为 F 在线段 CD 上，所以 2x y 1.又 x， y0， 所以 1x 2y (2x y)? ?1x 2y 4 yx 4xy 4 2 yx 4xy 8，当且仅当 y 2x 12时取等号，所以 1x 2
7、y的最小值为 8. 6.43 解析：选择 AB ， AD 作为平面向量的一组基底， 则 AC AB AD ， AE 12AB AD ， AF AB 12AD . 又 AC AE AF ? ?12 AB ? ? 12 AD ， 于是? 12 1， 12 1.解得? 23， 23.所以 43. 7 3 解析：由 tan 7，得 sin 7 210 ， cos 210. 根据向量的分解，易得 ? ncos 45 mcos 2，nsin 45 msin 0， ? 22 n 210m 2，22 n7 210 m 0，即? 5n m 10，5n 7m 0， 解得 ? m 54，n 74，所以 m n 3.
8、 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 解析：作图， OA 2OB 终点显然落在阴影区域内； 12OA 12OB 终点落在 AB 上，故 12OA 13OB 终点落在 OAB 内； 34OA 14OB 终点落在 AB 上，故 34OA 13OB 终点落在阴影区域内，34OA 15OB 终点落在 OAB 内； 34OA BA 23OB 74OA 13OB ，终点显然落在阴影区域外 9解：如图 D110，以 A， B， C 为顶点的平行四边形可以有三种情况： 图 D110 ?ABCD； ?ADBC； ?ABDC. 设 D 的坐标为 (x， y)， 若是 ?ABCD，则由 AB DC ， 得 (0,
9、2) (1,0) ( 1， 2) (x， y)， 即 ( 1,2) ( 1 x， 2 y) ? 1 x 1， 2 y 2. ? x 0，y 4. 点 D 的坐标为 (0， 4)(如图 D110 所示的点 D1) 若是 ?ADBC，由 CB AD ，得 (0,2) ( 1， 2) (x， y) (1,0)， 即 (1,4) (x 1， y)，解得 x 2， y 4. 点 D 的坐标为 (2,4)(如图中所示的点 D2) 若是 ?ABDC，则由 AB CD ，得 (0,2) (1,0) (x， y) ( 1， 2)， 即 ( 1,2) (x 1， y 2) 解得 x 2， y 0. 点 D 的坐标
10、为 ( 2,0)(如图 D110 所示的 D3) 以 A， B， C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为 (0， 4)或 (2,4)或 ( 2,0) 10解： (1)由题意 ，知 A 是 CB 的中点，且 OD 23OB ， 由平行四边形法则，得 OB OC 2OA . 所以 OC 2OA OB 2a b， DC OC OD (2a b) 23b 2a 53b. (2)由题意，知 EC DC ，故设 EC xDC . 因为 EC OC OE (2a b) a (2 )a b， DC 2a 53b， 所以 (2 )a b x? ?2a 53b . 因为 a 与 b 不共线，由平面向量基本定量， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得? 2 2x， 1 53x. 解得 ? x 35， 45.故 45.
