1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 选修 42 矩阵与变换 第 1 课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法 掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的平面变换的几何表示及其几何意义 . 掌 握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的平面变换的几何表示及其几何意义 ，并能应用这几种常见的平面变换进行解题 . 1. 已知矩阵 M ? ? 1 1 1 2 ， MX Y 且 Y ? ?12 ， 求矩阵 X. 解：设 X ? ?xy ， 则 ? ? 1 1 1 2 ? ?xy ? ? x y x 2y ? ?12 ， 所以由?x y 1， x 2y 2， 得
2、 ?x 0，y 1， 故 X ? ?01 . 2. 点（ 1， k）在伸压变换矩阵 ? ?m 00 1 之下的对应点的坐标为（ 2， 4） ， 求 m， k的值 . 解： ? ?m 00 1 ? ? 1 k ? ? 2 4 ，? m 2，k 4， 解得 ?m 2，k 4. 3. 已知在一个二阶矩阵 M 对应的变换作用下 ， 将点（ 1， 1） ， （ 1， 2）分别变换成（ 1，1） ， （ 2， 4） ， 求矩阵 M. 解：设 M ? ?a bc d ， 则 ? ?a bc d ? ?11 ? ?11 ， 即?a b 1，c d 1. 由题意可得 ? ?a bc d ? ? 1 2 ? ?
3、2 4 ，即? a 2b 2， c 2d 4， 联立两个方程组 ， 解得?a 43，b 13，c 23，d 53.即矩阵 M? 43 13 23 53. 4. 已知曲线 C： x2 2xy 2y2 1， 矩阵 A ? ?1 21 0 所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲线C1， 求曲线 C1的方程 . 解：设曲线 C 上的任意一点 P（ x， y）在矩阵 A ? ?1 21 0 对应的变换作用下得到点 Q（ x ，y ） ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 ? ?1 21 0 ? ?xy ? ?xy ， 即 x 2y x ， x y ， 所以 x y ， y x y2 . 代入 x2 2
4、xy 2y2 1， 得 y 2 2y x y2 2? ?x y22 1， 即 x 2 y 2 2， 所以曲线 C1的方程为 x2 y2 2. 5. 求使等式 ? ?1 23 4 ? ?1 00 2 M? ?1 00 1 成立的矩阵 M. 解：设 M ? ?a bc d ， ? ?1 00 2 ? ?a bc d ? ?a b2c 2d ， ? ?a b2c 2d ?1 00 1 ?a b2c 2d . ? ?1 23 4 ? ?a b2c 2d ， ?1 a，2 b，3 2c，4 2d， ?a 1，b 2，c 32，d 2， M?1 232 2. 1. 二阶矩阵与平面向量 （ 1） 矩阵的概念
5、 在数学中 ， 把形如 ? ?13 ， ? ?2 31 5 ， ? ?1 3 42 0 1 这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵 ，其中 ， 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行 ， 同 一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列 ， 而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素 . （ 2） 行矩阵与列矩阵的乘法规则 a11 a12? ?b11b21 a11 b11 a12 b21. （ 3） 二阶矩阵与列向量的乘法规则 ?a11 a12a21 a22 ?x0y0 ?a11 x0 a12 y0a21 x0 a22 y0 . 2. 几种常见的平面变换 （ 1） 当
6、M ? ?1 00 1 时 ， 对应的变换是恒等变换 . （ 2） 由矩阵 M ? ?k 00 1 或 M ? ?1 00 k （ k0， 且 k1 ）确定的变换 TM 称为（垂直）伸压变换 . （ 3） 反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称 . =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 4） 当 M ? ?cos sin sin cos 时 ，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度 . （ 5） 将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换 . （ 6） 由矩阵 M ? ?1 k0 1 或 M ? ?1 0k 1 （ k R， k 0）确定的变换称为
7、切变变换 . 3. 线性变换的基本性质 （ 1） 设向量 ? ?xy ， 则 ? ?xy . （ 2） 设向量 ? ?x1y1， ? ?x2y2， 则 ? ?x1 x2y1 y2. （ 3） A 是一个二阶矩阵 ， ， 是平面上任 意两个向量，是任一实数，则 A（ ） A ， A（ ） A A . （ 4） 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点） . 4. 二阶矩阵的乘法 （ 1） A ? ?a1 b1c1 d1， B ? ?a2 b2c2 d2， 则 AB ? ?a1a2 b1c2 a1b2 b1d2c1a2 d1c2 c1b2 d1d2. （ 2） 矩阵乘法满足结合
8、律：（ AB） C A（ BC） . 备课札记 1 二阶矩阵的运算 1 已知矩阵 A ? ? 1 2 1 x ， B ? ?1 12 1 ， 向量 ? ?2y .若 A B ， 求实数x， y 的值 . 解： A ? ?2y 22 xy ， B ? ?2 y4 y ， 由 A B ， 得?2y 2 2 y，2 xy 4 y， 解得?x 12，y 4.变式训练 已知矩阵 A ? ? 1 2 2 1 ， B ? ? 5 15 ， 满足 AX B， 求矩阵 X. 解：设 X ? ?ab ， 由 ? ? 1 2 2 1 ? ?ab ? ? 5 15 ， 得?a 2b 5， 2a b 15， 解得?a
9、7，b 1， 此时 X ?71 . , 2 求变 换前后的点的坐标与曲线方程 ) , 2) （ 1） （ 2017 苏北四市期中）求椭圆 C： x29y24 1 在矩阵 A=【 ;精品教育资源文库 】 = ?13 00 12对应的变换作用下所得的曲线的方程 . （ 2） 设 M ? ?1 00 2 ， N?12 00 1， 试求曲线 y sin x 在矩阵 MN 对应的变换作用下的曲线方程 . 解：（ 1） 设椭圆 C 上的点（ x1， y1）在矩阵 A 对应的变换作用下得到点（ x， y） ， 则?13 00 12 ? ?x1y1?13x112y1 ? ?xy ， 则?x1 3x，y1 2y
10、， 代入椭圆方程x29y24 1， 得 x2 y2 1， 所以所求曲线的方程为 x2 y2 1. （ 2） MN ? ?1 00 2?12 00 1?12 00 2， 设（ x， y）是曲线 y sin x 上的任意一点 ， 在矩阵 MN 对应的变换作用下对应的点为（ x ，y ） . 则?12 00 2 ? ?xy ? ?xy ， 所以?x 12x，y 2y，即?x 2x ，y 12y ， 代入 y sin x， 得 12y sin 2x ， 即 y 2sin 2x . 即曲线 y sin x 在矩阵 MN 对应的变换作用下的曲线方程为 y 2sin 2x. 变式训练 在平面 直角坐标系 x
11、Oy 中 ， 设点 A（ 1， 2）在矩阵 M ? ? 1 0 0 1 对应的变换作用下得到点 A ， 将点 B（ 3， 4）绕点 A 逆时针旋转 90 得到点 B ， 求点 B 的坐标 . 解：设 B （ x， y） ， 依题意 ， 由 ? ? 1 0 0 1 ? ? 1 2 ? ?12 ， 得 A （ 1， 2） . 则 AB （ 2， 2） ， AB （ x 1， y 2） . 记旋转矩阵 N ? ?0 11 0 ， 则 ? ?0 11 0 ? ?22 ? ?x 1y 2 ， 即 ? ? 2 2 ? ?x 1y 2 ， 解得?x 1，y 4， 所以点 B 的坐标为（ 1， 4） . ,
12、3 根据变换前后的曲线方程求矩阵 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = , 3) 已知矩阵 A ? ?a 11 a ， 直线 l： x y 4 0 在矩阵 A 对应的变换作用下变为直线 l ： x y 2a 0. （ 1） 求实数 a 的值； （ 2） 求 A2. 解：（ 1） 设直线 l 上任一点 M0（ x0， y0）在矩阵 A 对应的变换作用下变为 l 上的点 M（ x， y） ， 则 ? ?xy ? ?a 11 a ? ?x0y0 ? ?ax0 y0x0 ay0， 所以?x ax0 y0，y x0 ay0. 代入 l 方程得（ ax0 y0）（ x0 ay0） 2a 0， 即（ a 1
13、） x0（ a 1） y0 2a 0. 因为（ x0， y0）满足 x0 y0 4 0， 所以 2aa 1 4， 解得 a 2. （ 2） 由 A ? ?2 11 2 ， 得 A2 ? ?2 11 2 ? ?2 11 2 ? ?5 44 5 . 变式训练 （ 2017 镇江期末）已知实数 a， b， 矩阵 A ? ? 1 a b 3 对 应的变换将直线 x y 1 0变换为自身 ， 求 a， b 的值 . 解：设直线 x y 1 0 上任意一点 P（ x， y）在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P （ x ，y ） ， 由 ? ? 1 a b 3 ? ?xy ? ?xy ， 得?x x ay
14、，y bx 3y. 因为 P （ x ， y ）在直线 x y 1 0 上 ， 所以 x y 1 0， 即（ 1 b） x（ a 3） y 1 0. 因为 P（ x， y）在直线 x y 1 0 上 ， 所 以 x y 1 0. 因此? 1 b 1，a 3 1， 解得 ?a 2，b 2. 备选变式（教师专享） 已知直线 l： x y 1 在矩阵 A ? ?m n0 1 对应的变换作用下变为直线 l ： x y 1， 求矩阵 A. 解：设直线 l： x y 1 上任意一点 M（ x， y）在矩阵 A 对应的变换作用下 ， 变换为点 M（ x ， y ） . 由 ? ?xy ? ?m n0 1 ? ?xy ? ?mx nyy ， 得?x mx ny，y y. 又点 M （ x ， y ）在 l 上 ， 所以 x y 1， 即（ mx ny） y 1. 依题意?m 1，n 1 1， 解得 ?m 1，n 2， 所以 A ?1 20 1 . , 4 平面变换的综合应用 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = , 4) 已知 M ? ?1 10 1 ， N?1 00 12 ， 向量 ?34 .求证： （ 1） （ MN） M（ N ）； （ 2） 这两个矩阵不满足 MN NM. 证明：（ 1）
