1、F平面向量F1平面向量的概念及其线性运算4H1、F12012上海卷 若d(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为_(结果用反三角函数值表示)4arctan解析 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率由已知可得直线的斜率k，ktan，所以直线的倾斜角arctan.20H5、F1、H12012陕西卷 已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程20解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的
2、方程为1.(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故
3、直线AB的方程为yx或yx.F2平面向量基本定理及向量坐标运算13F2、F32012湖北卷 已知向量a(1,0)，b(1,1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_13答案 (1)(2)解析 (1)由题意，2ab(3,1)，所以与2ab同向的单位向量的坐标为，即.(2)因为a(1,0)，b(1,1)，所以b3a(2,1)设向量b3a与向量a的夹角为，则cos.3F22012广东卷 若向量(1,2)，(3,4)，则()A(4,6) B(4，6)C(2，2) D(2,2)3A解析 因为(1,2)(3,4)(4,6)所以选择A.9F22012全国卷
4、ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab9D解析 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作为基底去表示向量.易知ab，|AB|，用等面积法求得|CD|，AD，AB，(ab)，故选D.7F2、C62012陕西卷 设向量a(1，cos)与b(1,2cos)垂直，则cos2等于()A. B. C0 D17C解析 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有12cos20，则cos22cos210.故选C.6F2、F32012重庆卷 设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B.C2
5、D106B解析 因为ab，所以ab0，即x11(2)0，解得x2，所以ab(3，1)，|ab|，选B.F3平面向量的数量积及应用12F32012上海卷 在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_121,4解析 令n(0n1)，则(1n)，在矩形ABCD中，n，(1n)，所以(n)(1n)(1n)2n243n，而函数f(n)43n在0,1上是单调递减的，其值域为1,4，所以的取值范围是1,41F32012辽宁卷 已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1 BC. D11D解析 本小题主要考查向量数量积的坐标运算解题的
6、突破口为正确运用数量积的坐标运算公式因为ab(1，1)(2，x)121x1x1，所以答案选D.15F32012课标全国卷 已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.15答案 3解析 因为|2ab|，平方得4a24abb210，得44|b|b|210，解得|b|3.12F32012江西卷 设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_.12.解析 设c(1,2) ，则cb，cm.| m |1，|mc|c|.21H5、H8、F32012重庆卷 如图，设椭圆的中点为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，
7、且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求PB2Q的面积21解：(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因AB1B2是直角三角形且|AB1|AB2|，故B1AB2为直角，从而|OA|OB2|，即b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2，由题设条件SAB1B24得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为：1.(2)由(1)知B1(2,0)、B2(2,0)由题
8、意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为：xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，知0，即16m2640，解得m2.当m2时，方程(*)化为：9y28y160，故y1，y2，|y1y2|，PB2Q的面积S|B1B2|y1y2|.当m2时，同理可得(或由对称性可得)PB2Q的面积S.综上所述，PB2Q的面积为.9F32
9、012江苏卷 如图13，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_图139.解析 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F的位置以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则(，0)设(x,2)，则由条件得x，得x1，从而F(1,2)，(，1)，(1，2)，于是.15F32012湖南卷 如图15，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_.图151518解析 本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来
10、表示(2)222|18.易错点 本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错二：不会转化，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了在向量上的射影等于|.13F2、F32012湖北卷 已知向量a(1,0)，b(1,1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_13答案 (1)(2)解析 (1)由题意，2ab(3,1)，所以与2ab同向的单位向量的坐标为，即.(2)因为a(1,0)，b(1,1)，所以b3a(2,1)设向量b3a与向量a的夹角为，则cos.10F32012广东卷 对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面
11、向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab()A. B. C1 D.10D解析 根据新定义得：ab(nZ)，(1)ba(mZ)，(2)以上两式相乘得：cos2(n，mZ)，cos2，即，所以0mn0时，|ab|a|b|，当0时，可有|ab|a|b|，故D不正确法二：特值验证排除，先取a(2,0)，b(1,0)，满足|ab|a|b|，但两向量不垂直，故A错；再取a(2,0)，b(1,0)，满足ab，但不满足|ab|a|b|，故D错；取a(2,0)，b(0，1)，满足ab，但不满足|ab|a|b|，故B错，所以答案为C.点评 由|ab|a|b|判断a，b方向相反，且有|a|b|是一
12、个重要的结论，由此可以对各选项加以正确分析与应用15C8、F32012浙江卷 在ABC中，M是线段BC的中点，AM3，BC10，则_.1516解析 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积法一：()()|2|295516.法二：特例法：假设ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，如图，AM3，BC10，ABAC，cosBAC，|cosBAC16.6F2、F32012重庆卷 设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B.C2 D106B解析 因为ab，所以ab0，即x11(2)0，解得x2，所以ab(3，1)，|ab|，选B.F4 单元综合7F42012四川
13、卷 设a、b都是非零向量下列四个条件中，使成立的充分条件是()A|a|b|且ab BabCab Da2b7D解析 要使得，在a，b为非零向量的前提下，必须且只需a、b同向即可，结合四个选项，只有D满足这一条件16C9、F42012山东卷 如图15，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_图1516(2sin2,1cos2)解析 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，难题根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作C2My轴于M, PC2Q2，PC2M2，点P的横坐标为21cos2sin2，点P的纵坐标为11sin1cos2.
