1、B 函数与导数B1函数及其表示14B12012天津卷 已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_14(0,1)(1,4)解析 本题考查函数的表示及图象应用，考查应用意识，偏难y 在同一坐标系内画出ykx2与y的图象如图，结合图象当直线ykx2斜率从0增到1时，与y在x轴下方的图象有两公共点；当斜率从1增到4时，与y的图象在x轴上下方各有一个公共点5B12012江苏卷 函数f(x)的定义域为_5(0，解析 本题考查函数定义域的求解解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件由解得00，yxex的定义域为R，y的定义域为x|x0，故选D.3B12012江西卷 若函数f
2、(x)则f(f(10)()Alg101 B2 C1 D03B解析 考查分段函数的定义、对数的运算、分类讨论思想；解题的突破口是根据自变量取值范围选择相应的解析式解决问题101，f(10)lg1011，f(f(10)f(1)1212，故选B.B2 反函数B3 函数的单调性与最值7B32012上海卷 已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_7(，1解析 考查复合函数的单调性，实为求参数a 的取值范围令t，又e1，函数f(x)在1，)上是增函数，只需函数t在1，)上是增函数，所以参数a的取值范围是(，111B3、B4、B92012辽宁卷 设函数f(x
3、)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A5 B6 C7 D811B解析 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断解题的突破口为根据函数的性质得到函数f(x)的解析式，结合函数图象求解f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(2x)f(x2)，所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f(0)0，f(1)1，而g(x)为偶函数，且g(0)ggg0，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数h(x)g(x)f(x)在上
4、的零点个数为6.3A2、B32012山东卷 设a0且a1，则“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3A解析 本题考查充分必要条件及函数的单调性，考查推理论证能力，容易题当fax为R上的减函数时，0a0，此时g(x)(2a)x3在R上为增函数成立；当g(x)(2a)x3为增函数时，2a0即a2，但1a即可，也就是，即可以看作点Qm(m，Sm)与O(0,0)连线的斜率大于点Qm1(m1，Sm1)与O(0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q9(9，S9)与O(0,0)连线的斜率开始大
5、于点Q10(10，S10)与O(0,0)连线的斜率答案为C.14A2、A3、B3、E32012北京卷 已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若同时满足条件：xR，f(x)0或g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)0.则m的取值范围是_14(4，2)解析 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能满足条件时，由g(x)2x20，可得x1，要使xR，f(x)0或g(x)0，必须使x1时，f(x)m(x2m)(xm3)0恒成立，当m0时，f(x)m(x2m)(xm3)0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m0，要满足条件，必须使方
6、程f(x)0的两根2m，m3都小于1，即可得m(4,0)满足条件时，因为x(，4)时，g(x)0，所以要使x(，4)时，f(x)g(x)0即可，只要使4比2m，m3中较小的一个大即可，当m(1,0)时，2mm3，只要4m3，解得m1与m(1,0)的交集为空集；当m1时，两根为2；24，不符合；当m(4，1)时，2m2m，所以m(4，2)综上可知m(4，2)20B3、D4、M42012北京卷 设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合对于AS(m，n)，记ri(A)为A的第i行各数之和(1im)，cj(A)为A
7、的第j列各数之和(1jn)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|rm(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|cn(A)|中的最小值(1)对如下数表A，求k(A)的值；110.80.10.31(2)设数表AS(2,3)形如11cab1求k(A)的最大值；(3)给定正整数t，对于所有的AS(2,2t1)，求k(A)的最大值20解：(1)因为r1(A)1.2，r2(A)1.2，c1(A)1.1，c2(A)0.7，c3(A)1.8，所以k(A)0.7.(2)不妨设ab.由题意得c1ab.又因c1，所以ab0，于是a0.r1(A)2c1，r2(A)r1(A)1，c1(A)1a，c2(A)1
8、b，c3(A)(1a)(1b)(1a)所以k(A)1a1.当ab0且c1时，k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t，任给数表AS(2,2t1)如下：a1a2a2t1b1b2b2t1任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*S(2,2t1)，并且k(A)k(A*)因此，不妨设r1(A)0，且cj(A)0(j1,2，t1)由k(A)的定义知，k(A)r1(A)，k(A)cj(A)(j1,2，t1)又因为c1(A)c2(A)c2t1(A)0，所以(t2)k(A)r1(A)c1(A)c2(A)ct1(A)r1(A)ct2(A)c2t1(A)jj(t1)t(1)2t
9、1.所以k(A).对数表A0：第1列第2列第t1列第t2列第2t1列1111111 则A0S(2,2t1)，且k(A0).综上，对于所有的AS(2,2t1)，k(A)的最大值为.2B3、B42012陕西卷 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|2D解析 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的图像从左
10、向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D，我们也可利用x0、x0、x0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求12B3、D22012四川卷 设函数f(x)2xcosx，an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5()A0 B.2C.2 D.212D解析 设a3，则a1，a2，a4，a5，由f(a1)f(a2)f(a5)5，得25coscoscoscoscos5，即10(1)cos5.当0时，左边是的增函数，且满足等式；当时，1010，而(1)cos5cos5，等式不可能成立；当0时，100，而(1)cos5，等式也不可能成立故a3.f(
11、a3)2a1a522.B4 函数的奇偶性与周期性9B42012上海卷 已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.91解析 考查函数的奇偶性和转化思想，此题的关键是利用yf(x)x2为奇函数已知函数yf(x)x2为奇函数，则f(1)(1)2f(1)12，解得f(1)3，所以g(1)f(1)2321.8B42012山东卷 定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x0、x0、x0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求11B3、B4、B92012辽宁卷 设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，
12、且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A5 B6 C7 D811B解析 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断解题的突破口为根据函数的性质得到函数f(x)的解析式，结合函数图象求解f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(2x)f(x2)，所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f(0)0，f(1)1，而g(x)为偶函数，且g(0)ggg0，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为6.B5 二次函数12B52012山东卷
13、 设函数f(x)，g(x)ax2bx(a，bR，a0)，若yf(x)的图象与yg(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A当a0时，x1x20B当a0，y1y20时，x1x20，y1y20时，x1x20，y1y2012B解析 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难当yf的图象与yg图象有且仅有两个不同的公共点时，a0时，其图象为作出点A关于原点的对称点C，则C点坐标为(x1，y1)，由图象知x1y2，故x1x20，y1y20时，有x1x20，故选B.17B5、B92012浙江卷 设aR，若x0时均有(a1)x1(x2ax1)0，则
14、a_.17.解析 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数形结合和转化化归的数学思想令y1x1，y2x2ax1，则函数y1x1，y2x2ax1都过定点P.考查函数y1x1，令y0，得M，同时只有a10即a1时才有可能满足x时，y1y20；考查函数y2x2ax1，显然只有过点M时才能满足x时，y1y20，代入得：210，可得2a10,2a23a0解得a或a0，舍去a0，得答案：a.3B13、B52012湖北卷 已知二次函数yf(x)的图象如图11所示，则它与x轴所围图形的面积为()图11A. B.C. D.3B解析 (解法一)设f(x)ax2bxc.因为函数f(x)的图象
15、过(1,0)，(1,0)，(0,1)，代入得 解得 故f(x)1x2.故S1dx.故选B.(解法二)设f(x)a，将x0，y1代入f(x)a，得a1，所以f(x)1x2，所以S1dx.故选B.(解法三)观察函数图象可知，二次函数f(x)的顶点坐标为(0,1)，故可设f(x)ax21，又函数图象过点(1,0)，代入得a1，所以f(x)x21.所以S.故选B.B6 指数与指数函数5B62012四川卷 函数yax(a0，且a1)的图象可能是()图125D解析 若a1，则f(x)为增函数，排除C、D，而01，图象与y轴的交点应该在(0,1)内，A、B也不符合，故a1不合题意若0a1，则f(x)为减函数
16、，排除A、B，此时1，故图象与y轴的交点应该在负半轴，排除C，选D.B7 对数与对数函数9B72012全国卷 已知xln，ylog52，ze，则()Axyz BzxyCzyx Dyzlne1,0log52e，yz0时，g(x)0，g(x)ln(x1)x单调递减 ，所以g(x)g(0)0，所以f(x)单调递增且小于0；当1x0，g(x)ln(x1)x单调递增， 所以g(x)g(0)0，所以f(x)单调递减且小于0.故选B.B8 幂函数与函数的图像象B9 函数与方程4B92012天津卷 函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0 B1 C2 D34B解析 本题考查函数的方程与零点
17、，考查数据处理能力，容易题法一：f(x)2xx32在(0,1)上单调递增，且f(0)f(1)1110，函数f(x)2xx32在(0,1)上有一个零点法二：将2xx320化为2x2x3，在同一坐标系内画出y2x与y2x3的图象，如图所示，结合图象可知函数f(x)2xx32在(0,1)上有一个零点9B9、C12012湖北卷 函数f(x)xcosx2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5C6 D79. C解析 令f(x)0，得x0或cosx20，由x，得x2.因为cos0，故方程cosx20中x2的解只能取x2，.所以零点个数为6.故选C.11B3、B4、B92012辽宁卷 设函数f(x)(xR)
18、满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A5 B6 C7 D811B解析 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断解题的突破口为根据函数的性质得到函数f(x)的解析式，结合函数图象求解f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(2x)f(x2)，所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f(0)0，f(1)1，而g(x)为偶函数，且g(0)ggg0，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数
19、为6.21B9、E82012陕西卷 设函数fn(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n2，若对任意x1，x21,1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范围；(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，xn，的增减性21解：(1)b1，c1，n2时，fn(x)xnx1.fnfn(1)10，fn(x)在上是单调递增的，fn(x)在内存在唯一零点(2)当n2时，f2(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)在1,1上的最大值与最小值之差M4.据此
20、分类讨论如下：当1，即|b|2时，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾当10，即0b2时，Mf2(1)f224恒成立当01，即2b0时，Mf2(1)f224恒成立综上可知，2b2.注：，也可合并证明如下：用maxa，b表示a，b中的较大者当11，即2b2时，Mmaxf2(1)，f2(1)f2f21c|b|24恒成立(3)法一：设xn是fn(x)在内的唯一零点(n2)fn(xn)xxn10，fn1(xn1)xxn110，xn1，于是有fn(xn)0fn1(xn1)xxn11xxn11fn(xn1)，又由(1)知fn(x)在上是递增的，故xnxn1(n2)，所以，数列x2，x3，xn，
21、是递增数列法二：设xn是fn(x)在内的唯一零点，fn1(xn)fn1(1)(xxn1)(1n111)xxn1xxn10，则fn1(x)的零点xn1在(xn,1)内，故xn0时均有(a1)x1(x2ax1)0，则a_.17.解析 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数形结合和转化化归的数学思想令y1x1，y2x2ax1，则函数y1x1，y2x2ax1都过定点P.考查函数y1x1，令y0，得M，同时只有a10即a1时才有可能满足x时，y1y20；考查函数y2x2ax1，显然只有过点M时才能满足x时，y1y20，代入得：210，可得2a10,2a23a0解得a或a0，舍去
22、a0，得答案：a.B10 函数模型及其应用21B10 2012上海卷 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图14.现假设：失事船的移动路径可视为抛物线yx2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？图1421解：(1)t0.5时，P的横坐标xP7t，代入抛物线方程yx2，得P的纵
23、坐标yP3.由|AP|，得救援船速度的大小为海里/时由tanOAP，得OAParctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)由vt，整理得v2144337.因为t22，当且仅当t1时等号成立所以v21442337252，即v25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船18B10、B11、B122012北京卷 已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间
24、，并求其在区间(，1上的最大值18解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)当ba2时，h(x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.令h(x)0，得x1，x2.a0时，h(x)与h(x)的情况如下：xh(x)00h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为.当1，即0a2时，函数h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为h(1)aa2.当1，且1，即2a6时，函数h
25、(x)在区间内单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(，1上的最大值为h1.当6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增，又因hh(1)1aa2(a2)20，所以h(x)在区间(，1上的最大值为h1.22B10、B11、B122012浙江卷 已知a0，bR，函数f(x)4ax32bxab.(1)证明：当0x1时，(i)函数f(x)的最大值为|2ab|a；(ii)f(x)|2ab|a0；(2)若1f(x)1对x0,1恒成立，求ab的取值范围22解：(1)(i)f(x)12ax22b12a.当b0时，有f(x)0，此时f(x)在0，)上单调递增当b0时，f(x)12
26、a.此时f(x)在上单调递减，在上单调递增所以当0x1时，f(x)maxmaxf(0)，f(1)maxab,3ab|2ab|a.(ii)由于0x1，故当b2a时，f(x)|2ab|af(x)3ab4ax32bx2a4ax34ax2a2a(2x32x1)当b2a时，f(x)|2ab|af(x)ab4ax32b(1x)2a4ax34a(1x)2a2a(2x32x1)设g(x)2x32x1,0x1，则g(x)6x226，于是x01g(x)0g(x)1减极小值增1所以，g(x)ming10.所以当0x1时，2x32x10.故f(x)|2ab|a2a(2x32x1)0.(2)由(i)知，当0x1时，f(
27、x)max|2ab|a，所以|2ab|a1.若|2ab|a1，则由知f(x)(|2ab|a)1.所以1f(x)1对任意0x1恒成立的充要条件是即或在直角坐标系aOb中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.做一组平行线abt(tR)，得1ab3.所以ab的取值范围是(1,323“数学史与不等式选讲”模块已知aR，设关于x的不等式|2xa|x3|2x4的解集为A.(1)若a1，求A；(2)若AR，求a的取值范围解：(1)当x3时，原不等式化为3x22x4，综合得x3.当3x时，原不等式化为x42x4，综合得3时，原不等式为3x22x4，得x2.综上，Ax|x0或x2(2)当x
28、2时，|2xa|x3|02x4成立当x2时，|2xa|x3|2xa|x32x4，得xa1或x，所以a12或a1，得a2，综上，a的取值范围为a2.24“矩阵与变换和坐标系与参数方程”在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l：(t为参数)与曲线C：(为参数)相交于不同两点A，B.(1)若，求线段AB中点M的坐标；(2)若|PA|PB|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率解：设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.将曲线C的参数方程化为普通方程y21.(1)当时，设点M对应参数为t0.直线l方程为(t为参数)代入曲线C的普通方程y21，得13t256t480，则t0，所以，点M的坐标为.
29、(2)将代入曲线C的普通方程y21，得(cos24sin2)t2(8sin4cos)t120，因为|PA|PB|t1t2|，|OP|27，所以7.得tan2.由于32cos(2sincos)0，故tan.所以直线l的斜率为.8B3、B102012北京卷 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图16所示从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为()图16A5 B7 C9 D118C解析 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢法一：因为随着n的增大，Sn在增大，要使取得最大值，只要让随着n的增大Sn1Sn的值超过(平均变化)的加入即可，Sn1Sn的值不超过(
30、平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设是取的最大值，所以只要即可，也就是，即可以看作点Qm(m，Sm)与O(0,0)连线的斜率大于点Qm1(m1，Sm1)与O(0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q9(9，S9)与O(0,0)连线的斜率开始大于点Q10(10，S10)与O(0,0)连线的斜率答案为C.18K6、B102012课标全国卷 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰
31、花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由18解：(1)当日需求量n16时，利润y80.当日需求量n16时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为y(nN)(2)X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为EX600.1700.2800.776.X的方差为DX(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购
