1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 89 坐标系 1 在同一平面直角坐标系中 ， 经过伸缩变换?x 5x，y 3y 后 ， 曲线 C 变为曲线 x2 y 2 1，则曲线 C 的方程为 ( ) A 25x2 9y2 1 B 9x2 25y2 1 C 25x 9y 1 D.x225y29 1 答案 A 2 化极坐标方程 2cos 0 为直角坐标方程为 ( ) A x2 y2 0 或 y 1 B x 1 C x2 y2 0 或 x 1 D y 1 答案 C 3 在极坐标系中 ， 极坐标为 (2， 6)的点到极点和极轴的距离分别为 ( ) A 1， 1 B 1， 2 C 2， 1 D 2， 2
2、 答案 C 解析 点 ( ， )到极点和极轴的距离分别为 ， |sin |， 所以点 (2， 6 )到极点和极轴的距离分 别为 2， 2sin 6 1. 4 在极坐标系中 ， 点 (2， 3)到圆 2cos 的圆心的距离为 ( ) A 2 B. 4 29 C. 9 29 D. 7 答案 D 解析 在直角坐标系中 ， 点 (2， 3)的直角坐标为 (1， 3)， 圆 2cos 的直角坐标方程为 x2 y2 2x， 即 (x 1)2 y2 1， 圆心为 ( 1， 0)， 所以所求距离为（ 1 1） 2（ 3 0） 2 7.故选 D. 5 (2017 皖北协作区联考 )在极坐标系中 ， 直线 ( 3
3、cos sin ) 2 与圆 4sin 的交点的极坐标 为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A (2， 6) B (2， 3) C (4， 6) D (4， 3) 答案 A 解析 ( 3cos sin ) 2 可化为直角坐标方程 3x y 2， 即 y 3x 2. 4sin 可化为 x2 y2 4y， 把 y 3x 2 代入 x2 y2 4y， 得 4x2 8 3x 12 0， 即x2 2 3x 3 0， 所以 x 3， y 1. 所以直线与圆的交点坐标为 ( 3， 1)， 化为极坐标为 (2， 6)， 故选 A. 6 在极坐标系中 ， 与圆 4sin 相切的一条直线的方程是 ( )
4、 A sin 2 B cos 2 C cos 4 D cos 4 答案 B 解析 方法一：圆的极坐标方程 4sin 即 2 4 sin， 所以直角坐标方程为 x2 y2 4y 0. 选项 A， 直线 sin 2 的直角坐标方程为 y 2， 代入圆的方程 ， 得 x2 4， x 2 ， 不符合题意；选项 B， 直线 cos 2 的直角坐标方程为 x 2， 代入圆的方程 ， 得 (y 2)2 0， y 2， 符合题 意 同理 ， 以后选项都不符合题意 方法二：如图 ， C 的极坐标方程为 4sin， CO Ox， OA 为直径 ， |OA| 4， 直线 l 和圆相切 ， l 交极轴于点 B(2，
5、0)， 点 P( ， )为 l 上任意一点 ， 则有 cos |OB|OP| 2 ， 得 cos 2. 7 在极坐标系中 ， 曲线 2 6 cos 2 sin 6 0 与极轴交于 A， B 两点 ， 则 A， B两点间的距离等于 ( ) A. 3 B 2 3 C 2 15 D 4 答案 B 解析 化极坐标方程为直角坐标方程得 x2 y2 6x 2y 6 0， 易知此曲线是圆心为 (3， 1)，半径为 2 的圆 ， 如图所示可计算 |AB| 2 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 在极坐标系中 ， 圆 2cos 的圆心的极坐标是 _， 它与方程 4 (0) 所表示的图形的交点的极坐标是
6、_ 答案 (1， 0)， ( 2， 4 ) 解析 2cos 表示以点 (1， 0)为圆心 ， 1 为半径的圆 ， 故圆心的极坐标为 (1， 0) 当 4 时 ， 2， 故交点的极坐标为 ( 2， 4) 9 (2018 广州综合测试一 )在极坐标系中 ， 直线 ( sin cos ) a 与曲线 2cos 4sin 相交于 A， B 两点 ， 若 |AB| 2 3， 则实数 a 的值为 _ 答案 5 或 1 解析 将直线 ( sin cos ) a 化为普通方程 ， 得 y x a， 即 x y a 0， 将曲线 2cos 4sin 的方程化为普通方程 ， 得 x2 y2 2x 4y， 即 (x
7、 1)2 (y 2)2 5， 圆心坐标为 (1， 2)， 半径长为 r 5.设圆心到直线 AB 的距离为 d， 由勾股定理可得 dr2（ |AB|2 ） 2 5（ 2 32 ） 2 2， 而 d |1（ 2） a|12（ 1） 2 |a 3|2 2， 所以 |a 3| 2， 解得 a 5 或 a 1. 10 (2017 天津 ， 理 )在极坐标系中 ， 直线 4 cos( 6) 1 0 与圆 2sin 的公共点的个数为 _ 答案 2 解析 依题意 ， 得 4( 32 cos 12sin ) 1 0， 即 2 3 cos 2 sin 1 0， 所以直线的直角坐标方程为 2 3x 2y 1 0.由
8、 2sin， 得 2 2 sin， 所以圆的直角坐标方程为 x2 y2 2y， 即 x2 (y 1)2 1， 其圆心 (0， 1)到直线 2 3x 2y 1 0 的距离 d 340 ， 0 2 )， 曲线 C在点 (2， 4)处的切线为 l， 以极点为坐标原点 ， 以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 ，则 l 的直角坐标方程为 _ 答案 x y 2 2 0 解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线 2?x2 y2 4， 点 (2， 4)?( 2，2)因为点 ( 2， 2)在圆 x2 y2 4 上 ， 故圆在点 ( 2， 2)处的切线方程为 2x 2y=【 ;精品教育资源文库 】 =
9、 4?x y 2 2 0， 故填 x y 2 2 0. 16 在直角坐标系 xOy 中 ， 以原点 O 为极点 ， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ， 已知圆C 的圆心的极坐标为 ( 2， 4)， 半径 r 2， 点 P 的极坐标为 (2， )， 过 P 作 直线 l 交圆C 于 A， B 两点 (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)求 |PA|PB| 的值 答案 (1)(x 1)2 (y 1)2 2 (2)8 解析 (1)圆 C 的圆心的极坐标 C( 2， 4)， x 2cos 4 1， y 2sin 4 1， 圆 C 的直角坐标方程为 (x 1)2 (y 1)2 2. (2)点 P
10、的极坐标为 (2， )， 化为直角坐标为 P( 2， 0) 当直线 l 与圆 C 相切于点 D 时 ， 则 |PD|2 |PC|2 r2 ( 2 1)2 (0 1)2 ( 2)2 8. |PA| |PB| |PD|2 8. 17 (2018 河北唐山模拟 )在极坐标系 Ox 中 ， 直线 C1的极坐标方程为 sin 2， M 是 C1上任意一点 ， 点 P 在射线 OM 上 ， 且满足 |OP|OM| 4， 记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2的极坐标方程； (2)求曲线 C2上的点到直线 C3： cos( 4) 2距离的最大值 答案 (1) 2sin(0) (2)1 3 22 解析
11、 (1)设 P( ， )， M( 1， )， 依题意有 1sin 2， 1 4. 消去 1， 得曲线 C2的极坐标方程为 2sin (0) (2)将 C2， C3的极坐标方程化为直角坐标方程 ， 得 C2： x2 (y 1)2 1， C3： x y 2. C2是以点 (0， 1)为圆心 ， 以 1 为半径的圆 ， 圆心到直线 C3的距离 d 3 22 ， 故曲线 C2上的点到直线 C3距离的最大值为 1 3 22 . 18 (2017 广东珠海质检 )在平面直角坐标系 xOy 中 ， 以原点 O 为极点 ， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ， 直线 l 的极坐标方程是 cos( 4) 2
12、2， 圆 C 的极坐标 方程是=【 ;精品教育资源文库 】 = 4sin . (1)求 l 与 C 交点的极坐标； (2)设 P 为 C 的圆心 ， Q 为 l 与 C 交点连线的中点 ， 已知直线 PQ 的参数方程是?x 3 t a，y b23 t 1(t 为参数 )， 求 a， b 的值 答案 (1)(4， 2)或 (2 2， 4 ) (2)a 1 b 2 解析 (1)将 4sin 代入 cos( 4) 2 2， 得 sin cos cos2， 所以 cos 0 或 tan 1， 取 2 或 4.再由 4sin 得 4 或 2 2.所以 l 与 C 交点的极坐标是 (4， 2)或 (2 2
13、， 4 ) (2) 圆 C 的极坐标方程是 4sin， 圆 C 的直角 坐标方程是 x2 (y 2)2 4.即 P 点坐标为 (0， 2) 由 (1)知 l 与 C 交点的直角坐标为 (0， 4)， (2， 2) 即 Q 点的直角坐标为 (1， 3)将 PQ 的参数方程化为普通方程得 y b2(x a) 1.将 P， Q 两点坐标代入 ， 得?2 ab2 1，3 b2（ 1 a） 1，解得 a 1， b 2. 1 (2015 北京 )在极坐标系中 ， 点 (2， 3 )到直线 ( cos 3sin ) 6 的距离为_ 答案 1 解析 点 (2， 3 )的直角坐标为 (1， 3)， 直线 ( c
14、os 3sin ) 6 的直角坐标方程为x 3y 6 0， 所以点 (1， 3)到直线的距离 d |1 3 3 6|1 3 1. 2 (2016 北京 )在极坐标系中 ， 直线 cos 3 sin 1 0 与圆 2cos 交于 A，B 两点 ， 则 |AB| _ 答案 2 解析 将 直线 cos 3 sin 1 0 化为直角坐标方程为 x 3y 1 0， 将圆 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2cos 化为直角坐标方程为 x2 y2 2x， 则圆心坐标 (1， 0)， 半径为 1， 由于圆心 (1， 0)在直线 x 3y 1 0 上 ， 因此 |AB| 2. 3 (2014 陕西 )在极坐标系中 ， 点 (2， 6)到直线 sin( 6) 1 的距离是 _ 答案 1 解析 sin( 6) ( sin cos 6 sin 6cos ) 1， 因为在极坐标系中 ， cos x， sin y， 所以直线可化为 x 3y 2 0. 同理点 (2， 6)可化为 ( 3， 1)， 所以点到直线距离 d | 3 3 2|3 1 1. 4 在极 坐标系中，已知圆 2cos 与直线 4 cos 3 sin a 0 相切 ， 则 a_ 答案 1 或 9 解析 圆 2cos 即 2 2 cos， 即 (x 1)2 y2 1， 直线 4 cos 3 sin a 0， 即 4x 3y a 0，
