1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 32 复数 1 设 a， b 是非零向量 ， 若函数 f(x) (xa b)( a xb)的图像是一条直线 ， 则必有 ( ) A a b B a b C |a| |b| D |a| |b| 答案 A 解析 f(x) (xa b)( a xb)的图像是一条直线 ， 即 f(x)的表达式 是关于 x 的一次函数或常函数而 (xa b)( a xb) x2a b (a2 b2)x a b， 故 a b 0， 即 a b， 故应选 A. 2 在平行四边形 ABCD 中 ， AB a， AD b， 则当 (a b)2 (a b)2时 ， 该平行四边形为 (
2、) A 菱形 B矩形 C 正方形 D以上都不正确 答案 B 解析 在平行四边形中 ， a b AB AD AC ， a b AB AD DB ， |a b| |a b|， |AC | |DB |， 对角线相等的平行四边形为矩形 ，故选 B. 3 已知向量 a (1， sin )， b (1， cos )， 则 |a b|的最大值为 ( ) A 1 B. 2 C. 3 D 2 答案 B 解析 a (1， sin )， b (1， cos )， a b (0， sin cos ) |a b| 02（ sin cos ） 2 1 sin2 . |a b|最大值为 2.故选 B. 4 已知 A， B
3、是圆心为 C 半径为 5的圆上两点 ， 且 |AB | 5， 则 AC CB 等于 ( ) A 52 B.52 C 0 D.5 32 答案 A 解析 由于弦长 |AB| 5与半径相同 ， 则 ACB 60 ?AC CB CA CB |CA | |CB| cos ACB 5 5 cos60 52. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2017 保定模拟 )若 O 是 ABC 所在平面内一点 ， 且满足 |OB OC | |OB OC 2OA |， 则ABC 的形状是 ( ) A 等腰三角形 B直角三角形 C 等腰直角三角形 D等边三角形 答案 B 解析 OB OC 2OA OB OA OC
4、OA AB AC ， OB OC CB AB AC ， |AB AC | |AB AC |?|AB AC |2 |AB AC |2?AB AC 0， 三角形为直角三角形 ， 故选 B. 6 (2015 山东 ， 理 )已知菱形 ABCD 的边长为 a， ABC 60， 则 BD CD ( ) A 32a2 B 34a2 C.34a2 D.32a2 答案 D 解析 在菱形 ABCD 中 ， BA CD ， BD BA BC ， 所以 BD CD (BA BC ) CD BA CD BC CD a2 aa cos60 a2 12a2 32a2. 7 (2017 课标全国 ， 理 )已知 ABC 是
5、边长为 2 的等边三角形 ， P 为平面 ABC 内一点 ， 则PA (PB PC )的最小值是 ( ) A 2 B 32 C 43 D 1 答案 B 解析 如图 ， 以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴 ， 以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 ， 则 A(0， 3)， B( 1， 0)，C(1， 0)， 设 P(x， y)， 则 PA ( x， 3 y)， PB ( 1 x， y)， PC (1 x， y)， 所以 PA (PB PC ) ( x， 3 y)( 2x， 2y) 2x2 2(y 32 )2 32， 当 x 0， y 32 时， PA (PB P
6、C )取得最小值 ，为 32， 选 B. 8 在 ABC 中 ， BC a， CA b， AB c， 且 ab bc ca ， 则 ABC 的形状是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D等边三角形 答案 D 解析 因 a， b， c 均为非零向量 ， 且 ab bc ， 得 b (a c) 0?b (a c) 又 a b c 0?b (a c)， (a c) (a c) 0?a2 c2， 得 |a| |c|. 同理 |b| |a|， |a| |b| |c|. 故 ABC 为等边三角形 9 (2018 天津模拟 )已知 ABC 是边长为 1
7、的等边三角形 ， 点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点 ， 连接 DE 并延长到点 F， 使得 DE 2EF， 则 AF BC 的值为 ( ) A 58 B.18 C.14 D.118 答案 B 解析 如图以直线 AC 为 x 轴 ， 以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系 ， 则 A(0， 0)， C(1， 0)， B(12， 32 )， F(1， 34 )， AF (1， 34 )， BC (12， 32 ) AF BC 12 38 18， 选 B. 10 (2018 安徽师大附中月考 )在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知向量 OA 与 OB 关于 y 轴对称 ，向量 a (1，
8、 0)，则满足不等式 OA 2 a AB 0 的点 A(x， y)的集合用阴影表示为 ( ) 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 A(x ， y)， 向量 OA 与 OB 关于 y 轴对称 ， B( x， y)， AB ( 2x， 0) OA 2 a AB 0， x2 y2 2x (x 1)2 y2 10 ， 故满足要求的点在以 (1， 0)为圆心 ， 1 为半径的圆上以及圆的内部故选 B. 11 (2016 四川 )在平面内 ， 定点 A， B， C， D 满足 |DA | |DB | |DC |， DA DB DB DC DC DA 2， 动点 P， M 满足 |AP | 1
9、， PM MC ， 则 |BM |2的最大值是 ( ) A.434 B.494 C.37 6 34 D.37 2 334 答案 B 解析 由 |DA | |DB | |DC |知 ， D 为 ABC 的外心由 DA DB DB DC DC DA 知 ， D 为 ABC的垂心 ， 所以 ABC 为正三角形 ， 易知其边长为 2 3.取 AC 的中点 E， 因为 M 是 PC 的中点 ，所以 EM 12AP 12， 所以 |BM |max |BE| 12 72， 则 |BM |max2 494 ， 选 B. 12 (2015 山东 ， 文 )过点 P(1， 3)作圆 x2 y2 1 的两条切线 ，
10、 切点分别为 A， B， 则 PA PB _ 答案 32 解析 在平面直角坐标系 xOy 中作出圆 x2 y2 1 及其切线 PA， PB， 如图所示连接 OA， OP， 由图可得 |OA| |OB| 1， |OP| 2， |PA | |PB| 3， APO BPO 6 ， 则 PA ， PB 的夹角为 3 ， 所以 PA PB |PA | |PB| cos 3 32. 13 在平行四边形 ABCD 中 ， AD 1， BAD 60， E 为 CD 的中点若 AC BE 1， 则 AB 的长为 _ 答案 12 解析 如图所示 ， 在平行四边形 ABCD 中 ， AC AB AD ， BE BC
11、 CE 12AB AD . 所以 AC BE (AB AD )( 12AB AD ) 12|AB |2 |AD |2 12AB AD 12|AB |2 14|AB | 1=【 ;精品教育资源文库 】 = 1， 解方程得 |AB | 12(舍去 |AB | 0)， 所以线段 AB 的长为 12. 14 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 ， A、 B、 C 为该抛物线 上三点 ， 若 FA FB FC 0， 则 |FA | |FB | |FC | _ 答案 6 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， 又 F(1， 0)， 所以 FA FB FC (x1 x2
12、 x3 3，y1 y2 y3) 0， 得 x1 x2 x3 3.又由抛物线定义可得 |FA | |FB | |FC | (x1 1) (x21) (x3 1) 6. 15.如图 ， AB 是半圆 O 的直径 ， C， D 是 AB 的三等分点 ， M， N 是 线段 AB的三等分点 ， 若 OA 6， 则 MC ND _ 答案 26 解析 连接 OC、 OD、 MC、 ND， 则 MC ND (MO OC )( NO OD ) MO NO MO OD NO OC OC OD 4 6 6 18 26. 16 (2014陕西 )在直角坐标系 xOy 中 ， 已知点 A(1， 1)， B(2， 3)
13、， C(3， 2)， 点 P(x， y)在 ABC 三边围成的区域 (含边界 )上 ， 且 OP mAB nAC (m， n R) (1)若 m n 23， 求 |OP |； (2)用 x， y 表示 m n， 并求 m n 的最大值 答案 (1)2 2 (2)1 解析 (1)m n 23， AB (1， 2)， AC (2， 1)， OP 23(1， 2) 23(2， 1) (2， 2) |OP | 22 22 2 2. (2) OP m(1， 2) n(2， 1) (m 2n， 2m n)， ?x m 2n，y 2m n. 两式相减 ， 得 m n y x.令 m n t， 由图知 ， 当
14、直线 y x t 过点 B(2， 3)时 ， t 取得最大值 1， 故 m n 的最大值为 1. 17 (2017 江西上饶中学调研 )已知在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 向量m (sinA， sinB)， n (cosB， cosA)， m n sin2C. (1)求角 C 的大小； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 sinA， sinC， sinB 成等差数列 ， 且 CA (AB AC ) 18， 求 c 边的长 答案 (1) 3 (2)6 解析 (1)m n sinA cosB sinB cosA sin(A B)， 对于 ABC ， A B C， 00， 只需再比较 I1与 I3的大小作 AGBD 于 G， 又 AB AD， OBOC OD ， 即 I1I3， I3I1I2， 故选 C.
