1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 31 平面向量的数量积 1 已知 a (1， 2)， 2a b (3， 1)， 则 a b ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 解析 a (1， 2)， 2a b (3， 1)， b 2a (3， 1) 2(1， 2) (3， 1) ( 1， 3) a b (1， 2)( 1， 3) 1 23 5. 2 已知 |a| 6， |b| 3， a b 12， 则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( ) A 4 B 4 C 2 D 2 答案 A 解析 a b |a|b|cos a， b 18cos a， b 12， cos a， b 23.
2、 a 在 b方向上的投影是 |a|cos a， b 4. 3 (2018 上海杨浦区一模 )若 a 与 b c 都是非零向量 ， 则 “ a b a c” 是 “ a( b c)”的 ( ) A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 a 与 b c 都是非零向量 ， a b a c?a b a c 0?a (b c) 0?a (b c)， 故 “ a b a c” 是 “ a( b c)” 的充要条件故选 C. 4 (2018 黑龙江大庆第一次质检 )已知向量 a (1， 2)， b ( 2， m)， 若 a b， 则 |2a3b| ( ) A
3、. 70 B 4 5 C 3 5 D 2 5 答案 B 解析 a (1， 2)， b ( 2， m)， 且 a b， 1 m 2( 2)， m 4. a (1， 2)，b ( 2， 4)， 2a 3b ( 4， 8)， |2a 3b| （ 4） 2（ 8） 2 4 5.故选 B. 5 已 知向量 a (1， 2)， a b 5， |a b| 2 5， 则 |b|等于 ( ) A. 5 B 2 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 5 D 25 答案 C 解析 由 a (1， 2)， 可得 a2 |a|2 12 22 5. |a b| 2 5， a2 2a b b2 20. 5 25 b2
4、20. b2 25.| b| 5， 故选 C. 6 (2018 甘肃武威十八 中月考 )已知非零向量 a， b 满足 |b| 4|a|， 且 a(2 a b)， 则 a与 b 的夹角为 ( ) A. 3 B. 2 C.23 D.56 答案 C 解析 设两个非零向量 a， b 的夹角为 . 因为 a(2 a b)， 所以 a(2 a b) 0， 即 2a2 |a|b|cos 0.因为 |b| 4|a|， |a| 0， 所以 cos 12.因为 0 ， ， 所 以 23 .故选 C. 7 如图所示 ， 已知正六边形 P1P2P3P4P5P6， 则下列向量的数量积中最大的是 ( ) A.P1P2 P
5、1P3 B.P1P2 P1P4 C.P1P2 P1P5 D.P1P2 P1P6 答案 A 解析 由于 P1P2 P1P5 ， 故其 数量积 是 0， 可排除 C； P1P2 与 P1P6 的夹角为 23， 故其数量积小于 0， 可排除 D；设正六边形的边长是 a， 则 P1P2 P1P3 |P1P2 |P1P3 |cos30 32a2， P1P2 P1P4 |P1P2 |P1P4 |cos60 a2.故选 A. 8 (2018 河南高中毕业年级考前预测 )ABC 的外接圆的圆心为 O， 半径为 1， 2AO AB AC ，且 |OA | |AB |， 则向量 CA 在向量 CB 方向上的投影为
6、 ( ) A.12 B 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 12 D.32 答案 D 解析 因为 2AO AB AC ， 所以 AB AO (AC AO ) 0， 即 OB OC ， 即外接圆的圆心 O 为BC 的中点 ， 所以 ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形又因为 |OA | |AB | 1， 所以 ACB 6 ，|CA| 3， 则向量 CA 在向量 CB 方向上的投影为 |CA |cos 6 3 32 32.故选 D. 9 已知平面向量 a， b， |a| 1， |b| 3， 且 |2a b| 7， 则向量 a 与向量 a b 的夹角为 ( ) A. 2 B. 3 C. 6
7、 D 答案 B 解析 由题意 ， 得 |2a b|2 4 4a b 3 7， 所以 a b 0， 所以 a( a b) 1， 且 |ab| （ a b） 2 2， 故 cos a， a b a （ a b）|a| a b| 12， 所以 a， a b 3 ， 故选B. 10 (2018 沧州七校联考 )已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点 ， 则 AP (AB AC )( ) A 有最大值为 8 B是定值 6 C 有最小值为 2 D与点的位置有关 答案 B 解析 因为点 P 在边 BC 上 ， 所以存在实数 ， 使 AP AB (1 ) AC ， 所以 AP (AB
8、 AC ) AB (1 ) AC ( AB AC ) 4 AB AC 6.故选 B. 11 (2018 河南鹤壁高级中学段考 )如图 ， BC， DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径 ， BF 2FO ，则 FD FE 等于 ( ) A 34 B 89 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 14 D 49 答案 B 解析 BF 2FO ， 圆 O 的半径为 1， |FO | 13， FD FE (FO OD )( FO OE ) |FO |2 FO (OE OD ) OD OE (13)2 0 1 89.故选 B. 12 (2018 河南豫北名校联盟对抗赛 )已知 ABC 的外接圆的半径为
9、 1， 圆心为点 O， 且 3OA 4OB 5OC 0， 则 OC AB ( ) A.85 B.75 C 15 D.45 答案 C 解析 因为 |OA | |OB | |OC | 1， 由 3OA 4OB 5OC 0 得 3OA 5OC 4OB 和 4OB 5OC 3OA ， 两个式子分别平方可得 OA OC 35和 OB OC 45.所以 OC AB OC (OB OA ) OC OB OC OA 15.故选 C. 13 (2017 课标全国 ， 理 )已知向量 a， b 的夹角为 60， |a| 2， |b| 1， 则 |a 2b| _ 答案 2 3 解析 本 题 考 查 向 量 的 运
10、算 |a 2b| （ a 2b） 2 a2 4b2 4a b 22 4 421 cos60 2 3. 14 (2018 江西上饶一模 )在边长为 1 的正方形 ABCD 中 ， 2AE EB ， BC 的中点为 F， EF 2FG ，则 EG BD _ 答案 14 解析 以 A 为坐标原点 ， 建立如图所示的直角坐标系 正方形 ABCD 的边长为 1， B(1， 0)， D(0， 1)， E(13， 0)， F(1， 12) 设 G(a， b)， 由 EF 2FG ， 得 (23， 12) 2(a 1， b 12)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得?a 43，b 34， G(43， 3
11、4) EG (1， 34) BD ( 1， 1)， EG BD 1 34 14. 15 (2018 河北衡水四调 )在 ABC 中 ， AB 3， AC 5.若 O 为 ABC 的外接圆的圆心 ， 则 AO BC _ 答案 8 解析 设 BC 的中点为 D， 连接 OD， AD， 则 OD BC ， 所以 AO BC (AD DO ) BC AD BC 12(AC AB )( AC AB ) 12(AC 2 AB 2) 12 (52 32) 8. 16 (2018 上海静安区一模 )在 Rt ABC 中 ， AB 3， AC 4， BC 5， 点 M是 ABC 外接圆上任意一点 ， 则 AB
12、AM 的最大值为 _ 答案 12 解析 如图 ， 建立平面直角 坐标系 ，则 A(0， 0)， B(3， 0)， C(0， 4)， ABC 外接圆的方程为 (x 32)2 (y 2)2 254. 设 M(32 52cos， 2 52sin )， 则 AM (32 52cos， 2 52sin )， AB (3， 0)， AB AM 92 152 cos 12， 当且仅当 cos 1 时 ， 等号成立 17.(2018 上海闵行区一模 )如图 ， 已知半径为 1 的扇形 OAB， AOB 60，P 为弧 AB 上的一个动点 ， 则 OP AB 的取值范围是 _ 答案 12， 12 解析 OP A
13、B OP (OB OA ) OP OB OP OA cos BOP cos AOPcos(60 AOP) cos AOP 12cos AOP 32 sin AOP cos AOP 32 sin AOP 12cos AOP sin(AOP 30 ) 0 AOP 60， 30 AOP 30 30， 12sin(AOP 30 ) 12. OP AB 的取值范围为 12， 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = 18 设两个向量 e1， e2满足 |e1| 2， |e2| 1， e1与 e2的夹角为 3 ， 若向量 2te1 7e2与 e1 te2的夹角为钝角 ， 求实数 t 的取值范围 答案 ( 7
14、， 142 )( 142 ， 12) 解析 由向量 2te1 7e2与 e1 te2的夹角为钝角 ， 得 （ 2te1 7e2） （ e1 te2）|2te1 7e2|e1 te2| 12.当 a， b 共线且反向时 ， 2 0， 得 2.所以 的取值范围是 ( 12， 2)(2 ， ) 故选 A. 8 (2016 山东 ， 文 )已知向量 a (1， 1)， b (6， 4)若 a(t a b)， 则实数 t 的值为 _ 答案 5 解析 根据已知 ， a2 2， a b 10.由 a(t a b)， 得 a(t a b) ta2 a b 2t 100， 解得 t 5. 9 (2015 浙江 )已知 e1， e2是平面单位向量 ， 且 e1 e2 12.若平面向量 b 满足 b e1 b e2 1， 则 |b| _ 答案 2 33 解析 因为 b e1 b e2 1， |e1| |e2| 1， 由数量积的几何意义 ， 知 b
