1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时规范练 36 数学归纳法 基础巩固组 1.在用数学归纳法证明等式 1+2+3+? +2n=n(2n+1)时 ,当 n=1时的左边等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如果用数学归纳法 证明 :对于足够大的正整数 n,总有 2nn3,那么验证不等式成立所取的第一个 n的最小值应该是 ( ) A.1 B.9 C.10 D.n10,且 n N* 3.用数学归纳法证明 1+ +? + (n N+)成立 ,其初始值至少应取 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 4.某同学回答 “ 用数学 归纳法证明 ,1+ 1,1+ +? + ,1+ +? + 2,
2、? 你能得到一个怎样的一般不等式 ?并加以证明 . ? 导学号 21500741? 9.平面内有 n条直线 ,其中任何两条不平行 ,任何三条不共点 ,求证 :这 n条直线把平面分割成(n2+n+2)个区域 . 综合提升组 10.设 f(x)是定义在正整数集上的函数 ,且 f(x)满足 :当 f(k) k+1成立时 ,总能推出 f(k+1) k+2成立 ,则 下列命题总成立的是 ( ) A.若 f(1)2,f(8) ,f(16)3,f(32) ,则其一般结论为 . 14.(2017山东济南模拟 )已知函数 f(x)=aln x+ (a R). (1)当 a=1时 ,求 f(x)在 1,+ )内的
3、最小值 ; (2)若 f(x)存在单调递减区间 ,求 a的取值范围 ; (3)求证 :ln(n+1) +? + (n N+). 参考答案 课时规范练 36 数学归纳法 1.C 在用数学归纳法证明等式 1+2+3+? +2n=n(2n+1)时 ,当 n=1时的左边 =1+2=3. 2.C 210=1 024103.故选 C. 3.B 左边 =1+ +? + =2- , 代入验证可知 n的最小值是 8.故选 B. 4.A 证明 右式 ,所以结论成立 . (2)假设当 n=k(k1,k N+)时结论成立 , 即 ? ,则当 n=k+1时 , ? . 要证当 n=k+1时结论成立 ,只需证 , 即证
4、, 由 均值 不等式可得 成立 ,故 成立 . 所以当 n=k+1时 ,结论成立 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 (1)(2)可知 n N+时 ,不等式 ? 成立 . 13.f(2n) (n2, n N+) 因为 f(22) ,f(23) ,f(24) ,f(25) ,所以当 n2, n N*时 ,有f(2n) .故填 f(2n) (n2, n N+). 14.(1)解 当 a=1时 ,f(x)=ln x+ ,定义域为 (0,+ ). 因为 f(x)= 0, 所以 f(x)在 (0,+ )内是增函 数 ,所以 f(x)在 1,+ )内的最小值为 f(1)=1. (2)解 f(x)=
5、,因为 f(x)存在单调递减区间 ,所以 f(x)0时 ,h(x)=ax2+2(a-1)x+a是开口向上的抛物线 ,即方程 ax2+2(a-1)x+a=0有正根 . 因为 x1x2=10,所以方程 ax2+2(a-1)x+a=0有两正根 , 所以 解得 01,所以 ln 2 ,即当 n=1时 ,不等式成立 . 假设当 n=k时 ,ln(k+1) +? + 成立 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 则当 n=k+1时 ,ln(n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+ln +? + +ln . 根据 (1)的结论可知 ,当 x1时 ,ln x+ 1,即 ln x . 令 x= ,所以 ln ,则有 ln(k+2) +? + ,即当 n=k+1时 ,不等式也成立 .由 可知不等式成立 .
