1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时规范练 43 空间几何中的向量方法 基础巩固组 1.若平面 , 的法向量分别为 n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则 ( ) A. B. C. , 相交但不垂直 D.以上均不正确 2.已知平面 的一个法向量为 n=(1,- ,0),则 y轴与平面 所成的角的大小为 ( ) A. B. C. D. 3.两平行平面 , 分别经过坐标原点 O和点 A(2,1,1),且两平面的一个法向量 n=(-1,0,1),则两平面间的距离是 ( ) A. B. C. D.3 4.已知向量 m,n分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量 ,若 cos=- ,则
2、 l与 所成的角为 ( ) A.30 B.60 C.120 D.150 5. 如图 ,过正方形 ABCD的顶点 A,作 PA 平面 ABCD.若 PA=BA,则平面 ABP和平面 CDP 所成的二面角的大小是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 6.(2017广东珠海质检 )设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长是 2,则点 D1到平面 A1BD的距离是 ( ) A. B. C. D. 7.如图 ,在正四棱锥 S-ABCD 中 ,O为顶点在底面上的射影 ,P为侧棱 SD 的中点 ,且 SO=OD,则直线 BC与平面 PAC所成的角为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = ? 导
3、学号 21500564? 8.如图 ,在三棱锥 P-ABC中 ,AB=AC,D为 BC的中点 ,PO 平面 ABC,垂足 O落在线段 AD上 .已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明 :AP BC; (2)若点 M是线段 AP上一点 ,且 AM=3.试证明平面 AMC 平面 BMC. 9.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是 AC 的中点 . (1)求证 :B1C 平面 A1BD; (2)求点 B1到平面 A1BD的距离 . ? 导学号 21500565? =【 ;精品教育资源文库 】 = 综合提升组 10.在三棱锥 P-ABC 中 ,
4、PA 平面 ABC, BAC=90, D,E,F 分别是棱 AB,BC,CP 的中点 ,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA与平面 DEF所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 11.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中 , ACB=90, AC=1,CB= ,侧棱 AA1=1,侧面 AA1B1B的两条对角线交于点 D,则平面 B1BD 与平面 CBD 所成的二面角的余弦值为 ( ) A.- B.- C. D. 12.(2017广东广州模拟 )在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,AB=2,BC=AA1=1.则 D1C1与平面 A1BC1所成角的正弦值为 . 13.(2017山
5、东青岛模拟 ,理 17)如图 ,在多面体 ABC-A1B1C1中 ,四边形 A1ABB1是正方形 ,AB=AC,BC= AB,B1C1? BC,二面角 A1-AB-C是直二面角 .求证 : (1)A1B1 平面 AA1C; (2)AB1 平面 A1C1C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 14.如图所示 ,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形 ,每条侧棱的长都是底面边长的 倍 ,P为侧棱 SD上的点 . (1)求证 :AC SD. (2)若 SD 平面 PAC,侧棱 SC上是否存在一点 E,使得 BE 平面 PAC?若存在 ,求 SE EC的值 ;若不存在 ,试说明理由 . 创新应用组 15
6、.(2017宁夏中卫二模 ,理 18)如图 ,已知菱形 ABCD与直角梯形 ABEF所在的平面互相垂直 ,其中 BE AF,AB AF,AB=BE= AF=2, CBA= . (1)求证 :AF BC; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)线段 AB 上是否存在一点 G,使得直线 FG 与平面 DEF 所成的角的正弦值为 ,若存在 ,求 AG 的长 ;若不存在 ,说明理由 . ? 导学号 21500566? 16.(2017山西吕梁二模 ,理 18)在四棱锥 P-ABCD中 ,PA 平面 ABCD,底面 ABCD是直角梯形 ,其中 AD BC,AB AD,AB=AD= BC,BE= BC.
7、 (1)求证 :DE 平面 PAC; (2)若直线 PE与平面 PAC所成角的正弦值为 ,求二面角 A-PC-D的平面角的余弦值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = ? 导学号 21500567? 参考答案 课时规范练 43 空间几何中的向量方法 1.C 因为 cos= 0 且 cos 1,所以 , 相交但不垂直 . 2.B 可知 y轴的方向向量为 m=(0,1,0),设 y轴与平面 所成的角为 , 则 sin =| cos|. cos= =- , sin = , = . 3.B 两平面的一个单位法向量 n0= ,故两平面间的距离 d=| n0|= . 4.A 因为 cos=- ,所以 l与
8、 所成角 满足 sin =| cos|= ,又 ,所以= 30 . 5.B (方法一 )建立如图 1所示的空间直角坐标系 ,不难求出平面 APB与平面 PCD 的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面 ABP与平面 CDP所成二面角的余弦值为 ,故所求的二面角的大小是 45 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (方法二 )将其补成正方体 .如图 2,不难发现平面 ABP和平面 CDP所成的二面角就是平面 ABQP和平面 CDPQ所成的二面角 ,其大小为 45 . 6.D 建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(
9、2,2,0), =(2,0,0), =(2,0,2), =(2,2,0).设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z), 则 令 x=1,则 n=(1,-1,-1), 点 D1到平面 A1BD 的距离是 d= . 7.30 如图所示 ,以 O为原点建立空间直角坐标系 . 设 OD=SO=OA=OB=OC=a, 则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P . 则 =(2a,0,0), =(a,a,0). 设平面 PAC的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1), 则 cos= . =【 ;精品教育资源文库 】 = =60, 直线 BC与平面 PAC 所成角为 90 -60
10、 =30 . 8.证明 (1)如图所示 ,以 O为坐标原点 ,以射线 OP为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 . 则 O(0,0,0),A(0,-3,0), B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4). 于是 =(0,3,4), =(-8,0,0), =(0,3,4) (-8,0,0)=0, ,即 AP BC. (2)由 (1)知 |AP|=5,又 |AM|=3,且点 M在线段 AP上 , , 又 =(-4,-5,0), , 则 =(0,3,4) =0, ,即 AP BM, 又根 据 (1)的结论知 AP BC, AP 平面 BMC,于是 AM 平面 BMC. 又 AM?平面 A
11、MC,故平面 AMC 平面 BCM. 9.(1)证明 连接 AB1交 A1B于点 E,连接 DE. 可知 E为 AB1的中点 ,D是 AC 的中点 , DE B1C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 DE?平面 A1BD,B1C?平面 A1BD, B1C 平面 A1BD. (2)解 建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 B1(0,2 ,3),B(0,2 ,0),A1(-1,0,3), =(0,2 ,3), =(0,2 ,0), =(-1,0,3). 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z), n=(3,0,1). 故所求距离为 d= . 10.C 以 A为原点 ,AB,AC,AP所
12、在直线分别为 x轴 ,y轴 ,z轴建立空间直角坐标系 (图略 ),由AB=AC=1,PA=2,得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D ,E ,F ,=(0,0,-2), . 设平面 DEF的法向量为 n=(x,y,z), 则由 得 取 z=1,则 n=(2,0,1),设 PA 与平面 DEF所成的角为 , 则 sin = , PA 与平面 DEF所成角的正弦值为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 11.A 建立如图所示的空间直角坐标系 ,则C(0,0,0),B( ,0,0),A(0,1,0),B1( ,0,1),D =( ,0,0), =(-,1,0
13、), =(0,0,1).设平面 CBD和平面 B1BD的法向量分别为 n1,n2,可得 n1=(0,1,-1),n2=(1, ,0),所以 cos= ,又平面 B1BD 与平面 CBD所成的二面角的平面角与互补 ,故平面 B1BD与平面 CBD所成的二面角的余弦值为 - . 12. 建立如图所示的空间直角坐标系 ,由于 AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1). 所以 =(-1,2,0), =(-1,0,1), =(0,2,0),设平面 A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则有 令 x=2,则 y=1,z=2,则 n=(2,1,2). 又设 D1C1与平面 A1BC1所成的角为 , 则 sin =| cos|= . 13.证明 二面角 A1-AB-C 是直二面角 ,四边形 A1ABB1为正方形 , AA1 平面 BAC.
