1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 单元质检卷三 导数及其应用 (时间 :100分钟 满分 :150分 ) 一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 ) 1.如果一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s的单位是米 ,t的单位是秒 ,那么物体在 3秒末的瞬时速度是 ( ) A.7米 /秒 B.6 米 /秒 C.5米 /秒 D.8 米 /秒 2.设曲线 y= 在点 (3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0垂直 ,则 a等于 ( ) A.2 B.-2 C. D.- 3.若函数 y=ex+mx有极值 ,则实数 m的取值范围是 ( ) A.m0 B.m1 D.m0,且g(3
2、)=0,则不等式 f(x)g(x)f(x),且 y=f(x)-1是奇函数 ,则不等式 f(x)2恒成立 ,则整数 k的最大值为 . 三、解答题 (本大题共 5小题 ,共 70分 ) 17.(14分 )(2017安徽安庆二模 ,理 21)已知函数 f(x)= ,a R. (1)若 a0, 求函数 f(x)的单调递增区间 ; (2)若 a=0,x1-e,求证 :对于 ? x (1,+ ),都有 f(x)(x-1)2恒成立 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 19.(14分 )(2017福建厦门一中考前模拟 ,理 21)函数 f(x)=ln x+ x2+ax(a R),g(x)=ex+ x2. (
3、1)讨论 f(x)的极值点的个数 ; (2)若对于 ? x0,总有 f(x) g(x), 求实数 a的取值范围 ; 求证 :对于 ? x0,不等式 ex+x2-(e+1)x+ 2成立 . 20.(14分 )设函数 f(x)=ln x+ ,m R. (1)当 m=e(e为自然对数的底数 )时 ,求 f(x)的极小值 ; (2)讨论函数 g(x)=f(x)- 零点的个数 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 21.(14分 )(2017山西临汾三模 ,理 21)已知函数 f(x)=(x2-x)ex. (1)求曲线 y=f(x)在原点处的切线方程 ; (2)若 f(x)-ax+e0 恒成立 ,求实数
4、 a的取值范围 ; (3)若方程 f(x)=m(m R)有两个正 实数根 x1,x2,求证 :|x1-x2|0,若 y=ex+mx有极值 ,则必须使 y的值有 正有负 ,故 m 时 ,f(x)0,f(x)单调递增 .则 f(x)的最小值为 f +ln 20,所以 f(x)无零点 . 6.A 令 f(x)= +ln x,则 f(x)= . 当 x 时 ,f(x)0. f(x)在 内单调递减 ,在 (1,2上单调递增 , 在 x ,f(x)min=f(1)=0, a0, 即 a的最大值为 0. 7.B 由已知 g(x)=f(x)-f(x0)=x3+ax2+bx-( +a +bx0)=(x-x0)
5、x2+(x0+a)x+ +ax0+b, f(x)=3x2+2ax+b, =【 ;精品教育资源文库 】 = 代入上式可得 g(x)=(x-x0)(x-x1)2,所以 g(x)恰有两个零点 . 8.D 当 x0, 即 f(x)g(x)0, 当 x0时 ,f(x)g(x)为增函数 ,且 f(3)g(3)=0,故当 00,当 a=0时 ,不合题意 , a0 . 由题意得 - ln =(t-2e)ln t ,令 f(t)=(t-2e)ln t(t0),则 f(t)=ln t+1- ,f(t)= 0,当 te时 ,f(t)f(e)=0,当00,解得 x , 故 f(x)在 递增 ,在 递减 ,故 f(x)
6、的最大值是 f ,a= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 11.C 若 f(x)= x2+x+1在区间 内有极值点 , 则 f(x)=x2-ax+1在区间 内有零点 ,且零点不是 f(x)的图象顶点的横坐标 . 由 x2-ax+1=0,得 a=x+ . 因为 x ,y=x+ 的值域是 , 当 a=2时 ,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意 . 所以实数 a的取值范围是 ,故选 C. 12.A 当 x0 时 ,f(x)=cos x+ x20, 函数 y=f(x)在 0,+ )上单调递增 . 当 x10, x20, 由 MN x轴 ,则 f(x1)=g(x2),即 sin x1+
7、 =x2-1, 则 M,N两点间的距离为 x2-x1=sin x1+ +1-x1. 令 h(x)=sin x+ x3+1-x,x 0,则 h(x)=cos x+ x2-1,h(x)=-sin x+x0, 故 h(x)在 0,+ )上单调递增 ,故 h(x)=cos x+ x2-1 h(0)=0, 故 h(x)在 0,+ )上单调递增 ,故 h(x)的最小值为 h(0)=1,故选 A. 13.y=x f(x)=ex sin x,f(x)=ex(sin x+cos x),f(0)=1,f(0)=0, 函数 f(x)的图象在点 (0,0)处的切线方程为 y-0=1 (x-0),即 y=x. 14.(
8、0,+ ) 由题意令 g(x)= ,则 g(x)= . =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x)f(x), g(x)0. 15. 由已知条件 ,得 b=-ln a+2a2,d=3c-2,令 f(x)=-ln x+2x2,g(x)=3x-2, 所求最小值可转化为两个函数 f(x)与 g(x)图象上的点之间的距离的最小值的平方 , f(x)=- +4x,设与直线 y=3x-2平行且与曲线 f(x)相切的切点为 P(x0,y0), 则 - +4x0=3,x00,解得 x0=1,可得切点 P(1,2), 切点 P(1,2)到直线 y=3x-2的距离 d= . 所以 (a-c)2+(b-d)2的最小值为 d2= .故答案为 . 16.4 x2, k(x-2)0,故 g(x)在 (2,+ )上是增函数 , 且 g(8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)0; 故存在 x0 (8,9),使 g(x0)=0,即 2ln x0=x0-4. 故 F(x)在 (2,x0)上是减函数 ,在 (x0,+ )上是增函数 ; 故 F(x)min=F(x0)= ,故 k0时 ,1- 0,得函数的单调增区间为 ; 当 a1,由 f(x)0,得函数的单调增区间为 (- ,1)和 . (2)证明 a=0,f(x)= ,x10,所以 f(x)在 (- ,+ )上单调递增 , 当 a0在 (1,+ )上恒成立 ,
